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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:4.5三角函数的性质


第四章
第 讲

三角函数

1

●正弦、余弦、正切、余切函数 的性质



●利用单位圆、三角函数的图象 点 及数轴求三角函数的定义域 ●求三角函数值域的常用方法 搜
索 ●三角函数的周期性 ●三角函数的奇偶性 ●三角函数的单调性
2

>
三角函数的定义域、值域、 奇偶性、单调性、周期性是重点考查 高 内容,尤其是求三角函数的周期,求 考 单调区间及比较大小等类型的题目在 猜 高考试题中出现的频率较高,几乎是 想 必考内容之一.题型以选择、填空题居 多,试题一般比较容易.

3

三角函数的图象、性质 解 析式 图 象
? {x | x ? k? ? , k ? Z } 2

y=sinx

y=cosx

y=tanx



R ______

R ______

________

4

解 析式 值 域

y=sinx

y=cosx

y= tanx

__________ ? ___________ _ 2 k? ? __ 2kπ 2 x=______ x=_____ ? (k∈Z) (k∈Z) 2 k? ? (2k+1)π 2 时,ymax=1 周 最 时,ymax=1 x=_______ (k∈Z) 时,ymin=-1 x=_________ (k∈Z) 时,ymin=-1 性

[-1,1]

[-1,1]

R

__

无 期



5

解 析式 奇 偶性

y=sinx
? ? [2k? - ,2k? ? ] 奇函数2 2

y=cosx
[2k? - ? ,2k? ]

y=ta nx 奇函
? ( k? - , k? ? ) 2 2

偶函数

数?


? 3? (k∈Z)上 ] [2k? ? ,2k? ? 2 2



在 (k∈Z)? ? ] [2k? ,2k? _______ 单 是增函数; 上是增函数; (k∈Z)上 调性 在 在 是增函 (k∈Z)上 (k∈Z) 数

6

1.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x, 0 ? x ? ,

?

则f(x)的最大值为( B ) A. 1
C. 3+1
? ? 2cos( x - ), 3 ?
3

2

B. 2 D. 3+2

因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x 所以,当 x ? 时,

函数f(x)取得最大值2.故选B.
7

2.函数y=2cos2(x-

?
4

)-1是( A )

A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
? C. 最小正周期为 2 的奇函数 ? D. 最小正周期为 的偶函数 2 2(x- ? )-1=cos(2x- ? ) 因为y=2cos 2 4

=sin2x为奇函数,
且T= 2? =? ,所以选A.
2
8

3.已知函数f(x)= 3 sinωx+cosωx (ω>0), y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点间的 距离等于π,则f(x)的单调递增区间是( )
5? A. [ k ? , k? ? ], k ? Z 12 12 5? 11? B. [ k ? ? , k? ? ], k ? Z 12 12 C. [ k ? -

?

?

6 ? 2? D. [ k ? ? , k? ? ], k ? Z 6 3

3

, k? ?

?

], k ? Z

9

f(x)=2sin(ωx+ 由2kπ得kπ故选C.
? ?
3

?

6

).
?

由题设知f(x)的周期为T=π,所以ω=2.
2

≤2x+

≤2kπ+
6

?

,k∈Z,
2

≤x≤kπ+

,k∈Z,
6

?

10

?

1. 求下列函数的值域. 题型1:三角函数的定义域与值域
sin 2 x ? sin x (1) f ( x) ? ; 1 - cos x (2) f ( x) ? 2cos(

?

3

? x) ? 2cos x.

11

?

? ?

2sin x cos x sin x 2cos x(1 - cos x) f ( x) ? ? 1 - cos x 1 - cos x 1 2 1 2 ? 2cos x ? 2cos x ? 2(cos x ? ) - . 2 2 因为-1≤cosx<1,

(1)

2

故函数f(x)的值域为[-

,4). 1
2

12

? (2) f ( x) ? 2cos( ? x) ? 2cos x 3 ? ? ? 2cos cos x - 2sin sin x ? 2cos x 3 3 ? 3cos x - 3 sin x
3 1 ? ? 2 3( cos x - sin x) ? 2 3 cos( x ? ). 2 2 6 ?
6

因为| cos( x ? ) |? 1,

所以函数f(x)的值域为[-2 3,2 3].
13

?

【点评】:求三角函数的值域,一般是 先化简或变形,然后利用正、余弦函数 的有界性确定整个函数的值域.注意化简 过程中不要忽略定义域.若涉及求三角函 数的定义域,注意周期及相应区间的表 示.

14

?

求下列函数的值域
cos x (1) y ? ; 2 cos x ? 1 1 ? sin x (2) y ? . 3 ? cos x

cos x (1)由 y ? 2 cos x ? 1 , 可得 (1- 2 y ) cos x ? y( y ? 1 ), 2 y . 所以 cos x ? 1- 2 y
15

因为|cosx|≤1, ? 所以cos2x≤1. ?即 y2 ? 1, 2 (1- 2 y ) ? 即3y2-4y+1≥0, ? 所以y≤ 或y≥1. 1 ?故 的值域为 3 cos x ? (-∞, y ]∪[1,+∞). ?
?

2 cos x ? 1 1 3

16

1 ? sin x , (2)由 y ? 3 ? cos x

得sinx-ycosx=3y-1.
y 2 ? 1sin( x ? ? ) ? 3 y -1. 1 -y ,sin ? ? . 这里 cos ? ? 2 2 1? y 1? y 因为|sin(x+φ)|≤1,所以 | 3 y -1|? y 2 ? 1, 3 解得0≤y≤ .4 3 1 ? sin x 故函数 y ? 的值域为[0, ]. 4 3 ? cos x

所以

17

题型2:三角函数的周期性与奇偶性 ? 2. (原创)已知函数 2 x f ( x) ? 2cos ? sin x ? 1. ? (1)求f(x)的最小正周期; 2 ? (2)若将f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位 长度后得到的图象关于y轴对称, ? 则a的最小值是多少?

18

?

(1)因为f(x)=1+cosx+sinx+1

? ? 2 sin( x ? ) ? 2, ? 所以f(x)的最小正周期是 . 4
?

2?

? (2)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2, 4

所以向右平移a个单位长度后得到的图象
? 的解析式为 g ( x) ? 2 sin( x - a ? ) ? 2, 4
19

?
? ? ?

由此时图象关于y轴对称,
可得 即有
4 2 3? a ? k? ? (k ? Z ), 4 a-

?

? k? ?

?

(k ? Z ),

故当k=0时,a取最小值,为

3? . 4

20

?

【点评】:三角函数的周期与x的系数有 关,若是高次型或绝对值型,一是注意 转化与化简,二是结合图象考虑周期是 否减半.奇偶性的判断主要是看原点是否 为对称中心(或y轴是否为对称轴),或原 点对应的正、余弦函数值是否为零(或取 最值).

21

π 已知函数 f(x)= 3sin(2x- 6 )+2sin2(x- π )(x∈R). 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合.

22

π π 解:(1)f(x)= 3sin(2x-6)+1-cos2(x-12) 3 π 1 π =2[ 2 sin2(x-12)-2cos2(x-12)]+1 π π =2sin[2(x-12)-6]+1 π =2sin(2x-3)+1, 2π 所以 T= 2 =π.

23

π (2)当 f(x)取最大值时,sin(2x-3)=1, π π 5 有 2x-3=2kπ+2(k∈Z), x=kπ+12π(k∈Z), 即 5 所以所求 x 的集合为{x∈R|x=kπ+12π(k∈Z)}.

24

题型3:三角函数的单调性
?

3. 求下列函数的单调区间:
1 ? 2x (1) f ( x) ? sin( - ), 2 4 3 (2) f ( x) ? - | sin( x ? ) | . 4

?

1 2 ? 分析:(1)要将原函数化为f ( x) ? - sin( x - ) 2 3 4

再求之,
? 的图象. (2)可画出f ( x) ? - | sin( x ? ) | 4
25

?

1 ? 2x 1 2x ? (1) f ( x) ? sin( - ) ? - sin( - ). 2 4 3 2 3 4 故由 2k? - ? ? 2 x - ? ? 2k? ? ? (k ? Z ), 3 4 2 3? 2 9? 得 3k? - ? x ? 3k? ? (k ? Z ), 8 8

为f(x)的单调递减区间;
? 2x ? 3? 由 2k? ? ? - ? 2k? ? (k ? Z ), 2 3 4 2 9? 21? ](k ? Z ). 得 [3k? ? ,3k? ?
8 8

为f(x)的单调递增区间.
26

?

所以f(x)的单调递减区间为

3? 9? [3k? - ,3k? ? ](k ? Z ), 8 ? 单调递增区间为 8
9? 21? 3k? ? ? x ? 3k? ? (k ? Z ), 8 8
[ k? ? , k? ? ](k ? Z ),

? (2) f ( x) ? - | sin( x ? ) | 的单调递增区间为 ? 3? 4

单调递减区间为
[k? -

4

4

?

4

, k? ?

?

4

]( k ? Z ).
27

?

【点评】:讨论函数f(x)=Asin(ωx+φ)型的 单调性,首先注意是否ω>0,然后根据A 的符号解不等式:2kπ- <ωx+φ<2kπ+ ? 或2kπ+ <ωx+φ<2kπ+ 2 .如果是复合函 ? ? 3? 数,则可根据复合函数的单调性判断原则 2 2 2 先转化,然后解相应的不等式.

28

比较下列各组值的大小: 1 ? (1) sin 与 cos 5; 5 ? (1)因为 1 ?
?

1 sin ? cos( ? ), 5 2 5 cos5 ? cos(2? ? 5), ? 1 而 ? 与2π-5均为锐角, 2 5

29

且 2? ? 5 ? ( ? ? 1 ) ? 15? ? 48 <0, 2 5 10 ? 从而 ? 1 ? >2? ? 5. 2 ? 又y=cosx在 5 内是减函数, π (0, ) ? 所以 2 ? 1 cos( ? )<cos(2? ? 5), ?即
?

1 2 5 sin <cos5. 5

30

42? 21? 19? ? (2) sin . sin 、 与 tan 5 5 8 21? ? ? (2)因为 sin ? sin , 5 5 42? 2? sin ? sin , 5 5 ? 2? ? 0< < < , ? 且y=sinx在 5 内单调递增, 5 2 ? (0, ) ? 所以 21? 2 42? ?又 sin <sin . 5 5 ? 所以 19? 3? ? tan ? tan > tan ? 1, 8 8 4 21? 42? 19? sin <sin < tan . 5 5 8
31

参考题
?
?

求函数

令sinx-cosx=t,

sin x cos x (0<x<π)的值域. y? sin x ? cos x ? 1

1? t2 ?则 sin x cos x ? , 1 ? t2 2 ? 所以 又x∈(0,π), 2 ? 1?t . y? t ?1 2 ?则 ? t ? 2 sin( x ? ) ? (?1,2], 4 ? 所以 1? 2 y? [ , 1). 2
32

1.求三角函数的定义域,既要注意一般 函数求定义域的规律,又要注意三角函数本 身的特有属性. 如tanx有意义时,x≠kπ+

?

,k∈Z. 2

33

2. 求三角函数的值域的常用方法: ? ①化为y=asin2x+bsinx+c ? (或y=acos2x+bcosx+c), ? 利用二次函数法(注意sinx的范围); ? ②化为y=Asin(ωx+φ) ? (或y=Acos(ωx+φ)).
?

34

?

3. 求三角函数的最小正周期是高考中的 一个热点.解决这类问题的办法是化标准 型,即通常将函数式化为只有一个函数 名,且角度唯一,最高次数为一次的形 式,然后借助于常见三角函数的周期公 式来求解.

35

?

4. 判断函数的奇偶性,应先判断其定义 域是否关于原点对称,这是判断函数奇 偶性的重要条件之一,必须首先考虑.一 般情况下,需先对函数式进行等价变形 (化简),再判断奇偶性.

36


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