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圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳


椭圆

典例剖析
知识点一 椭圆定义的应用 方程 ________.
9 解析:因为焦点在 y 轴上,所以 16+m>25-m,即 m> ,又因为 b2=25-m>0,故 m<25,所以 m 的取 2 9 9 值范围为 <m<25.答案: <m<25 2 2

x2 y2

+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 25-m 16+m

知识点二

求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0). 1 1 1 (2)经过点 A( , ),B(0,- ). 3 3 2 (1)解 方法一 椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 设其标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆定义知:2a= (5+4)2+ (5-4)2=10, 所以 a=5. 又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故椭圆标准方程为 + =1. 25 9 x2 y2 方法二 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 25 0 因为 c=4,所以 a2-b2=c2=16.又椭圆经过点(5,0),所以 2 + 2=1,所以 a2=25,所以 a b x2 y2 2 b =25-16=9,所以椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 x2 y2 (2)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时,设标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

? ? 依题意有? 1 (- ) ?a0 + b2 =1. ?
2 2 2

1 1 ( )2 ( )2 3 3 2 + 2 =1, a b

?a =5, 解得? 1 ?b =4.
2

1

又因为 a>b,所以该方程组无解.

2

y2 x2 ②当椭圆焦点在 y 轴上时,设标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
1

? ? 依题意有? 1 (- ) ? a2 +b0 =1. ?
2 2 2

1 1 ( )2 ( )2 3 3 + 2 =1, a2 b

?a =4, 解得? 1 ?b =5.
2

1

2

y2 x2 所以方程为 + =1. 1 1 4 5 y2 x2 综上知,所求椭圆的标准方程为: + =1. 1 1 4 5 2 方法二 设所求椭圆的方程为 mx +ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 1 1 m+ n=1, 9 9 依题意有 1 n=1, 4

? ? ?

?m=5, ? 解得? 所以所求椭圆的方程为 5x2+4y2=1, ? ?n=4, y2 x2 即其标准方程为 + =1. 1 1 4 5 x2 y2 练习:过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________. 9 4 x2 y2 9 4 解析: 因为 c2=9-4=5, 所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 = a a -5 a a -5 x2 y2 x2 y2 1,所以 a2=15.所以所求椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =1 15 10 15 10

知识点三

根据方程研究几何性质

求椭圆 25x2+16y2=400 的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标. y2 x2 解 将方程变形为 + =1,得 a=5,b=4,所以 c=3.故椭圆的长轴和短轴的长分别 25 16 c 3 为 2a=10,2b=8,离心率 e= = ,焦点坐标为(0,-3),(0,3),顶点坐标为(0,-5),(0,5), a 5 (-4,0),(4,0).

知识点四

根据几何性质求方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)长轴长是 6,离心率是 . 3 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 解 (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 + 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a2 b a b c 2 由已知得 2a=6,a=3.e= = ,∴c=2. a 3 ∴b2=a2-c2=9-4=5.
2

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 9 5 5 9

(2)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0). a 2 b2

如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高),且|OF|=c, |A1A2|=2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为 知识点五 求椭圆的离心率 如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦 2 点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

x2 y2 ? ? 1, 18 9



方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c.则焦点为 F1 ( ? c,0),

F2 (c,0),M 点的坐标为(c, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 即 4c2+

2 b),则△MF1F2 为直角三角形.在 Rt△M F1F2 中: 3

4 2 b =|MF1|2. 9
4 2 4c 2 ? b 2 ? b ? 2 a , 9 3

而|MF1|+| MF2|=

整理得 3c2=3a2 ? 2 ab. 又 c2=a2 ? b2,所以 3b=2a.

b2 4 所以 2 ? , a 9 c2 a 2 ? b2 b2 5 5 2 ? 1 ? 2 ? , 所以 e= 所以 e ? 2 ? 2 3 a a a 9
知识点六 直线与椭圆的位置关系问题 当 m 取何值时,直线 l:y=x+m 与椭圆 9x2+16y2=144 相切、相交、相离. ?y=x+m, ① ? 解 由题意,得? 2 2 ? ?9x +16y =144. ② ①代入②,得 9x2+16(x+m)2=144,
3

化简,整理,得 25x2+32mx+16m2-144=0, Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14 400. 当 Δ=0 时,得 m=± 5,直线 l 与椭圆相切. Δ>0 时,得-5<m<5,直线 l 与椭圆相交. 当 Δ<0 时,得 m<-5,或 m>5,直线 l 与椭圆相离. 知识点七 中点弦问题 x2 y2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,求 l 的方程. 36 9 解 设 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 y2 1 1 + =1, 36 9 则有 2 x2 y2 2 + =1. 36 9

? ? ?

两式相减,得 kAB= 9(x1+x2) =- 36(y1+y2) 2×4 1 =- =- . 2 4×2×2

y1-y2 x1-x2

1 ∴l 的方程为:y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. 2

考题赏析
x2 y2 1 1.(江西高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx a b 2 -c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( ) A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 b c 解析 ∵x1+x2=- ,x1x2=- . a a 2 b2 2c b +2ac 2 2 2 ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2+ = . a a a2 c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2 1 3 ∴b2=a2-c2=a2-?2a?2= a2. ? ? 4 3 2 1 a +2a× a 4 2 7 2 ∴x1+x2= = <2. 2 a2 4 2 2 ∴P(x1,x2)在圆 x +y =2 内. 答案 A 2.(浙江高考)如图所示,AB 是平面α 的斜线段,A 为斜足.若点 P 在平面α 内运动, 使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
4

解析 由题意可知 P 点在空间中的轨迹应是以 AB 为旋转轴的圆柱面,又 P 点在平面 α 内, 所以 P 点的轨迹应是该圆柱面被平面 α 所截出的椭圆. 答案 B

x2 y2 1.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为( ) 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不确定 答案 B 解析 △PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.因 2a=10,c= 25-9=4,周长 为 10+8=18. 2.a=6,c=1 的椭圆的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 A. + =1 B. + =1 36 35 36 35 2 2 x y C. + =1 D.以上都不对 36 5 答案 D 解析 因焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,故标准方程有两种可能.故选 D. 3.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 81 72 81 9 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 81 45 81 36 答案 A 1 解析 由题意 2a=18,2c= ×2a=6 3 2 ∴a=9,c=3,b =81-9=72. x2 y2 4.已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交 a b 椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率为( ) 3 2 A. B. 3 3 2 3 C. D. 2 2 答案 A b2 |F1F2| 解析 |AF1|= ,故有 tan60° = a |AF1| b2 c 3 ∴2c= 3× ∴(2ac)2=3(a2-c2)2 解得 e= = . a a 3 x2 y2 1 5.设椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值是( ) 4 m 2 16 A.3 B. 3 16 16 C. 或 3 D.2 或 3 3 答案 C
5

解析 当 m>4 时,此时有 当 0<m<4 时,

m-4 1 16 = ,所以 m= ; 2 3 m

4-m 1 = ,所以 m=3. 2 2 2 2 x y2 6. 直线 y= x 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦 2 a b 点,则椭圆的离心率为________. 2 答案 2 b2 b2 2 解析 当 x=c 时,y=± ,∴ = c a a 2 a2-c2 2 2 2 即 = c ∴e2+ e-1=0,解得 e= . a 2 2 2 π x2 7.倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A,B 两点,则线段 AB 中点的轨迹方程是 4 4 ________. 4 4 答案 x+4y=0(- 5<x< 5) 5 5 解析 设中点坐标为(x,y),A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为 y= x+b,代入椭圆方程, 整理,得 5x2+8bx+4(b2-1)=0,

?x=x +x =-4b, 2 5 则? b ?y=5,
1 2

所以 x+4y=0. 由 Δ=64b2-4×5×4(b2-1)>0, 得- 5<b< 5, 4 4 故- 5<x< 5. 5 5 8.求过点 A(2,0),且与圆 x2+4x+y2-32=0 内切的圆的圆心的轨迹方程. 解 将圆的方程化为标准形式(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为 B(-2,0),半 径为 6,如图所示.

设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离. ∴即|BC| ? |MC|=|BM|. 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6. 根据椭圆的定义知点 M 的轨迹是以点 B( ? 2,0)和点 A(2,0)为焦点, 线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆. ∴a=3,c=2,b= a ? c ? 5
2 2

6

∴所求圆心的轨迹方程为

x2 y2 x2 y2 + =1 , 9 + 5 =1 32 ( 5) 2

9.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3; (3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)两点; x2 y2 (4)与椭圆 + =1 有相同离心率,焦点在 x 轴上,且经过点(2,- 3). 4 3 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 ∵椭圆过点 A(3,0), 9 ∴ 2=1,a=3, a ∵2a=3· 2b,∴b=1, x2 ∴方程为 +y2=1. 9 若椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵椭圆过点 A(3,0), 02 9 ∴ 2+ 2=1, a b ∴b=3,2a=3· 2b,∴a=9, y2 x2 ∴方程为 + =1. 81 9 x2 y2 x2 综上所述,椭圆的标准方程为 +y2=1 或 + =1. 9 81 9 ?a=2c (2)由已知? ?a-c= 3

?a=2 3 ∴? ?c= 3 从而 b2=9 ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 (3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上, 1 m= ?12m+n=1 15 ? 代入上述方程得? ,解得 , 1 ? ?3m+4n=1 n= 5 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 x2 y2 (4)由题意,设所求椭圆的方程为 + =t(t>0), 4 3 2 22 (- 3) 因为椭圆过点(2,- 3),所以 t= + =2, 4 3 x2 y2 故所求椭圆标准方程为 + =1. 8 6

? ? ?

7

x2 y2 6 10. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3 (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,求△AOB 面积 2 的最大值. 解 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意

?c= 6, ? x2 ,∴b=1,∴所求椭圆方程为 +y2=1. ?a 3 3 ?a= 3 ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. |m| 3 2 3 2 2 2 由已知 2= 2 ,得 m =4(k +1).把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)x + 1+k 6kmx+3m2-3=0, -6km 3(m2-1) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2 2 2 12(m2-1)? 2 ? 36 k m - =(1+k )? 2 3k2+1 ? ?(3k +1)2 ? 2 2 2 2 12(k +1)(3k +1-m ) 3(k +1)(9k2+1) = = (3k2+1)2 (3k2+1)2 2 12k 12 =3+ 4 =3+ (k≠0) 2 1 9k +6k +1 9k2+ 2+6 k 12 ≤3+ =4. 2×3+6 1 当且仅当 9k2= 2, k 3 即 k=± 时等号成立. 3 当 k=0 时,|AB|= 3, 综上所述|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值. 1 3 3 S= ×|AB|max× = . 2 2 2 x2 y2 11.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任意一点. 100 64 π (1)若∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积; 3 (2)求 PF1· 2 的最大值. PF 解:(1)设 PF1=m,PF2=n(m>0,n>0).根据椭圆的定义得 m+n=20.在△F1PF2 中,由 π 余弦定理得 PF2+PF2-2PF1· 2· PF cos∠F1PF2=F1F2,即 m2+n2-2mn· =122.∴m2+n2- cos 1 2 2 3 256 1 mn=144, 即(m+n)2-3mn=144.∴202-3mn=144, mn= .又∵S△F1PF2= PF1· 2· 即 PF sin 3 2 1 π 1 256 3 64 3 ∠F1PF2= mn· ,∴S△F1PF2= × × = sin . 2 3 2 3 2 3 (2) ∵ a = 10 , ∴ 根 据 椭 圆 的 定 义 得 PF1 + PF2 = 20. ∵ PF1 + PF2≥2 PF1·PF2 , ∴
8

PF1·PF2≤?
值是 100.

?PF1+PF2?2=?20?2=100,当且仅当 PF =PF =10 时,等号成立.∴PF ·PF 的最大 ? ? ? 1 2 1 2 ? 2 ? ?2?

讲练学部分
2.2.1 椭圆及其标准方程(一)

对点讲练
知识点一 椭圆定义的应用

平面内一动点 M 到两定点 F1、F2 距离之和为常数 2a,则点 M 的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 答案 D 解析 当 2a>|F1F2|时是椭圆,当 2a=|F1F2|时,是线段,当 2a<|F1F2|时无轨迹,所以选 D.

【反思感悟】 并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭 圆,只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆.
命题甲: 动点 P 到两定点 A、 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0 且 a 为常数); B 命题乙:点 P 的轨迹是椭圆,且 A、B 是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B

知识点二

由椭圆方程求参数的范围 x2 y2 若方程 + =1 表示椭圆,求 k 的取值范围. 5-k k-3

?5-k>0, ? 解 由椭圆的标准方程知?k-3>0, ?5-k≠k-3. ?
解得 3<k<5,且 k≠4. 【反思感悟】 5-k≠k-3 包括了焦点在 x 轴、y 轴两种情况的椭圆. x2 y2 方程 + =1 表示焦点在 y 轴的椭圆,求 m 的范围. 2m-1 3-2m 解 由题意得 3-2m>2m-1>0, ? ?2m-1>0, 1 即? 解得: <m<1. 2 ? ?3-2m>2m-1.

知识点三

求椭圆的标准方程
9

求适合下列条件的椭圆的标准方程. 5 3 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点?2,-2?,求它的标准方 ? ? 程. (2)焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3,1)两点. (1)解 方法一 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 + =1 (a>b>0). a2 b2 由椭圆的定义知 ?5+2?2+?-3?2+ ?5-2?2+?-3?2 2a= ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2? =2 10, 所以 a= 10. 又因为 c=2,所以 b2=a2-c2=10-4=6. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 x2 y2 方法二 设椭圆的标准方程为 2+ 2 =1, a a -4 5 3? 因点?2,-2?在椭圆上,代入椭圆方程得: ? 25 9 + =1, 4a2 4a2-16 解得:a2=10. x2 y2 ∴所求方程为 + =1. 10 6 x2 y2 (2)解 方法一 ①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).根据题 a b

意有,

? ? ?(-2 ? a ?

2 ( 3)2 (-2) + 2 =1, a2 b

3)2

2

1 + 2=1, b

? 2 ?a =15, 解得? 2 ?b =5. ?

x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

根据题意有

? ? ? 1 (-2 ?a + b ?
2

(-2)2 ( 3)2 + 2 =1, a2 b 3)2
2

=1,

?a2=5, ? 解得? 2 ? ?b =15.

因为 a<b,所以方程无解. 综上①②知, x2 y2 所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 方法二 设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n), ?3m+4n=1, ? 根据题意得? ? ?12m+n=1.

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?m=15, 解得? 1 ?n=5,
1 所以所求椭圆的标准方程为 【反思感悟】 x2 y2 + =1. 15 5

求椭圆的标准方程通常利用待定系数法,如果不能确定焦点 是在 x 轴上还是在 y 轴上,要分两种情况求解,当然也可以按(2)中的方法二设椭 圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n),这样就可避免分情况讨论了.
求焦点在 x 轴上,焦距等于 4,并且经过点 P(3,-2 6)的椭圆的标准方程. ∵2c=4,∴c=2. x2 y2 由题意可设椭圆的标准方程为 2+ 2 =1. a a -4 代入 P(3,-2 6), 9 24 得 2+ 2 =1. a a -4 a2=1 或 a2=36,∵a>c, x2 y2 ∴方程为 + =1. 36 32 课堂小结:? 1.椭圆的定义中只有当距离之和 2a>|F1F2|时,轨迹才是椭圆;2a=| F1F2|时,轨迹是线段 F1F2;2a<| F1F2|时没有轨迹.? 2.判断椭圆的焦点在 x、y 轴上的依据是标准方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上. ? 3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的 位置,那么有两种方法来解决问题,一是分类讨论全面考虑问题;二是设椭圆方程一般式, 也就是:? 解

y 2 x2 (1)如果明确焦点在 x 轴上,那么设所求的椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0). a b 2 2 y x (2)如果明确焦点在 y 轴上,那么设所求的椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0). a b
(3)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上,那么方程可以设为 mx2 + ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.

课时作业
一、选择题 1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为 18,焦距为 6,那么椭圆的方程为( x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 9 16 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 或 + =1 16 25 25 16 16 25 答案 D ? ? ?2a+2b=18 ?a+b=9 解析 ? ?? ? ? ?2c=6 ?c=3

)

11

?a+b=9 ?a+b=9 ?a=5 ? ? ? ?? 2 ?? ?? . 2 ? ? ? ?a -b =9 ?a-b=1 ?b=4 x2 2.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3 另外一个焦点在边 BC 上,则△ABC 的周长为( ) A.2 3 B.4 3 C.6 D.16 答案 B 解析 由题意知, 三角形的周长为 B 点到椭圆两焦点距离之和加上 C 点到椭圆两焦点距 离之和,因此周长为 4 3. 3.当直线 y=kx+2 的倾斜角大于 45° 小于 90° 时,它和曲线 2x2+3y2=6 的公共点的个 数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 C ?y=kx+2, ? 解析 由题意知 k>1,? 2 2 ? ?2x +3y =6. (2+3k2)x2+12kx+6=0, Δ=(12k)2-4×(2+3k2)×6=72k2-48>0. ∴该直线与曲线公共点的个数为 2. y2 4.椭圆 x2+ =1 的一个焦点是(0, 5),那么 k 等于( ) k A.-6 B.6 C. 5+1 D.1- 5 答案 B 解析 由题意 a2=k,b2=1, ∴k-1=( 5)2?k=6. 二、填空题 5.△ABC 中,已知 B、C 的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且△ABC 的周长等于 16,则顶 点 A 的轨迹方程为________. x2 y2 答案 + =1(y≠0) 25 16 6. “神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆, 设其近地点 距地面 n 千米, 远地点距地面 m 千米,地球半径为 R, 那么这个椭圆的焦距为________千米. 答案 m-n 解析 设 a,c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距, ? ?a+c=m+R 则? ,则 2c=m-n. ?a-c=n+R ? x2 y2 7.P 是椭圆 + =1 上的点,F1 和 F2 是该椭圆的焦点,则 k=|PF1|· 2|的最大值是 |PF 4 3 __________;最小值是__________. 答案 4 3 解析 设|PF1|=x,则 k=x(2a-x) 因 a-c≤|PF1|≤a+c,即 1≤x≤3. ∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4 ∴kmax=4,kmin=3. 三、解答题 8.△ABC 的三边 a、b、c 成等差数列,A、C 两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点 B 的轨迹方程. 解 由题意得 2b=a+c,即 a+c=4. ∴|BC|+|BA|=4>|AC|=2. ∴B 点的轨迹为椭圆

12

x2 y2 ∴方程为 + =1. 4 3 因 B 点是△ABC 的顶点,不在 x 轴上, x2 y2 所以所求的轨迹方程为 + =1 (x≠± 2). 4 3 x2 y2 9.已知经过椭圆 + =1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB,交椭圆于 A、B 两点, 25 16 F1 是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B 的周长; (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,△AF1B 的周长有变化吗?为什么? 解 由已知,a=5,b=4,所以 c= a2-b2=3. (1)△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|. 由椭圆的定义,得 |AF1|+|AF2|=2a,① |BF1|+|BF2|=2a,② 所以,△AF1B 的周长为 4a=20. (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,△AF1B 的周长不变化. 这是因为①②两式仍然成立, △AF1B 的周长为 20,这是定值. 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别为(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26. 解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以设它的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b ∵2a= (5+3)2+0+ (5-3)2+0=10, 2c=6,∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16, x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 25 16 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 y2 x2 + =1 (a>b>0). a2 b2 ∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5,∴b2=a2-c2=144, y2 x2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 169 144

2.2.1

椭圆及其标准方程(二)

对点讲练
知识点一 与椭圆有关的轨迹方程 x2 y2 已知点 M 在椭圆 + =1 上, MP′垂直于椭圆焦点所在的直线, 垂足为 P′, 36 9 并且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程. 分析 因点 P 与点 M 的坐标间存在一定关系,故可用 P 点坐标表示 M 点坐标,并代入 M 点坐标所满足的方程,整理即得所求轨迹方程. 解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0). x2 y2 x2 y2 0 0 ∵点 M 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 36 9 36 9
13

∵M 是线段 PP′的中点, ?x0=x, ?x0=x ? ? ∴? 把? y y , ?y0=2, ?y0=2 ? ? x2 y2 x2 y2 0 0 代入 + =1,得 + =1,即 x2+y2=36. 36 9 36 36 ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36.

【反思感悟】 本例中动点 P 与曲线上的点 M 称为相关点(有关系的两点), 这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法. 其基本步骤就是先求出 M 点与 P 点的坐标关系式并用 P 点的坐标表示 M 点坐标,然后代入 M 点坐标所满足的 方程,整理后即得所求.
如图所示在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, 为垂足. D 当 点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么? 解 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), 则 x=x0,y=

因为点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上, 所以 x02+4y02=4.① 把 x0=x,y0=2y 代入方程①, x2 得 x2+4y2=4,即 +y2=1. 4 所以点 M 的轨迹是一个椭圆. 知识点二 应用椭圆定义求轨迹方程 已知圆 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任意一点,求 AC 的垂直 平分线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程. 分析 由图可知点 P 到 B 点和 A 点的距离的和为定值,可借助椭圆定义来求. 解 如图所示,连结 AP, ∵l 垂直平分 AC, ∴|AP|=|CP|, ∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3

y0 . 2

【反思感悟】 求动点的轨迹方程时,应首先充分挖掘图形的几何性质,看 能否确定轨迹的类型,而不要起步就代入坐标,以致陷入繁琐的化简运算之中.
已知两定点 A、B,且|AB|=8,M 是平面上一动点,且|AM|=10,线段 BM 的垂直平分线交 AM 于 P 点,P 点的轨迹是什么图形? 解 如右图所示

14

|PB|=|PM|,|PA|+|PB| =|PA|+|PM|=10,|AB|=8, 所以|PA|+|PB|>|AB|, 所以 P 点轨迹是椭圆. 知识点三 椭圆定义的综合应用 x2 y2 π 设 M 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 为焦点,∠F1MF2= ,求△MF1F2 的面积. 25 16 6 π 分析 在△MF1F2 中,已知|F1F2|和∠F1MF2= ,况且|MF1|+|MF2|=2a=10,可根据余 6 弦定理求得|MF1|和|MF2|的长,再利用面积公式可求. x2 y2 解 椭圆 + =1 中,a2=25,b2=16, 25 16 ∴c2=a2-b2=9.∴a=5,b=4,c=3. ∴|F1F2|=2c=6,2a=10. 设|MF1|=r1,|MF2|=r2. 在△MF1F2 中,由余弦定理,得: π r2+r2-|F1F2|2=2r1r2· . cos 1 2 6 2 即(r1+r2) -2r1r2-36= 3r1r2. 根据椭圆的定义,有 r1+r2=10. 64 ∴r1r2= =64(2- 3), 2+ 3 1 π ∴S△MF1F2= r1r2· =32-16 3. sin 2 6

【反思感悟】 椭圆中, △MF1F2 往往称为焦点三角形. 在△MF1F2 中, 1| |MF +|MF2|=2a,|F1F2|=2c,求解有关问题时,注意正、余弦定理的运用.

如图△ABC 中底边 BC=12,其它两边 AB 和 AC 上中线的和为 30,求此三 角形重心 G 的轨迹方程,并求顶点 A 的轨迹方程. 解 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系,则 B(6,0),C(- 6,0),CE、BD 为 AB、AC 边上的中线,则|BD|+|CE|=30. 由重心性质可知 2 |GB|+|GC|= (|BD|+|CE|)=20. 3

∵B、C 是两个定点,G 点到 B、C 距离和等于定值 20,且 20>12, ∴G 点轨迹是椭圆,B、C 是椭圆焦点. 2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2 ? c2=102 ? 62=64,

故 G 点轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,,去掉(10,0)、( ? 10,0)两点. 100 64
15

又设 G(x′,y′),A(x,y),则有

x ? 2? 0 ? ?x ' ? 1? 2 , x' y' ? ? ? 1 又∵ ? 100 64 ?y ' ? y ? 2?0 , ? ? 1? 2
2 2

x ? ?x ' ? 3 , ? ∴? ?y' ? y , ? 3 ?

故 A 点的轨迹方程为

x y ( )2 ( )2 3 ? 3 ? 1, 100 64

x2 y2 ? ?1 900 576

去掉( ? 30,0)、(30,0)两点.

课堂小结:? 1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心 在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴? 椭圆的标准方程有两种形式:?

x2 y 2 (1) 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),焦点在 x 轴上,焦点坐标为(±c,0),焦距 2c;? a b
(2)

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0),焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0,±c),焦距 2c.? a 2 b2

椭圆的焦点在 x 轴上?标准方程中 x2 项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中 y2 项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.? 2.在与圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系. ?

课时作业

一、选择题 x2 y2 1.椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面 49 24 积为( ) A.20 B.22 C.28 D.24 答案 D 解析 由|PF1|+|PF2|=14,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,得 2|PF1|· 2|=142-100=96. |PF 1 又因 PF1⊥PF2,所以 S= |PF1|· 2|=24. |PF 2 2.一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,则动圆 圆心的轨迹方程为( )

16

x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 25 16 16 25 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 25 9 9 25 答案 A 解析 两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0),r1=1; O2(3,0), 2=9, r 设动圆圆心为 M(x, 半径为 R, y), 则由题设条件可得|MO1|=1+R, |MO2| =9-R. 所以|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3.所以 b2=a2-c2=25-9=16. x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 + =1.所以选 A. 25 16 x2 y2 3. 椭圆 + =1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, 是 MF1 的中点, N 则|ON|等于( ) 25 9 3 A.2 B.4 C.8 D. 2 答案 B 1 解析 因为|MF1|+|MF2|=10,|ON|= |MF2|, 2 因为|MF2|=8,所以|ON|=4. x2 y2 4.椭圆 + =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 12 3 那么点 M 的纵坐标是( ) 3 3 2 3 A.± B.± C.± D.± 4 2 4 4 答案 A 解析 因为线段 PF1 的中点在 y 轴上, 所以 PF2⊥x 轴,F2 为另一焦点, 3? 所以 P 点坐标为?± 3,± . 2? ? 3 M 是 PF1 的中点,M 的纵坐标是± . 4 二、填空题 5. 已知椭圆的两个焦点是 F1, 2, 是椭圆上的一个动点, F P 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ| =|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是__________. 答案 圆 解析

如图所示,因为 P 是椭圆上的一个动点,所以由椭圆的定义可知: |PF1|+|PF2|=2a 为常数; 又因为|PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a 为常数.即动点 Q 到定点 F1 的距离为定值,所以动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆.故 Q 的轨迹为圆. x2 y2 6.椭圆 + =1 上到两个焦点 F1,F2 距离之积最大的点的坐标是______________. 9 25 答案 (± 3,0) 解析 设椭圆上的动点为 P,由椭圆的定义可知: |PF1|+|PF2|=2a=10,
17

|PF1|+|PF2|?2 ?10?2 2 ? =? 2 ? =25, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号; ?|PF1|+|PF2|=10 ? 由? , ? ?|PF1|=|PF2| 解得:|PF1|=|PF2|=5=a, 此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点,即 P(± 3,0). 7.点 A,B 的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2,点 M 的轨迹方程为______________________. 答案 x=-3 (y≠0) 解析 设点 M 的坐标为(x,y), y 由已知,得直线 AM 的斜率 kAM= (x≠-1); x+1 y 直线 BM 的斜率 kBM= (x≠1). x-1 kAM 由题意,得 =2, kBM y y 所以, =2× (x≠± 1,y≠0). x+1 x-1 化简,得 x=-3(y≠0). 因此,点 M 的轨迹是直线 x=-3,并去掉点(-3,0). 三、解答题 8.已知一直线与椭圆 4x2+9y2=36 相交于 A、B 两点,弦 AB 的中点坐标为 M(1,1),求 直线 AB 的方程. 解 方法一 由题意直线 AB 的斜率存在,设通过点 M(1,1)的直线 AB 的方程为 y=k(x -1)+1 代入椭圆方程,整理得 (9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0. 设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, x1+x2 -18k(1-k) 则 = =1, 2 2(9k2+4) 4 4 解得 k=- ,故 AB 的方程为 y=- (x-1)+1, 9 9 所以所求方程为 4x+9y-13=0. 方法二 设 A(x1,y1),因为 AB 中点为 M(1,1), 所以 B 点坐标是(2-x1,2-y1). 将 A、B 点坐标代入方程 4x2+9y2=36, 得 4x2+9y2-36=0,① 1 1 及 4(2-x1)2+9(2-y1)2=36,化简为 4x2+9y2-16x1-36y1+16=0.② 1 1 ①式-②式得 16x1+36y1-52=0, 化简为 4x1+9y1-13=0. 同理可推出 4x2+9y2-13=0. 因为 A(x1,y1)与 B(x2,y2)都满足方程 4x+9y-13=0, 所以 4x+9y-13=0 即为所求. 9.设 x、y∈R,i、j 分别为直角坐标平面内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,a=x i+(y +2)j,b=x i+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹方程.

所以|PF1|×|PF2|≤?

?

(2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C(为(1)问中点 M 的轨迹)交于 A、B 两点, OP → → =OA+OB,是否存在这样的直线 l 使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求 l 的方程;若不存 在,说明
18

理由. 解 (1)由|a|+|b|=8, 得 x2+(y+2)2+ x2+(y-2)2=8, 即点 M(x,y)到两定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离和为定值 8,且|F1F2|<8. y2 x2 所以点 M 的轨迹是椭圆,其方程为 + =1. 16 12 (2)设 l 的斜率为 k,l 的方程为 y=kx+3,代入椭圆方程得 (kx+3)2 x2 + =1,即(3k2+4)x2+18kx-21=0. 16 12 设 A、B 坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 18k 21 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 , 3k +4 3k +4 → → OP =OA+OB,四边形 OAPB 是平行四边形. 要使其是矩形只需 OA⊥OB 即可,即 x1x2+y1y2=0. y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9, 所以(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0, -21(1+k2) -54k2 5 5 + 2 +9=0,解得 k2= ,即 k=± . 16 4 3k2+4 3k +4 5 所以 l 存在,其方程为 y=± x+3. 4 → → → → AM=2AP,NP· =0,点 N 的轨迹为曲线 E. AM (1)求曲线 E 的方程; (2)求过点 Q(2,1)的弦的中点的轨迹方程. → → → → (1)∵AM=2AP,NP· =0 AM ∴NP 为 AM 的中垂线,|NA|=|NM| 又因为|CN|+|NM|=10,所以|CN|+|NA|=10>6 所以动点 N 的轨迹是以点 C(-3,0)和 A(3,0)为焦点的椭圆, x2 y2 且 2a=10,所以曲线 E 的方程为: + =1; 25 16 (2)设直线与椭圆交与 G(x1,y1),H(x2,y2)两点, 中点为 S(x,y) y1-y2 16(x1+x2) 由点差法可得:弦的斜率 k= =- x1-x2 25(y1+y2) 16x =- . 25y y-1 由 S(x,y),Q(2,1)两点可得弦的斜率为 k= , x-2 y-1 16x 所以 k= =- , 25y x-2 化简可得中点的轨迹方程为:16x2+25y2-32x-25y=0.

2.2.2

椭圆的简单几何性质
.

对点讲练
19

由椭圆方程研究其几何性质 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为 4( 2-1),求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐 标、顶点坐标. 分析 设出椭圆方程,再依据椭圆几何性质建立参数关系式确定椭圆方程,进而可使其 他问题解决. 解

知识点一

?b=c, ? x2 y2 y2 x2 设所求的椭圆方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1(a>b>0),则?a-c=4( 2-1), a b a b ?a2=b2+c2, ? ?a=4 2, ? ?b=4, ?c=4. ?

解得

x2 y2 y2 x2 所以所求的椭圆方程为 + =1,或 + =1. 32 16 32 16 c 2 离心率 e= = , a 2 当焦点在 x 轴上时,焦点为(-4,0),(4,0), 顶点(-4 2,0),(4 2,0),(0,-4),(0,4), 当焦点在 y 轴上时,焦点为(0,-4),(0,4), 顶点(-4,0),(4,0),(0,-4 2),(0,4 2).

【反思感悟】 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式,然后 根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系求椭圆 的几何性质.
已知椭圆 x2+(m+3)y2=m 的离心率 e= 的长、焦点坐标、顶点坐标. x2 y2 解 椭圆方程可化为 + =1, m m m+3 m(m+2) m ∴m>0.又 m- = >0, m+3 m+3 m m ∴m> ,∴a2=m,b2= , m+3 m+3 c= a2-b2= c 3 ∵e= = ,∴ a 2 ∴m=1 m(m+2) . m+3 m+2 3 = m+3 2 3 , m 的值及椭圆的长轴和短轴 求 2

3 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,焦点坐标为(± ,0) 2 1 1 顶点坐标为(1,0)(-1,0),(0, )(0,- ). 2 2

知识点二 由椭圆的几何性质求椭圆方程

20

例 2. 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0), a 2 b2

的左、 右焦点, 是椭圆上位于第一象限内的一点, AF 1 · 1F 2 =0, A 若 椭圆的离心率等于 F △AOF2 的面积为 2 2 ,求椭圆的方程. 解 ∵? AF 1 · F 1F 2 =0

2 , 2

c 2 ?∴AF2⊥F1F2,因为椭圆的离心率 e= = , a 2 1 则 b2= a2, 2 设 A(x,y)(x>0,y>0),由 AF2⊥F1F2 知 x=c,

∴A(c,y),代入椭圆方程得 ∴y?

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

b2 a2

∵△AOF2 的面积为 2 2, ∴S△AOF2= 即

1 x×y=2 2, 2

b2 1 c· = 2 2, a 2
2 c = ,∴b2=8,∴a2=2b2=16, a 2



故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 16 8

【反思感悟】 由椭圆的几何性质,求椭圆标准方程的一般步骤是:(1)构造方程求出 a、b 的值;(2)确定焦点所在的坐标轴;(3)写出标准方程. . 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右两个焦点,A 是椭圆上位于第 a 2 b2

→ 一象限内的一点,点 B 也在椭圆上,且满足 OA +OB=0(O 是坐标原点),AF2⊥F1F2.若椭圆 的离心率等于 解 2 ,△ABF2 的面积等于 4 2,求椭圆的方程. 2

c 2 1 → 由 OA +OB=0 知,直线 AB 经过原点,∵e= = ,∴b2= a2, a 2 2
21

设 A(x,y),由 AF2⊥F1F2 知 x=c, c2 y2 ∴A(c,y),代入椭圆方程得 2+ 2=1, a b b2 ∴y= ,连结 AF1,BF1,AF2,BF2, a 由椭圆的对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2, 1 1 所以 · a=4 2, 2c· 2 2 2 1 又由 c= a,解得 a2=16,b2= ×16=8, 2 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 16 8 知识点三 求椭圆的离心率 x2 y2 已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2 a b =60° . (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 解 设|PF1|=m,|PF2|=n, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 (1)在△PF1F2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2= , 2|PF1|· 2| |PF (m+n)2-2mn-4c2 4a2-4c2 2(a2-c2) 2(a2-c2) c 即 cos60° = = -1≥ -1= -1=1-2( )2=1 2mn 2mn a2 a m+n 2 ( ) 2 -2e2(当且仅当 m=n 时取“=”号) 1 1 所以 e2≥ ,又 e∈(0,1),所以 e∈[ ,1) 4 2 (2)证明 在△PF1F2 中,由余弦定理可知|PF1|2+|PF2|2-2|PF2||PF1|· cos∠F1PF2=|F1F2|2, 2 2 2 1 m +n -4c 即 cos60° = = 因为 m2+n2=(m+n)2-2mn 2 2mn (4a2-2mn)-4c2 =4a2-2mn 所以 =1, mn 4 1 3 所以 mn= b2,所以 S△PF1F2= mnsin60° = b2,即△F1PF2 的面积只与短轴长有关. 3 2 3

椭圆的离心率是椭圆固有的性质,与椭圆的位置无关.求椭 c 圆的离心率 e,即求比值a,而在椭圆方程中 a2 =b2+c2, 所以求离心率只需寻求 a, c 三者或者其中两者之间的关系式. b, 注 意椭圆离心率 0<e<1.
已知 F1 为椭圆的左焦点,A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上 的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率. 解 方法一 由已知可设椭圆的方程 x2 y2 + =1 (a>b>0),c2=a2-b2,F1(-c,0), a2 b2 因为 PF1⊥F1A,?所以 P ( -c , b 1 ?

【反思感悟】

c2 ) a2

b2 即 P (-c , ) ,?∵AB∥PO,∴kAB = kOP ?,? a

22

∴b=c,∴a ? 2 = 2c ? 2,∴e = 方法二 由方法一知 P (-c ,

c =2 2, a

b2 ),又△PF1O∽△BOA,? a a c c PF 1 F 1O ∴ = , ∴ = , 即 b=c,∴a ? 2=2c ? 2, ∴e =. = OA BO b a a

2 , 2

课堂小结:? 1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和判 断性问题中有着重要的应用.? 2.椭圆既是一个轴对称图形, 又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的 位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用.? 3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,其取值范围是 0<e<1.离心率越大,椭 圆越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆.离心率的求解问题是本单元的一个重点,也是高考的 热点内容.在求解有关椭圆离心率的问题时, 一般并不直接求出 a 和 c 的值去计算, 而是根据 题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数 c,a,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求 得离心率的值或范围.

课时作业
一、选择题 1.椭圆长轴上两端点为 A1(-3,0),A2(3,0),两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准 方程是( ) x2 y2 x2 A. + =1 B. +y2=1 9 8 9 2 2 x y x2 C. + =1 D. +y2=1 36 32 36 答案 A 1 解析 由题意知 a=3,2c= ×6=2, 3 ∴c=1,∴b= a2-c2= 9-1=2 2, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 9 8 2.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 答案 A 1 1 解析 由题意可得 2 =2×2,解得 m= . m 4 2 2 x y 3.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的 a b 半焦距为 c,则|PF1|· 2|的最大值与最小值之差一定是( |PF ) 2 2 2 A.1 B.a C.b D.c 答案 D 解析 由椭圆的几何性质得 |PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a, |PF1|+|PF2|?2 2 所以|PF1|· 2|≤? |PF 2 ? ? =a , 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|· 2|=|PF1|(2a-|PF1|) |PF =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
23

≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|· 2|最大值与最小值之差为 a2-b2=c2. |PF 4. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF 1 · MF 2 = 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是 ( ) 1 A.(0,1) B.?0,2? ? ? 2? 2 ? C.?0, D.? ,1 2? ? ?2 ? 答案 C → 解析 ∵ MF 1 ·MF2 = 0, ∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2, c 1 c 2 2 ∴?a?2< ,∴e= < .又∵0<e<1,∴0<e< . ? ? 2 a 2 2 x2 y2 x2 y2 5.设 0<k<9,则椭圆 + =1 与 + =1 具有相同的( ) 25 9 9-k 25-k A.顶点 B.长轴与短轴 C.离心率 D.焦距 答案 D x2 y2 解析 由 0<k<9,知 0<9-k<25-k,椭圆 + =1 焦点在 y 轴上,焦距为 8.而椭 9-k 25-k x2 y2 圆 + =1 的焦点在 x 轴上,焦距也为 8. 25 9 二、填空题 x2 y2 6.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为______. 5 答案 3 x2 y2 解析 椭圆 + =1 的右焦点为 F(1,0), 5 4 过 F(1,0)且斜率为 2 的直线方程为 y=2(x-1),即 y=2x-2. 代入 4x2+5y2=20 得 4x2+5×4(x2-2x+1)=20 5 4 ∴x1=0,x2= .∴y1=-2,y2= . 3 3 5 4? ∴A(0,-2),B?3,3?. ? 25 100 5 5 ∴|AB|= + = . 9 9 3 2 又点 O(0,0)到 y=2x-2 的距离为 d= . 5 1 2 5 5 5 ∴S△OAB= × × = . 2 3 3 5 7 7.在△ABC 中,AB=BC,cosB=- ,若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆 18 的离心率 e=________. 3 答案 8

24

解析

如图所示,设 AB=BC=x,

7 及余弦定理得 18 AC2=AB2+BC2 - 2AB· BCcosB 7 = x2+x2+2x2× , 18 25 5 ∴AC2= x2,∴AC = x. 9 3
由 cosB= ∵椭圆以 A、B 为焦点,∴焦距为 2c = AB = x. 又椭圆经过点 C,∴AC+BC=x + ∴2a=

5 x=2a, 3

8 c 3 x,∴e= = . 3 a 8

三、解答题 x2 1 8.已知 2+y2=1 表示离心率为 的椭圆,求椭圆方程. a 2 a2-1 1 解 当 a2>1 时,半焦距为 a2-1,所以 2 = , a 4 4 x2 2 解得 a2= ,方程为 +y =1. 3 4 3 1 3 当 a2<1 时,同理可得 1-a2= ,a2= , 4 4 x2 2 方程为 +y =1. 3 4 x2 x2 综上所述,所求的椭圆方程为 +y2=1 或 +y2=1. 4 3 3 4 x2 y2 9. 已知点 P(3,4)是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的一点, 1、 2 为椭圆的两焦点, PF1⊥PF2, F F 若 a b 试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2 的面积. 解 方法一 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0),则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2,所以 kPF1· 2= kPF 4 4 -1,即 · =-1, 3+c 3-c x2 y2 解得 c=5.所以椭圆方程为 2+ 2 =1. a a -25 9 16 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1. a a -25 解得 a2=45 或 a2=5.又 a>c,所以 a2=5 舍去. x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 45 20 方法二 因为 PF1⊥PF2,所以△PF1F2 为直角三角形.

25

1 所以|OP|= |F1F2|=c. 2 又|OP|= 32+42=5,所以 c=5. x2 y2 所以椭圆方程为 2+ 2 =1(以下同方法一). a a -25 (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|· 2|=80, |PF 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· 2|=20. |PF 2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点,k 为何值时 OA ⊥ OB ?此时| AB |的值是多少? ? 解 (1)设 P(x,y),由椭圆的定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点, 长半轴长为 2 的椭圆,它的短半轴长 b= 22-( 3)2=1, y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 2 ?x2+y =1, ? 4 (2)设 A(x ,y )、B(x ,y ),其坐标满足?
1 1 2 2

? ?y=kx+1,

消去 y 并整理得(k +4)x +2kx-3=0, 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 若 OA ⊥OB⊥OB,则 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k2+1=0,所以 k=± . 2 1 4 12 当 k=± 时,x1+x2=± ,x1·2=- , x 2 17 17

2

2

AB = (x1-x2)2+(y1-y2)2
= 1+k2· (x1-x2)2, 而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·2 x 2 4 12 4 ×52 =?± ?2+4× = . ? 17? 17 172

∴| AB | = 8

1 13 13 5 × 1? = 8 × = 4 2 17 17

4

65 。 17

§2.2

习题课
对点讲练
26

知识点一

椭圆的中点弦问题

x2 1 1 已知椭圆 +y2=1,求过椭圆内点 P( , )且被 P 平分的弦所在直线的方程. 2 2 2 解 设该直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 x1 2 +y1=1 ①, 2 则 2 x2 2 +y2=1 ②, 2

? ? ?

(x1+x2)(x1-x2) 由①-②,得 +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 y1-y2 1 x1+x2 所以 =- · , 2 y1+y2 x1-x2 1 1 又 x1+x2=2× =1,y1+y2=2× =1, 2 2 y1-y2 1 1 所以 =- ,即直线的斜率为- , 2 2 x1-x2 1 1 1 所以直线方程为:y- =- (x- ),即 2x+4y-3=0. 2 2 2

【反思感悟】 本题是典型的中点弦问题,故可用“点差法”求解,基本步 骤是:设点、代点、作差得到弦所在直线斜率与弦中点坐标间的关系.
在椭圆 x2 y2 + =1 内,通过 M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为 16 4

________. 答案 x+4y-5=0 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 x2 y1 1 + =1, ① 16 4 则 2 2 x2 y2 + =1, ② 16 4

? ? ?

(x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) 由①-②,得 + =0, 16 4 ?x1+x2=2, ? 因? ? ?y1+y2=2, y1-y2 1 所以 =- , 4 x1-x2 1 所求直线方程为 y-1=- (x-1), 4 即 x+4y-5=0. 知识点二 椭圆中的最值问题 x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,点 P 为椭圆上的任意一点, a b 求|PF1|· 2|的最大值和最小值. |PF 分析 由椭圆的定义可知, 1|+|PF2|=2a, |PF 设|PF1|=x, 则|PF2|=2a-x, 于是有|PF1|· 2| |PF =x(2a-x),再借助二次函数的性质研究最值. 解 设|PF1|=x,由椭圆的定义知,|PF2|=2a-x. ∴|PF1|· 2|=x(2a-x)=-(x-a)2+a2. |PF 又由椭圆的几何性质可知,a-c≤x≤a+c.
27

∴当 x=a 时,|PF1|· 2|取得最大值 a2. |PF 当 x=a+c 或 x=a-c 时,|PF1|· 2|取得最小值 a2-c2=b2. |PF 所以|PF1|· 2|的最大值为 a2,最小值为 b2. |PF

【反思感悟】 求椭圆中某一量的最值,关键是通过椭圆的几何性质建立起 函数关系,使问题转化为函数的最值问题.

如图所示, 已知椭圆 x2+8y2=8, 在椭圆上求一点 P, P 到直线 l: ? y+4=0 使 x 的距离最小,并求出最小值. 解 设与直线 x ? y+4=0 平行且与椭圆相切的直线为 x ? y+a=0. 由 得:9y2 ? 2ay + a2 ? 8=0. Δ =4a2 ? 36(a2 ? 8)=0,解得 a=3 或 a= ? 3, 与直线 l 距离较近的直线方程为:x ? y+3=0, ∴dmin =

|4-3| = 2

2 . 2

8 ? ?x ? ? 3 , ? x 2 ? 8 y 2 ? 8, ? 此时,由 ? ,得, ? . ? x ? y ? 3 ? 0, ?y ? 1, ? 3 ? 8 1 即 P (? . , ) 3 3 2 8 1 ∴当 P 点坐标为( ? . , )时,到直线 l 的距离最小为 .. 2 3 3
知识点三 与椭圆有关的综合问题 在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0)、B(-2,0),P 是平面内一动点,直线 PA、 3 PB 的斜率之积为- . 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; 1 (2)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的斜 2 率 k 的取值范围. y y 3 解 (1)依题意,有 kPA·PB= k · =- (x≠± 2), 4 x-2 x+2 x2 y2 化简得 + =1(x≠± 2),这就是动点 P 的轨迹 C 的方程. 4 3 (2)依题意,可设 M(x,y)、E(x+m,y+n)、F(x-m,y-n),

则有

? ?(x-m) (y-n) ? 4 + 3 =1
2 2

(x+m)2 (y+n)2 + =1 4 3



4mx 4ny n 3x y-0 两式相减,得 + =0?kEF= =- = , 4 3 m 4y 1 x- 2 2 2 由此得点 M 的轨迹方程为 6x +8y -3x=0(x≠0).
28

1 设直线 MA:x=my+2(其中 m= ),则 k ? ?x=my+2 ? 2 ?(6m2+8)y2+21my+18=0, 2 ? ?6x +8y -3x=0 故由 Δ=(21m)2-72(6m2+8)≥0?|m|≥8, 1 1 1 即| |≥8,解之得 k 的取值范围是?-8,8?. ? ? k

【反思感悟】 本题解法不唯一,可以设出直线 l 的方程,联立曲线 C,表 示出 EF 的中点 M 的坐标,再表示出 MA 的斜率 k,利用函数关系式求 k 的范围, 这样加大了运算量,本题的解法虽不容易想.但运算量较小.
x2 y2 点 A、 分别是椭圆 + =1 长轴的左、 B 右端点, F 是椭圆的右焦点. 点 点 36 20 P 在椭圆上,且位于 x 轴的上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. 解 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0),

AP =(x+6,y), PF =(x-4,y),由已知得

? x + y =1 ?36 20 ? ?(x+6)(x-4)+y2=0 ?
3 则 2x2+9x-18=0,解得 x= 或 x=-6. 2 3 5 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 3. 2 2 3 5 ? ∴点 P 的坐标是?2,2 3?. ? (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0, 设点 M 的坐标为(m,0), |m+6| 则 M 到直线 AP 的距离是 , 2 |m+6| 于是 =|m-6|,又-6≤m≤6, 2 解得 m=2, 椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 d2=(x-2)2+y2 5 =x2-4x+4+20- x2 9 4? 9?2 = ?x-2? +15, 9 由于-6≤m≤6, 9 ∴当 x= 时,d 取得最小值 15. 2 ∴椭圆上的点到点 M 的距离的最小值为 15. 课堂小结:? 1.求直线与椭圆相交时的弦长通常有两种求法:? (1)求直线与椭圆的交点,然后利用两点间距离公式求弦长,此种方法仅当直线方程和 椭圆方程简单且易得交点坐标时可以使用,一般情况下并不采用此法.? (2)将直线方程与椭圆方程联立,得到关于 x 的一元二次方程,然后运用根与系数的关
29

2

2

系,再求弦长,不必求直线与椭圆的交点,这种方法是求弦长常采用的方法.? 2.有关椭圆的中点弦问题,通常采用“点差法”求解,通过“点差”易得弦所在直线斜 率与弦中点坐标间的关系.

课时作业
一、选择题 x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( ) m-2 m+5 A.(± 7,0) B.(0,± 7) C.(± 7,0) D.(0,± 7) 答案 D 解析 因为 m+5>m-2,所以椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 方程化为标准形式为: + =1; m+5 m-2 其中 a2=m+5,b2=m-2, ∴c2=a2-b2=(m+5)-(m-2)=7,解得:c= 7; 所以椭圆的焦点坐标是(0,± 7). 2.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案 D 解析 因为椭圆焦点在 y 轴上, y2 x2 所以标准方程为: + =1, 2 2 k 2 其中 a2= ,b2=2, k 2 ∴ >2>0,解得:0<k<1. k x2 y2 3.椭圆 2+ =1 的一个焦点为(0,1),则 m 的值为( ) m 3-m -1± 17 A.1 B. 2 -1± 17 C.-2 或 1 D.-2 或 1 或 2 答案 C 解析 由椭圆的一个焦点为(0,1)可知: 椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=1; y2 x2 所以椭圆的标准方程为: + 2=1, 3-m m 2 2 2 2 其中 a =3-m,b =m ,∴c =a2-b2=3-m-m2, 由 c2=3-m-m2=1,可解得:m=-2 或 1. x2 y2 4.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 答案 A
30

解析 设 PF1 的中点为 A,因 A 在 y 轴上, 所以 OA 为△F1PF2 的中位线,即有|PF2|=2|AO|, 3 3 因 F2(3,0),∴P 点坐标为?3, ?,即|PF2|= . 2 2? ? 147 3 ∴|PF1|= =7× =7|PF2|. 2 2 二、填空题

x2 y 2 5. 已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上的点,若 PF 1 ·? PF 2 = 0, a b
1 且 tan∠PF1F2= ,则椭圆的离心率为________. 2 5 答案 3 解析 由 PF 1 ·? PF 2 = 0,知 PF1⊥PF2,△PF1F2 是 Rt△. |PF2| 1 tan∠PF1F2= = ,得|PF1|=2|PF2|,|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a, |PF1| 2 在 Rt△PF1F2 中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 5|PF2|2=(2c)2, 2a ∴5· )2=4c2 ( 3 c2 5 5 ∴e2= 2= ,∴e= . a 9 3 x2 y2 6.椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与过点 A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点,且椭圆的 a b 3 离心率 e= ,则椭圆方程为________________. 2 x2 答案 +2y2=1 2 x 解析 过点 A、B 的直线方程为 +y=1, 2 x2 y2 + =1 a2 b2 ∵由题意得 有唯一解, 1 y=- x+1 2 1 2? 2 2 即?b +4a ?x -a2x+a2-a2b2=0 有唯一解, ? ∴Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0 (ab≠0), a2-b2 3 3 故 a2+4b2-4=0,∵e= ,即 2 = , 2 a 4 1 2 2 2 2 ∴a =4b ,从而得 a =2,b = . 2 x2 故所求的椭圆方程为 +2y2=1. 2 7.有一块长轴长为 10,短轴长为 8 的椭圆形玻璃镜子,欲从此镜中划出一块面积尽可 能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为________. 答案 40 解析 设矩形的长、宽分别为 2x、2y, x2 y2 则点(x,y)在椭圆上,即 + =1, 25 16 x2 y2 xy 因 + ≥2 ,∴xy≤10, 25 16 5×4

? ? ?

31

因此 S=4xy≤40,∴最大面积为 40. 三、解答题 x2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两 2 个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量 → OP +OQ与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1. 2 1 2? 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0① ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2 Δ=8k2-4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → 则 OP +OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①得 x1+x2=- ② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2③ 而 A( 2,0),B(0,1), AB = (- 2,1) → 所以 OP +OQ与 AB 共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= . 2 2 2 由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

x2 y2 9.如图所示,从椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 a b F1,且它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F2 是右焦点,求∠F1QF2 的取值范围; (3)当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭 圆的方程. 解 (1)因为 MF1⊥x 轴, x2 y2 b2 所以 xM=-c,代入 2+ 2=1,得 yM= , a b a yM b2 b 所以 kOM= =- .因为 kAB=- , xM ac a b2 b OM∥AB,所以- =- ,即 b=c. ac a

32

c 2 从而 a= 2c,故 e= = . a 2 (2)设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ,则 m+n=2a, |F1F2|=2c.在△F1QF2 中,由余弦定理,得 m2+n2-4c2 (m+n)2-2mn-2a2 cosθ= = 2mn 2mn 2 2 a a = -1≥ -1=0. mn ?m+n?2 ? 2 ? 当且仅当 m=n 时,上式等号成立, π 因为 0≤cosθ≤1,故 θ∈?0,2?. ? ? x2 y2 (3)因为 b=c,a= 2c,所以椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c b 2 因为 PQ⊥AB,kAB=- =- ,所以 kPQ= 2. a 2 所以直线 PQ:y= 2(x-c). 代入椭圆方程得 5x2-8cx+2c2=0. 6 2 由弦长公式得|PQ|= c. 5 2 6 又点 F1 到直线 PQ 的距离为 d= c, 3 1 4 3 2 所以 S△F1PQ= |PQ|· d= c. 2 5 4 3 2 x2 y2 由 c =20 3,得 c2=25.故所求椭圆方程为 + =1. 5 50 25 10.已知直线 l 过椭圆 E:x2+2y2=2 的右焦点 F,且与 E 相交于 P,Q 两点.

1 ( OP + OQ ) 为原点) (O ,求点 R 的轨迹方程;? 2 1 1 ? (2)若直线 l 的倾斜角为 60°,求 的值.? PF QF
(1)设 OR = 解 (1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y) 1 → → OR =2(OP + OQ)?(x,y)
1 2

?x=x +x 2 1 = [(x ,y )+(x ,y )]?? 2 y +y ?y= 2
1 1 2 2 1

2

x2 ? y 2 ? 1,易得右焦点 F(1,0). 2 当直线 l⊥x 轴时,直线 l 的方程是:x=1,根据对称性可知 R(1,0) 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=k(x ? 1) 代入 E 有(2k2+1)x2 ? 4k2x+2k2 ? 2=0
由 x +2y =2?
2 2

33

Δ=8k2+8>0; 4k 2 x1+x2= 2 2k ? 1
2k 2 x1 ? x 2 = ;y = k(x ? 1), 2k 2 ? 1 2 2 2 2 2 消去参数 k 得 x +2y – x = 0 而 R(1,0)也适合上式, R 的轨迹方程是 x +2y – x = 0. 故
于是 R(x,y):x = (2)设椭圆另一个焦点为 F′, 在△PF′F 中∠PFF′=120°,|F′F|=2,设|PF|=m, 则|PF|= 2 2 ? m , 由余弦定理得(2 2 ∴m =

? m)2=22+m2-2·2·m·cos120°

2 . 2 2 ?1

同理,在△QF′F 中,设|QF|=n,则|QF|=2 2 ? n.
2 2 2 也由余弦定理得(2 2 ? n) =2 +n ? 2·2·n·cos60°

∴n=

2 , 2 2 ?1
1 PF ? 1 QF ? 1 1 2 2 ? 1 2 2 ?1 ? ? ? ?2 2, m n 2 2

于是, .

34


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