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二次函数


1 如图,已知抛物线 y=x -1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C.

2

(1)求 A、B、C 三点的坐标. (2)过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积. (3)在 形与 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的三角
<

br />PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由.

2 如图,抛物线 y=-x +4x+5 交 x 轴于 A、B(以 A 左 B 右)两点,交 y 轴于点 C.

(1)求直线 BC 的解析式; (2)点 P 为抛物线第一象限函数图象上一点,设 P 点的横坐标为 m,△PBC 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关 系式; (3)在(2)的条件下,连接 AP,抛物线上是否存在这样的点 P,使得线段 PA 被 BC 平分,如果不存在,请说 明理由;如果存在,求点 P 的坐标.

3 在平面直角坐标系中, 抛物线 左侧. (1)如图 1,当

+

与直线

交于 A, B 两点,点 A 在点 B 的

时,直接写出 A,B 两点的坐标;

(2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线 线 理由. + 与 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧).在直 的值;若不存在,请说明

上是否存在唯一一点 Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时

图1

图2

4 如图,已知抛物线 小题 1:求直线 AB 的解析式;

交 x 轴的正半轴于点 A,交 y 轴于点 B.

小题 2:设 P(x,y) (x>0)是直线 y = x 上的一点,Q 是 OP 的中点(O 是原点) ,以 PQ 为对角线作正方形 PEQF,若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点,求 x 的取值范围; 小题 3:在(2)的条件下,记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S,求 S 关于 x 的函数解析式,并探 究 S 的 最 大 值

5 如图, 在直角坐标平面内, O 为原点, 抛物线 上. (1)求 m 的值和抛物线 (2)如在线段 OB 上有一点 C,满足 轴交于点 E. ①求直线 DC 的解析式; 的解析式;

经过点 A (6, 0) , 且顶点 B (m, 6) 在直线

,在 x 轴上有一点 D(10,0) ,连接 DC,且直线 DC 与 y

②如点 M 是直线 DC 上的一个动点,在 x 轴上方的平面内有另一点 N,且以 O、E、M、N 为顶点的四边形是 菱形,请直接写出点 N 的坐标.

6 已知二次函数

,其图像抛物线交

轴的于点 A(1,0) 、B(3,0) ,交 y 轴于点 C.直线

过点 C,且交抛物线于另一点 E(点 E 不与点 A、B 重合). (1)求此二次函数关系式; (2)若直线 经过抛物线顶点 D,交 轴于点 F,且 ∥ ,则以点 C、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行

四边形?若能,求出点 E 的坐标;若不能,请说明理由. (3)若过点 A 作 AG⊥ 轴,交直线 于点 G,连 OG、BE,试证明 OG∥BE.

7 如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,A、B 两点的

坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线 y= (1)求抛物线对应的函数关系式;

x +bx+c 经过点 B,且顶点在直线 x=

2

上.

(2)若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE,点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当四边形 ABCD 是菱形时, 试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得△PBD 的周长最小,求出 P 点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重合),过点 M 作 MN∥BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t,△PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的 取值范围,S 是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时 M 点的坐标;若不存在,说明理由.

8 如图,抛物线 且线段 OD=OC (1)求直线 CD 的解析式; (2)求抛物线的解析式;

的图象过点 C(0,1) ,顶点为 Q(2,3)点 D 在 x 轴正半轴上,

(3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证:△CEQ∽△CDO; (4)在(3)的条件下,若点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问:在 P 点和 F 点的移动 过程中,△PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由。

( 2 0 1 1 宁 波 )如 图 ,平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 ,点 A 的 坐 标 为( ﹣ 2, 2) , 点 B 的 坐 标 为 ( 6, 6) , 抛 物 线 经 过 A、 O、 B 三 点 , 连 接 OA、 OB、 AB, 线 段 AB 交 y 轴 于 点 E. ( 1) 求 点 E 的 坐 标 ; ( 2) 求 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ; ( 3) 点 F 为 线 段 OB 上 的 一 个 动 点 ( 不 与 点 O、 B 重 合 ) , 直 线 EF 与 抛 物 线 交 于 M、

N 两 点 ( 点 N 在 y 轴 右 侧 ) , 连 接 ON、 BN, 当 点 F 在 线 段 OB 上 运 动 时 , 求 △ BON 面
积的最大值,并求出此时点 N 的坐标; ( 4 )连 接 A N ,当 △ B O N 面 积 最 大 时 ,在 坐 标 平 面 内 求 使 得 △ B O P 与 △ O A N 相 似( 点 B 、

O、 P 分 别 与 点 O、 A、 N 对 应 ) 的 点 P 的 坐 标 .

( 2011 南 充 ) 抛 物 线 y = a x + b x + c 与 x 轴 的 交 点 为 A ( m ﹣ 4, 0) 和 B ( m , 0) ,与 直 线 y = ﹣ x + p 相 交 于 点 A 和 点 C ( 2m ﹣ 4, m ﹣ 6 ) . ( 1) 求 抛 物 线 的 解 析 式 ; ( 2) 若 点 P 在 抛 物 线 上 , 且 以 点 P 和 A , C 以 及 另 一 点 Q 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 A C Q P 面 积 为 12, 求 点 P , Q 的 坐 标 ; ( 3) 在 ( 2) 条 件 下 , 若 点 M 是 x 轴 下 方 抛 物 线 上 的 动 点 , 当 △ P Q M 的 面 积 最 大 时 , 请 求 出 △ PQM 的 最 大 面 积 及 点 M 的 坐 标 .

2

( 2011 福 州 ) 已 知 , 如 图 , 二 次 函 数 y = a x 2 + 2a x ﹣ 3a ( a ≠ 0) 图 象 的 顶 点 为 H , 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ( B 在 A 点 右 侧 ) , 点 H、 B 关 于 直 线 l: y= ( 1) 求 A 、 B 两 点 坐 标 , 并 证 明 点 A 在 直 线 l 上 ; ( 2) 求 二 次 函 数 解 析 式 ; ( 3) 过 点 B 作 直 线 B K ∥ A H 交 直 线 l 于 K 点 , M 、 N 分 别 为 直 线 A H 和 直 线 l 上 的 两 个 动 点 , 连 接 HN、 NM、 MK, 求 HN+ NM+ MK 和 的 最 小 值 . x+ 对称.

( 2011 威 海 ) 如 图 , 抛 物 线 y = a x 2 + b x + c 交 x 轴 于 点 A ( ﹣ 3, 0) , 点 B ( 1, 0) , 交 y 轴 于 点 E ( 0, ﹣ 3) . 点 C 是 点 A 关 于 点 B 的 对 称 点 , 点 F 是 线 段 BC 的 中 点 , 直 线 l 过 点 F 且 与 y 轴 平 行 . 直 线 y= ﹣ x+ m 过 点 C, 交 y 轴 于 D 点 . ( 1) 求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; ( 2) 点 K 为 线 段 A B 上 一 动 点 , 过 点 K 作 x 轴 的 垂 线 与 直 线 C D 交 于 点 H , 与 抛 物 线 交 于 点 G, 求 线 段 HG 长 度 的 最 大 值 ; ( 3) 在 直 线 l 上 取 点 M , 在 抛 物 线 上 取 点 N , 使 以 点 A , C , M , N 为 顶 点 的 四 边 形 是平行四边形,求点 N 的坐标.

( 2011 成 都 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 , △ A B C 的 A 、 B 两 个 顶 点 在 x 轴 上 , 顶 点 C 在 y 轴 的 负 半 轴 上 .已 知 | O A | : | O B | = 1: 5, | O B | = | O C | , △ A B C 的 面 积 S △ A B C = 15, 抛 物 线 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0) 经 过 A 、 B 、 C 三 点 . ( 1) 求 此 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; ( 2)设 E 是 y 轴 右 侧 抛 物 线 上 异 于 点 B 的 一 个 动 点 ,过 点 E 作 x 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 另 一 点 F ,过 点 F 作 F G 垂 直 于 x 轴 于 点 G ,再 过 点 E 作 E H 垂 直 于 x 轴 于 点 H , 得 到 矩 形 EFGH.则 在 点 E 的 运 动 过 程 中 ,当 矩 形 EFGH 为 正 方 形 时 ,求 出 该 正 方 形 的边长; ( 3) 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 B 、 C 的 点 M , 使 △ M B C 中 B C 边 上 的 高 为 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. ?若

( 2011 日 照 ) 如 图 , 抛 物 线 y = a x + b x ( a > 0) 与 双 曲 线 y = 相 交 于 点 A , B . 已 知 点 B 的 坐 标 为 ( ﹣ 2, ﹣ 2) ,点 A 在第一象限内,且

2

tan∠ A O x = 4. 过 点 A 作 直 线 A C ∥ x 轴 ,交 抛 物 线 于 另 一 点 C .( 1)求 双 曲 线 和 抛 物 线 的 解 析 式 ; ( 2)计 算 △ A B C 的 面 积 ; ( 3)
在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 D, 使 △ ABD 的 面 积 等 于 △ ABC 的 面 积 ? 若 存 在 , 请 你 写 出 点 D 的坐标;若不存在,请你说明理由.


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