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对数函数及其性质


对数函数的图像与性质
【教学目标】 理解对数函数的概念,掌握它们的基本性质,进一步领会研究 函数的基本方法 【教学重点】 对数函数的概念;对数函数的性质;研究函数的方法 【教学重点】 对数函数的性质 【学习探究】

(! )问题引入:在我们学习研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题.某种细 胞分裂时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可用指数函数

y ? 2x 表示.
现在来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,可以得到 1 万个、10 万个、??细胞,那么分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的 函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式,就是 x ? log2 y .
这样,对于任意一个 y∈(0,+∞),通过式子 x ? log2 y ,x 在 R 中都有唯一确定 的值和它对应。也就是说,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数,这是我们就说

x ? log2 y (y∈(0,+∞))是 y ? 2x ( x ? R )的反函数
在函数 x ? log2 y 中, y 是自变量,x 是函数。但习惯上,我们通常用 x 表

示自变量, y 表示函数。为此,我们常常对调函数 x ? log2 y 中的字母 x, y ,
把它写成 y ? log2 x ,这样函数 y ? log2 x (x∈(0,+∞))是函数 y ? 2 ( x ? R )
x

的反函数

(2)定义:一般地,函数 y ? loga x ( a ? 0, 且 a ? 1 )叫做对数函数,它就是指 数函数 y ? a x ( a ? 0, 且 a ? 1 )的反函数.因为 y ? a x 的值域是 ? 0, ?? ? ,所以,函 数 y ? loga x 的定义域是 ? 0, ?? ? .

由反函数的概念,可知,对函数 y ? log2 x (x∈(0,+∞))是指数函数 y ? 2

x

( x? R) 的反函数; 同时指数函数 y ? 2x( x ? R ) 也是对函数 y ? log2 x (x∈(0,
+∞))的反函数,因此指数函数 y ? 2x ( x ? R )与对函数 y ? log2 x (x∈(0,+ ∞))互为反函数

仿照以上过程, 说明对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)和指数函数 y=ax_(a>0 且 a≠1)
互为反函数.他们的图像关于 y=x 对称

2.对数函数的图象与性质 定义 底数

y=logax (a>0,且 a≠1) a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 单调性 共点性 函数值特点

(0,+∞) R 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 图象过点(1,0), 即 loga1=0 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0) x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞, 0]

【典型例题】

例 1 判断:以下函数是对数函数的是 ( ) 1. y= log2 (3x - 2) 2. y= logx -1 x 3. y= log3 x 2 例2 求下列函数的定义域:
x

4.y=lnx

(3) ?1? y ? loga x2 ; (2) y ? loga (4 ? x2 ) ; y ? log a 4 ? x .

(4)y=log(x+1)(2-x).

例 3.利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: (1) log3 5 和 log3 7 ; (2)(3) log a (2) log 0.5 3 和 log 0.5 ? ;

1 1 和 log a ,其中 a ? 0, a ? 1 2 3

变式迁移 比较下列各组中两个值的大小: (1)log0.52.7,log0.52.8; (2)log34,log65; (3)logaπ,logae (a>0 且 a≠1).

3 例 4 若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 4

点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解,其依据是对数函数的单调性. (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则. (3)若含有字母,应考虑分类讨论.

变式迁移 已知 loga(2a+1)<loga3a<0,求 a 的取值范围.

4 3 1 例 5 下图是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 3, , , ,则图象 C1,C2,C3, 3 5 10 C4 相应的 a 值依次是( )

4 3 1 , , 3 5 10 4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5 4 3 1 C. , 3 , , 3 5 10 4 1 3 D. , 3 , , 3 10 5
A. 3 , 变式迁移 借助图象比较 m,n 的大小关系: (1)若 logm5>logn5,则 m __ n; (2)若 logm0.5>logn0.5,则 m__n.

例 6.函数 y= log 1 ( x ? 4 x ? 12) 的单调递增区间是
2 2

想一想:函数f(x)=log2 ( x2 ? ax ? 1)的定义域为R,
求a的取值范围?

【课堂跟踪】
1.对数式 loga?2 (5 ? a) ? b 中,实数 a 的取值范围是 A. (??,5) B.(2,5) C. (2,??) ( )

D. (2,3) ? (3,5) ( ) D.x=a+b3-c3

2.如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 A.x=a+3b-c B. x ?

3ab 5c

C. x ?

ab3 c5

3.设函数 y=lg(x2 -5x)的定义域为 M,函数 y=lg(x -5)+lgx 的定义域为 N,则 ( ) A.M∪N=R B.M=N C.M ? N D.M ? N ( )

4.若函数 log2(kx2+4kx+3)的定义域为 R,则 k 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

B. ?0, ?

? 3? ? 4?

C. ?0, ? 4 (

? 3? ? ?

D. (??,0] ? ? ,?? ? )

?3 ?4

? ?

5.下列函数图象正确的是

A

B

C

D ( )

6.已知函数 g ( x) ? f ( x) ? A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数

1 ,其中 log2f(x)=2x,x ? R,则 g(x) f ( x)
B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数

? e x , x ? 0. 1 7、设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________. 2 ?lnx, x ? 0.
8、函数

f ( x) ? log 2 (? x 2 ? 4 x ? 3) 的单调增区间为________.
? ? x ?? x? ?? log2 ? 的最小值. 4 ?? 2?

9、求函数 f ?x ? ? ? log2

分析 此不等式为对数不等式且底数为参数. 解答本题可根据对数函数的单调性转化为 一般不等式求解,同时应注意分类讨论. 3 1 3 解 -1<loga <1?loga <loga <logaa. 4 a 4 1 3 4 当 a>1 时, < <a,∴a> . a 4 3 1 3 3 当 0<a<1 时, > >a,∴0<a< . a 4 4 3? ?4 ∴a 的取值范围是?0,4?∪?3,+∞?. ? ? 解 loga(2a+1)<loga3a<0(*)

?0<2a+1<1 ? 当 a>1 时,(*)可化为?0<3a<1 , ?2a+1<3a ?

?-2<a<0 ? 1 解得? 0<a< ? 3 ?a>1
1

,∴此时 a 无解.

当 0<a<1 时,(*)可化为 a>0 ?2a+1>1 ? 1 ?3a>1 ,解得 a>3 ?2a+1>3a ? a<1 1 ∴ <a<1. 3

? ? ?



1 综上所述,a 的取值范围为?3,1?. ? ? 答案 A 解析 方法一 因为对数的底数越大,函数的图象越远离 y 轴的正方向,所以 C1,C2,C3, C4 的 a 值依次由大到小,即 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 3 , 方法二

4 3 1 , , . 3 5 10

过(0,1)作平行于 x 轴的直线, C1, C3, 的交点的横坐标为(a1,1), 与 C2, C4 (a2,1), (a3,1), (a4,1),其中 a1,a2,a3,a4 分别为各对数的底,显然 a1>a2>a3>a4,所以 C1,C2,C3, C4 的底值依次由大到小. 点评 函数 y=logax (a>0,且 a≠1)的底数 a 的变化对图象位置的影响如下: ①上下比较:在直线 x=1 的右侧,底数大于 1 时,底数越大,图象越靠近 x 轴;底数 大于 0 且小于 1 时,底数越小,图象越靠近 x 轴. ②左右比较: (比较图象与 y=1 的交点)交点的横坐标越大, 对应的对数函数的底数越大.



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