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高一数学函数与方程学案


第八讲:函数与方程 基础梳理(研读教材完成下列知识点的梳理) 基本知识回顾: 1、 函数 y ? f ?x ?的零点:

2、

函数的零点与对应方程的根及图象之间的关系:

3、

零点存在性定理:

4、

二分法:

双基检测 一、选择题 1、方程 lg x ? x ? 0 的根所在的区间是: ( A ) D

?? ?,0?

B ?0,1?

C

?1,2?

?2,4?


2、已知函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图,则( A
b ? ?? ?,0?

B b ? ?0,1?

C

b ? ?1,2?

D

b ? ?2,???

0

1

2

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?2 , x?2 3、已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,求实数 k ?x ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?

的取值范围。 二、填空 4、已知函数 f ?x? ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1, m = 共点;若函数的一个零点为 2 ,则 m 的值为 5、 6、 7、 函数 y ? x 2 ? bx ? c, ?x ? ?0,???? 是单调函数的充要条件是 若函数 y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3, x ? ?a, b?的图象关于直线 x ? 1 对称,则 b ? 在函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c, 中,若 a, b, c 成等比数列且 f ?0? ? ?4 ,则 f ?x ? 有最 值,且该值为 三、解答题 8、知二次函数 f ?x ? 同时满足条件: (1) f ?1 ? x ? = f ?1 ? x? ; (2) f ?x ? 的最大值为 15; (3)
f ?x ? 的两根立方和等于 17。求 f ?x ? 的解析式

时,函数图象与 x 轴有一个公



9、

求函数 y ? x 2 ? 2ax ? 1 在 ?0,2? 上的值域。

10、 已知函数 f ?x? ? mx2 ? ?m ? 3?x ? 1 至少有一个零点大于 0,求实数 m 的取值范围。 课堂互动: 例 1、函数 f ?x? ? x 3 ? 3x ? 2, (1)求 f ?x ? 的零点;(2)求分别满足 f ?x? ? 0, f ?x? ? 0, f ?x? ? 0, 的 x 的取值范围; (3)画出 f ?x ? 的大致图象。

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例 2、关于 x 的方程 ax2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 ,求当 a 为何值时: (1)方程有 1 个根; (3)两个根都大于 1 (2)方程有 1 个正根和 1 个负根; (4)一个根大于 1,一个根小于 1。

例 3、已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1 ? a ( x ? 0) ? log 2 x ( x ? 0)

有三个不同零点,求实数 a 的取值范围。

例 4、已知二次函数 f ?x ? 的二次项系数为 a ,且不等式 f ?x? ? ?2x 的解集为 ?1,3? (1)若方 程 f ?x? ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ?x ? 的解析式; (2)若 f ?x ? 的最大值为正数,求 a 的取值范围

? ?) ,若关于 x、的不等式 f ( x) ? c 的解 b ? R) 的值域为 [0 , 例 5、已知函数 f (x) ? x 2 ? ax ? b (a ,
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m ? 6) ,求实数 c 的值。 集为 (m ,

【感悟高考真题】 (5) (2012 年北京文)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) x 的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
1

1 2

(2012 年福建文) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ? (a ? R), 且在 [0, ] 上的最大值为
2

3 2

?

? ?3 。 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)判断函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。 9. (2012 年湖南文) 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f ?( x) 是 f(x)的导函数,当 0<f(x)<1; 当 x∈ (0, π )且 x≠ x ??0, ? ? 时, 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8
? ? ( x ? ) f ?( x) ? 0 , 时 , 则函数 y=f(x)-sinx 2 2

x 6 、 (2012 年 天 津 ) 卷 函 数 f ( x) = 内 ) 的 零 点 个 数 是 23 x ?+ 在 2区 间 ( 0 , 1



) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

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2、 (2012 年全国卷)已知函数 y=x -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点, 则c ?( (A ) ? 2 或 2 ) (B) ?9 或 3 (C) ?1 或1 (D) ?3 或1

3

6、 (2012 年辽宁卷)设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ?[0,1] 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个 数为( (A)5 ) (B)6 (C)7 (D)8
1 3 2 2

8、 (2012 年上海卷)已知函数 f ( x) ? e|x?a| ( a 为常数) 。若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是 。

15、 (2012 年江苏卷) (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ?
f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数 (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 ,

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