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第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷及答案


第七届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛
题 得 号 分 一 二

高二年级初赛试题(A)卷

[来源:学科网]

(本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 四 总 分

温馨提示:亲爱的同学们,这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧.愿你能够放松心情, 认真审题,缜密思考,细心演算,交

一份满意的答卷. 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.C 市的民用电价原来为 0.52 元/千瓦时,换装分时电表后,峰时段(早上 8 点至晚上 21 点)的电价为 0.55 元/千瓦时,谷时段(晚上 21 点至次日早上 8 点)的电价为 0.35 元/千瓦 时. 对于一个平均每月用电 量为 200 千瓦时的家庭, 要使节省的电费不少于原来电费的 10%, 则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为( ) A.108 千瓦时 B.110 千瓦时 C.118 千瓦时 D.120 千瓦时 2.Which of the following numbers should replace the question mark?(如图 1) ( ) A.926 B.417 C.318 D.172 3.某大学的信息中心 A 与大学各部门、各院系 B,C,D,E,F,G,H,I 之间拟建立 信息联网工程.实际测算的费用如图 2 所示(单位:万元) ,请观察图形,可以不建部分网 线,就使得信息中心与各部门、各院系连通(直接或中转) ,则最少的建网费用是( ) A.12 万元 B.13 万元 C.14 万元 D.16 万元

[来源:学科网]

4.Boris 有一台出了问题的找零钱的机器,当放进一个 QUARTER(25 美分) ,从机器里出 来 5 个 NICKEL(5 美分) ;如果放入一个 NICKEL,出来 5 个 PENNY(1 美分) ;放入一个 PENNY,机器里竟然出来 5 个 QUARTER!请问:从放进 1 个 PENNY 开始,经过机器的若 干次的循环运转,可能得到多少钱?( ) A.$ 3.63 B.$ 5.43 C.$ 6.30 D.$ 7.45 5.预测人口的变化趋势有多种方法,最常见的是“直接推算法” ,使用的公式是
n Pn ? P ,其中 Pn 为预测期内 n 年后的人口数, P0 为初期人口 0 (1? k ) ( k 为常数, k ? ?1 )

数, k 为预测期内年平均增长率,如果 ?1 ? k ? 0 ,那么在这期间人口数( ) A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.先 上升后下降 D. 先下降后上升 6.从 A 点出发的一条光线在直线 AD 与 CD 之间反射了 n 次后,垂直地射到 B 点(该点可 能在 AD 上,也可能在 CD 上) ,然后按原路返回点 A ,图 3 是 n ? 4 时的光路图.若

?CDA ? 8? ,则 n 的最大值是(



A.9

B.10

C.11

D.12

二、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 7.按照我国现行的税收征管办法,企业实际应缴纳增值 税和教育附加费由以下公式计算: ①教育附加费 ? 实际应缴纳增值税 ?3% ; ②实际应缴纳增值税 ? 销项税额 ? 进项税额; ③销项税额 ? 不含税销售额 ?17% ; ④销售总收入 ? 不含税销售额 ? 销项税额. (注:销项税额:纳税人销售货物或者提供应税劳务,按照销售额和条例规定的税率计算并 向购买方或接收方收取的增值税额;进项税额:纳税人购进货物或者接受应税劳务,所支付 或者负担的增值税额) 已知某企业某月的进项税额为 8000 元,该企业本月实际应缴纳增值税和教育附加费之和为 9270 元,则该企业本月的销售总收入为 元. 8.图 4 所示的螺旋线是用以下方法画成:△ABC 是边长为 1 的

? ,? A1 A2 ,? A2 A3 分别为以 A,B,C 为圆心, 正三角形, 曲线 CA 1
以 AC , BA1 ,CA2 为半径画的弧,曲线 CA1 A2 A3 称为螺旋线旋 转一圈,然后又以 A 为圆心 AA3 为半径画弧 ? ,这样画到第 n 圈,则所得整条螺旋线的长度 ln 等于 . (用 π

表示即可) 9.工商银行一年期定期储蓄年利率为 3.87% .如果存款到期不取继续存于银行,银行自动 将本金及 95% 的利息( 5% 的利息交纳利息税)自动转存为一年期定期储蓄.某人以一年 期定期储蓄方式存入银行 1 万元,到期不取,则两年后,这笔存款扣除利息税后的本利和为 元. (精确到分) 10.化工厂的主控制表盘高 1m ,表盘底边距地面 2m ,则值班人员坐在距表盘水平距离 为 (设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 m ) m 时,表盘看得最清楚. 11.甲、乙两人分别在 A,B 两公司上班,2006 年元月的工资相等, A 公司工人的工资逐 月增加,且每月增加的金额相同, B 公司工人的工资也逐月增加,且每月增长的百分比相 同,已知 2007 年元月两人工资又恰好相等,则 2007 年 6 月 工资高. (填 甲或乙) 12.小易在瓜渚湖里划船,开始时看到“鉴湖明珠电视塔”在正西方,他沿南偏西 60 方向, 以 2.5 米/秒的速度划了 75 秒后,加快了速度,以 4.5 米/秒划了 25 秒,此时看到塔在东北 方,若沿途测得塔的最大仰角为 60 ,则塔高为
? ?

. (精确到米)

13. 加工厂有一批长为 2.5m 的条形钢材, 要截成 60cm 和 43cm 长的两种规格的零件毛坯, 则最佳下料方案为 ,材料的利用率为 . 14. 邮政部门通过设邮政车厢的方式利用铁路网络进行邮包的投送. 假设某次列车从石家庄 到广州,共停留 20 个车站(包括广州站而不含石家庄站) ,每停靠一站都要卸下发往该城市 的包裹一个,同时又装上该城市发往以后各个城市的包裹一个(石家庄站装上 20 个发往以 后各个城市的包裹) ,则火车上的包裹数量最大时,为 个.

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 15. 嫦娥一号于 10 月 24 日 18 时 05 分在西昌卫星发射中心用长征三号甲火箭发射. 其升空 后,进入距地球表面近地点约为 205 公里、远地点约为 50930 公里的椭圆形轨道,实施 4 次变轨控制后,奔往 38 万公里(地球与月球表面最近距离)之外的月球,最终进入距月球 表面约 200 公里的圆形绕月轨道.假设这两个轨道平面重合,在此平面内,以椭圆中心为原 点,近地点 A 与远地点 B 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,把地球看作一个球体, 地心设为椭圆的左焦点 F1 ,月心置于 x 轴正方向上,求椭圆形轨道和圆形绕月轨道的方 程. (地球半径约为 6370 公里,月球半径约为 1738 公里) 16.甲、乙两个同学结伴郊游,但只有一辆自行车,因此两人约定:甲骑车,乙步行,甲到 某处后将车留下改为步行,乙到达甲留车处改为骑车,当乙超过甲适当的距离时,乙将车留 下 改为 步行 ,甲 到乙 留车 处改 为骑 车? ?如 此反 复轮 换 . 已知 两人 骑车 的速 度均为 15km/ h ,步行的速度均为 5km/h ,从起点到目的地的距离为 15km ,问最少需要多长时 间两人都能到达目的地? 17.一种绿色农产品去年各季度的市场价格如下表:
[来源:学科网]

季 度 每吨售价(元)

第一季度

第二季度

第三季度

第四季度

204.5 199.5 今年农贸公司计划按去年各季度市场价格的 “平衡价 m ” (即 m 与各季度售价差的平方和最 小) 收购该种农产品, 并按每 100 元纳税 10 元 (又称征税率为 10 个百分点) , 可收购 a 万吨. 政 府为了实施惠农政策,鼓励公司多收购这种农产品,决定将税率降低 x 个百分点,则预计收 购量可增加 2 x 个百分点. (1)根据题中条件填空, m ? 元/吨; (2)写出税收 y (万 元)与 x 的函数关系式; (3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2% ,试确定 x 的取值范围.
四、开放题(本题 20 分) 18.证明:在交通繁忙的时段内,公路上汽车的车流量 y (车辆/小时)与汽车的平均速度 v (千米/小时)之间的函数关系可设为 y ?

195.5

200.5

nv (v ? 0) 型的函数关系. v ? bv ? c
2

(①车流量的定义 :车流量 y 是 1 个单位时间在过一定点的截面通过的车辆数;②在交通 繁忙的时段内, 前后相邻的两辆汽车必须保持必要的车距, 这个车距要保证后车看到前车因 故停车的信息而采取刹车措施到后车完全停下, 不会与前车追尾才行. 刹车可看作匀减速运 动. )

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二年级 初赛试题(A)卷参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 提示:1.假设该家庭每月在峰时段的平均用电量为 x 千瓦时,

0.52 ? 200 ? [0.55x ? 0.35(200 ? x)] ≥ 0.52 ? 200 ?10% ,解得 x ≤118 .

2 D ???? 2 C ???? 3 B,A???? 2 I 连接,最少的建网费用为 13 3.按 A????H ????G ????F,A????E ????
万元. 6.如图 1,设 ?1 ? ? ,则 ?2 ? ? , ?3 ? ?4 ? ? ? 8 ,
?

1

1

1

1

同样的, ?5 ? ?4 ? 8 ? ?3 ? 8 .
? ?

一般地, ?(2n ? 1) ? ?(2n ? 1) ? 8 .
?

∴ {?(2n ? 1)} 是以 ? 为首项,8°为公差的等差数列.

?(2n ? 1) ? ? ? (n ? 1)8? ,当 ?2n ? 1 ? 90? 时,n 最大,即 ? ? (n ? 1)8? ? 90? ,
∴n ?

90? ? ? 90? ? 1 ≤ ?1. 8? 8?

∴n 的最大值为 12,故选(D) . 二、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 7.117000 8. (3n ? n) π
2

9.10748.82 10.1.2 11.乙 12.95 米 13.60cm 的毛坯截 2 根,43cm 的毛坯截 3 根时为最佳下料方案;99.6% 14.110 提示:7.设企业实际应缴纳增值税为 y 元.由已知,实际缴纳的增值税和教育附加费之 和

? y ? 3% y ? 1.03 y ? 9270 ,解得 y ? 9000 .
又 销 售 总 收 入 = 不 含 税 销 售 额 + 销 项 税 额 ? 1.17× 不 含 税 销 售 额 ? 1.17 ? 销 项 税 额 ÷ (实际缴纳增值税+进项税额) (元) . 0.17 ? (1.17 ? 0.17) ? ? (1.17 ? 0.17) ? (9000 ? 8000) ? 117000

2π (1 ? 2 ? 3) ,依此规律可知第二圈、第三圈,?的 3 2π 2π 2π 长度分别为 (4 ? 5 ? 6) , (7 ? 8 ? 9) ,?,即各圈长度构成了以 (1 ? 2 ? 3) ? 4π 为 3 3 3 首项以 6π 为公差的等差数列,故前 n 圈的长即为此等差数列的前 n 项和,易求得其和为
8 .据题意可知螺旋线第一圈的长度为

(3n2 ? n)π .
9. 10000 ? (1 ? 3.87% ? 95%) ? 10748.82 .
2

10.如图 2, CD ? 2 ?1.2 ? 0.8 ,令 AD ? x ,

则 tan ? ?

BD 1.8 CD 0.8 , tan ? ? . ? ? AD x AD x
tan ? ? tan ? , 1 ? tan ? tan ?

[来源:学科网]

∵ tan ? ? tan(? ? ? ) ?

1.8 0.8 ? 1 1 1 x ? ∴ tan ? ? x , ≤ ? 1.8 0.8 1.44 2.4 1.44 1? ? x? 2 x? x x x x
∴当 x ?

1.44 1 ,即 x ? 1.2 时, tan ? 取得最大值 . x 2.4
π? 2?

又 ? ? ? 0, ? ,∴ tan ? 最大时, ? 也最大, ∴值班人员看表盘最清楚的位置为 AD ? 1.2m . 即值班人员坐在距表盘水平距离为 1.2m 处. 11.甲、乙两人的工资数额从 2006 年元月起,分别构成等差数列

? ?

{an } 和等比数列 {bn } .由 2006 年元月的金额相等,知 a1 ? b1 ,由
2007 年元月 的金额相等,知 a13 ? b13 , an 与 n 可视为一次函数型 关系, bn 与 n 可视为指数函数型关系,在同一坐标系中画出相应 函数图象如图 3,故乙工资高. 12 .如图 4 ,设塔高为 AB ,小易开始在 C 处, ?C ? 30 ,
?

?FBD ? 45? , ?DBC ? 180? ? 45? ? 135? , ?D ? 15? ,

CD ? 2.5 ? 75 ? 4.5 ? 25 ? 300 . DC DB 在 △DBC 中,由正弦定理得 , ? sin ?DBC sin ?C
故 DB ? 150 2 . 设小船划到 E 处, 仰角最大, 即 ?AEB 最大, 而 tan ?AEB ? 最大, BE 应为 B 到 DC 的最短距离,所以 BE ? DC . 在 Rt△DBE 中, BE ? DB sin15 ? 75( 3 ? 1) ;
?

AB , AB 为定值, 要使 ?AEB BE

在 Rt△AEB 中, AB ? BE tan 60 ? 75(3 ? 3) ≈ 95 米.
?

故塔高为 95 米. 13. 设每根钢材可截成 60cm 及 43cm 长的毛坯分别为 x 根和 y 根, 则有 0.6 x ? 0.43 y ≤ 2.5 ,

即 0.6 x ? 0.43 y ? 2.5 ≤ 0 .求最佳下料方案,就是在直线 0.6 x ? 0.43 y ? 2.5 ? 0 下方或直 线上找到整点 P(x0,y0 ) ,使得 0.6 x ? 0.43 y ? 2.5 ? A ,其中 A 的值接近或等于零.观察或 代入一些数据知,最靠近直线的整点为(2,3) ,故 x ? 2,y ? 3 时为最佳下料方案.这时, 材料的利用率为

0.6 ? 2 ? 0.43 ? 3 ?100% ? 99.6% . 2.5

14.假设第 k 次停靠车站之前该次列车上包裹的数量为 ak ( k ? N )个. 那么第一次靠站前的包裹数量 a1 ? 20 ; 第二次靠站前的包裹数量 a2 ? (20 ? 1) ? 19 ? 20 ? 19 ? 1 ; 第三次靠站前的包裹数量 a3 ? (20 ? 19 ? 1) ? 2 ? 18 ? (20 ? 19 ? 18) ? (1 ? 2) ; 第四次靠站前的包裹数量 a4 ? [(20 ? 19 ? 18) ? (1 ? 2)] ? 3 ? 17 ? (20 ? ? ? 17) ? (1 ? 2 ? 3) ; ?? 则第 k 次靠站前的包裹数量 ak ? [20 ? 19 ? ? ? (21 ? k )] ? [1 ? 2 ? ? ? (k ? 1)]

?

k (20 ? 21 ? k ) (k ? 1)(1 ? k ? 1) ? ? ?k 2 ? 21k . 2 2

则由二次函数的性质可得 k ? 10.5 时, ak 取得最大值,而这时的 k ? N ,则当 k ? 10 或 11 时, ak 取得最大值 110. 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)

x2 y 2 15.解:设椭圆轨道方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
则圆的轨道方程为 (x ? m) ? y ? r ,· · · · · · · · · · · · · · · (4 分)
2 2 2

其中 m ? 388108 ? c , c ? a ? b , r ? 1738 ? 200 ? 1938 .
2 2 2

由 a ? c ? 6370 ? 50930 , a ? c ? 6370 ? 205 , 解得 a ? 31937.5 , c ? 25362.5 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (12 分) 所以 b ? a ? c ? 376747500 , m ? 362745.5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (18 分)
2 2 2

x2 y2 ? ? 1, 故所求椭圆轨道方程为 1020003906 376747500
圆形绕月轨道方程为 (x ? 362745.5) ? y ? 1938 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (20 分)
2 2 2
[来源:Z#xx#k.Com]

16.解法一:如图 6 所示,以时间 t 为横轴,路程 s 为纵轴建立直角坐标系,则骑车和步行 的直线方程分别为 l1 : s ? 15t , l 2 : s ? 5t . · · · · · · · · · · · · · · (3 分) 设甲先骑车到 A1 后改 为步行,乙步行到 B1 换成骑车,因为甲留车 处恰为乙骑车处, 所以 A1 和 B1 距起点的路程相等, 即 A1 B1 ∥ t 轴, 且 A1 ,B1 必分别在 l1 , 又设两人第一次相遇在 C1 , 则因 A1C1 l 2 上, 为甲步行, B1C1 为乙骑车,所以 A1C1 ∥ l2 , B1C1 ∥ l1 . 从而四边形 OA1C1 B1 为平行四边形,再设第一次换车时距起点的路程为 s1 ,因为 A1 , B1 的 坐标分别为 A1 ?

? s1 ? ?s ? ? 4s ? ,s1 ? , B1 ? 1 ,s1 ? ,所以容易求得 C1 的坐标为 C1 ? 1 , 2s1 ? . ?5 ? ? 15 ? ? 15 ?

于是,直线 OC1 的斜率为 k1 ?

2s1 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10 分) ? .· 4 2 s1 15

同理,设第二次换车时距起点的路程为 s2 ,第二次相遇在 C2 ,则根据 A2 B2 ∥ t 轴,

? 3s ? 2s1 ? A1 A2 ∥ l2 , B1 B2 ∥ l1 , 可 以 求 得 A2 , B2 的 坐 标 分 别 为 A2 ? 2 ,s2 ? , ? 15 ? ? s ? 2s1 ? B2 ? 2 ,s2 ? . ? 15 ?
再根据四边形 C1 B2C2 A2 是平行四边形,可以求得 C2 的坐标为 C2 ? 于是,直线 OC2 的斜率为 k2 ?

? 4 ? ( s2 ? s1 ), 2( s2 ? s1 ) ? . ? 15 ?

2( s2 ? s1 ) 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (15 分) ? .· 4 2 ( s2 ? s1 ) 15 15 如此下去,均可求得两人各次相遇的点 C1 ,C2 ,C3 ,?,Cn 必定都在直线 s ? t 上.又 2
由题意知, 欲使两人都到达目的地的时间最短, 必须两人同时到达, 即某一次的相遇点 Cn 恰 好是目的地.因此,所求的最短时间 t 应满足关系式

15 t ? 15 ,解得 t ? 2h . 2 15 15 km,骑车 km,所以总时 2 2

故最少需要 2h 两人都能到达目的地. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (20 分) 解法二:因甲、乙所走的路程和所花时间都相同 ,故各步行

15 15 间为 2 ? 2 ? 2 (h) ,故最少需要 2h. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (20 分) 15 5
17.解: (1)200;??(5 分) (2)降低税率后的税率为( 10 ? x )%,农产品的收购量为 a(1 ? 2 x%) 万吨,收购总金额 为 200a(1 ? 2 x%) 万元, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (9 分) 故 y ? 200a(1 ? 2 x%)(10 ? x)% ?

( 0 ? x ? 10 ) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (15 分) (3)原计划税收为 200a ?10% ? 20a (万元) ,

200 1 a(100 ? 2 x)(10 ? x) ? a(100 ? 2 x)(10 ? x) 10000 50

1 a(100 ? 2 x)(10 ? x) ≥ 20a ? 83.2% ,即 x 2 ? 40 x ? 84 ≤ 0 , 50 解得 ?42 ≤ x ≤ 2 . 又 0 ? x ? 10 ,∴ 0 ? x ≤ 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (20 分)
依题意得 四、开放题(本小题 20 分) 18. 证明: 设后车看到前车停车信息及时反映到踩刹车需要时间为 t 0 , 这时车向前行了 vt0 的 距离,踩刹车后汽车速度由 v 匀减速地变为 0,设加速度为 a,从而后车看到前车停车信息 到后车停下所走过的路程 s ? vt0 ?

v2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分) 2a

若考虑车停后应与前车有一段距离 m (只要不追尾) ,汽车应保持的车距设为 l ,则

l ? s ? m ? vt 0 ?

v2 ?m .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8 分) 2a

因此,过马路上与车距相距 l 的一定点的截面 1 辆车用的时间为

t?

l?n (n 为平均车长) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (11 分) v

根据车流量的定义,车流量 y 是 1 个单位时间在过一定点的截面通过的车辆数, 即 1: t ? y :1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 14 分) 所以车流量 y ?

1 1 v 2av ? ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · (20 分) 2 v t l?n v ? 2at0v ? 2a(m ? n) vt0 ? ?m?n v 2a


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第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛七年级初赛试题A卷(含答案)
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第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷及答案
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