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2.1椭圆(3)(教学设计)


2.1 椭圆(3) (教学设计) 2.1.2 椭圆的简单几何性质 教学目标: 知识与技能目标: 了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;掌 握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题. 过程与方法目标: 利用曲线与方程的对应关系,通过方程来研究曲线的性质,进一步体会数形结合的思想,掌握利用方程研究曲线 性质的基本方法. 情

感、态度与价值观目标: 通过本节学习让学生进一步体会曲线与方程的对应关系,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 教学重点:椭圆的几何性质及初步应用. 教学难点:椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 教学过程: 一、复习回顾: 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨 论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养. 二、创设情境、新课引入: 通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点 及其他特征性质来研究曲线的几何性质. 三、师生互动、新课讲解: 椭圆的简单几何性质: 1.范围: 由标准方程知,椭圆上点的坐标 ( x, y ) 满足不等式 ∴ x ? a , y ? b ,∴ | x |? a , | y |? b ,
2 2

x2 y2 ? 1, 2 ? 1, a2 b

2

2

说明椭圆位于直线 x ?? , y ? ?b 所围成的矩形里. a 2.对称性: 在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 (x, ?y) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴 对称,同理,以 ? x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ? x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关 于原点对称. 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆 的中心. 3.顶点: 确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标. 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B(0 ? ) , B (0,b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 2 1 , b

x?? ,即 A(? ,0 , A (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点. a 2 1 a )
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时,线段 A1 A 2 、 B 1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2 b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长.
-1-

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 R? BF中, | O 2 |?b, | O 2 |?c, | BF |?a, t O2 2 B F 2 2
2 2 且 | F| 2 | ? 2 ,即 c ? ? . a c O B2 | B | F O | 2? 2
2 2 2

4.离心率: 椭圆的焦距与长轴的比 e ?

c 叫椭圆的离心率. a

∵ a? ? ,∴ 0?e? ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 0 1 c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。
2 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? 2 ? 2. y a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
y

O

x

例 1(课本 P40 例 4)求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长,离心率,焦点和定点坐标. 分析提示:将一般方程化为标准方程. (学生回答——老师书写) 解:把已知方程化成标准方程

x2 y2 ? ? 1, 这里 a=5,b=4,所以 c ? 25 ? 16 ? 3. 52 42
c . a
A1

e 椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=8, 离 心 率 ?

y

焦点为 F1(-3, 0)、F2(3, 0),顶点是 A1(?5,0)、A2(5,0),B1(0,?4)、B2(0,4).

B2
A2

x2 y2 把已知方程化成标准方程 2 ? 2 ? 1, 5 4

F1 O
B1

F2

x

在0 ? x ? 5的范围内算出几个点的 ( x, y) : 坐标
x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0

先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆. 椭圆的简单作法: (1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形; (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆. 课堂练习 1:求椭圆 x ? 4 y ? 16 和椭圆 9 x ? y ? 81 的长轴和短轴长,离心率,焦点坐标,定点坐标.
2 2 2 2

例 2 (课本 P40 例 5)如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的 一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F 发出的光线,经过旋转椭圆 1 1
-2-

面反射后集中到另一个焦点 F2 . 已知 BC ? F F2 , F B ? 2.8cm , F F2 ? 4.5cm . 建立适当的坐标系, 求截口 BAC 1 1 1 所在椭圆的方程.

x2 y 2 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建 a b
立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决 定.

x2 y 2 解:建立如图所示的直角坐标系,设所求椭圆方程为 a 2 ? b 2 ? 1.

在Rt ?BF1F2中, 2 B ? F

F1B ? F1F2 ? 2.82 ? 4.52
2 2

由椭圆的性质知,1B ? F2 B ? 2a, 所以 F 1 1 a ? ( F1 B ? F2 B ) ? (2.8 ? 2.82 ? 4.52 ) ? 4.1 2 2 b ? a2 ? c2 ? 4.12 ? 2.252 ? 3.4
所以,所求的椭圆方程为 x2 y2 ? ?1 4.12 3.42

课堂练习 2(课本 P41 练习 NO:2;3;4;5)
四、课堂小结,巩固反思: 椭圆的简单几何性质: (1)范围、长轴长、短轴长、对称性、对称轴、对称中心。 五、布置作业: A 组: 1、 (课本 P42 习题 2.1A 组 NO:3) 2、 (课本 P42 习题 2.1A 组 NO:4) 、 3、 (课本 P42 习题 2.1A 组 NO:5) B 组: 1、求经过点 P (4, 1),且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆的标准方程.

x : 解: 若 焦 点 在 轴 上 , 设 椭 圆 方 程 为
?a ? 2b ? 依题意有 ? 16 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), a 2 b2

得得: ?

?a ? 2 5 ?b ? 5

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆方程为 20 5
-3-

同理求得椭圆方程为: 若焦点在 轴上, y

x2 y2 y2 x2 ? 1或 ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 ? : 20 5 65 65 4
2、(tb11409004)P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1、F2 是焦点,若 ? F1PF2=600,求 ? PF1F2 的面积。 25 16

(答:

16 3 ) 3

C 组: 1. 如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的 椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第 三次变轨进入以 F 为圆心的轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示 椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④ ) D.②④

c1 c2 ? a1 a2



P F ⅢⅡ Ⅰ

其中正确式子的序号是( B A.①③ B.②③
2

C. ①④
2

2、已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?

10 ,求 m 的值. 5

解法剖析: 依题意,m ? 0, m ? 5 , 但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在 x 轴上, 0 ? m ? 5 时, 即 有 a ? 5, b ?

m, c ? 5 ? m , ∴

5?m 5 ?

?

2 5

,得 m?3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m?5 时,有

a?

m b? 5 , c? ,

m? ,∴ 5

m?5 m

10 25 ?m? . 5 3

-4-


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