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1.3.2奇偶性


1.3.2

在日常生活中,有非常多的轴对称现象, 如人与镜中的影关于镜面对称,请同学们举几 个例子。 除了轴对称外,有 些是关于某点对称,如 风扇的叶子,如图: 它关于什么对称?
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象,请看下面的函数图像。
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观察下面两组图像,它们是否也有对称性呢? (1)

f?x? = x3

(2)

y

-1

O

1

x

f(x)=x2

f?x? = x

例如:对于函数f(x)=x3

有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)

-x x

结论:当自变量任取定义域中的 两个相反数时,对应的函数值也 互为相反数,即f(-x)=-f(x)

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而函数f(x)=x2 , 却是另一种情况, 如下: f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x)

结论:当自变量x任取定义域

-x

x

中的一对相反数时,对应的
函数值相等,即f(-x)=f(x)

函数奇偶性的定义:
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.

偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.

对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。 (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。

(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立, 即:若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。

练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 偶函数 ________ 奇函数 ② f(x)= x -1 __________
④ f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________

③ f(x)=x ________ 奇函数 ⑤ f(x)=x5 __________ 奇函数

对于形如 f(x)=x n ( n ? Z ) 的函数,在定义 域R内: 若n为偶数,则它为偶函数。

若n为奇数,则它为奇函数。

例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x
∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x)

(2)

f(x)=3x4+6x2 +a
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x)

解: 定义域为R

解: 定义域为R

∴f(x)为偶函数

∴f(x)为奇函数

说明:用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域,看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.

1 (3) f ( x) ? x ? x

1 (4) f ( x) ? 2 x ?1
解:定义域是R 1 1 ? f (? x) ? ? 2 2 ( ? x) ? 1 x ? 1 即f ?? x ? ? f ? x ? ? f ? x ?为偶函数

?x x ? o? 解:定义域是
1 1 ? f ( ? x ) ? ? x ? ? ?( x ? ) x x 即f ?? x ? ? ? f ?x ? ? f ?x ?为奇函数

思考1:函数f(x)=2x+1是奇函数吗?是 偶函数吗? y
分析:函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ 2 0 f(x) -1 1

f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠

x

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。(也称为非奇非偶函数) 如右图所示:图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。

f(x)=2x+1

思考2:以下两个函数是奇函数吗?是偶 函数吗?
(1) f(x)=

x

(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4) 解: ∵定义域不关于原点 对 称

解: 定义域为 [0 ,+∞)

∵ 定义域不关于原点 对称
∴f(x)为非奇非偶函数

或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数

思考3:
在前面的几个函数中有的是奇 函数,有的是偶函数,也有非 奇非偶函数。那么有没有这样 的函数,它既是奇函数又是偶 函数呢?
有。例如:函数 f(x)=0 是不是只有这一个呢?若不是, f(x)=0 请举例说明。
y

0
-1

1

x

根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数

偶函数
既奇又偶函数

非奇非偶函数

两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。

本课小结:

两个步骤:(判断函数的奇偶性)
(1)先求出定义域,看定义域是否关于原点 对称 (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。

练一练:

判断函数的奇偶性:

f ?x ? ? x ? 1 ? 1 ? x
2
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2

课本 P39页
课外思考题:

A组

2.5

B组

3

1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:

(1). F(x)=f(x)+f(- x)

(2).F(x)=f(x)-f(-x)
的奇偶性:

1 -x 2 2.判断函数 f(x)= x+2 -2

3. 已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x);当x<0,f(x) 等于( ). A. –x(1-x) C. -x(1+x) B. x(1-x) D. x(1+x)

4.已知函数f(x),g(x)均奇函数,F(x) = a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F(X)为(
A. 奇函数 B. 偶函数

)

C. 非奇非偶

D. 既是奇又是偶函数

若F (x) = x (f(x)+g(x) ),则F(x)为________,

F (x) = x2 (f(x)+g(x) ) ,则F(x)为________.


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