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新疆维吾尔自治区喀什地区2015届高三数学上学期10月月考试卷 文(含解析)


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新疆维吾尔自治区喀什地区 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. (5 分)若集合 A={0,2,3,5},则集合 A 的真子集共有()

A. 7 个 B. 8 个 C. 15 个 D. 16 个 2. (5 分)复数 A. 的共轭复数为() B. C. D.

3. (5 分)“φ =

”是“cosφ =0”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

4. (5 分)已知 =(3,1) , =(x,﹣1) ,且 ∥ ,则 x 等于() A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3

5. (5 分)在数列{an}中,a1=0, A. B.

,则 a2013=() C. 0 D.

6. (5 分)[理]一个袋子里装有编号为 1,2,?,12 的 12 个相同大小的小球,其中 1 到 6 号 球是红色球,其余为黑色球.若从中任意摸出一个球,记录它的颜色和号码后再放回到袋子 里,然后再摸出一个球,记录它的颜色和号码,则两次摸出的球都是红球,且至少有一个球 的号码是偶数的概率是() A. B. C. D.

7. (5 分)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 () A. 4π B. 3π C. 2π D. π 8. (5 分)如图是求函数值的算法流程图,当输入值为 2 时,则输出值为()

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A. 4

B. 0

C. 1

D. ﹣3

9. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b

10. (5 分)过点 P(﹣2,m)和 Q(m,4)的直线的倾斜角为 A. 1 B. 4 C. 1 或 3

,则 m 值为() D. 1 或 4

11. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A. x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B.
+

x±y=0

C. x±2y=0

D. 2x±y=0

12. (5 分)a,b,c∈R ,设 S= A. 0<S<1 B. 1<S<2 C. 2<S<3

,则下列判断中正确的是() D. 3<S<4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点,若在正方形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 落在△ABE 内部的概率是.

14. (5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= 的面积为.

,C=

,则△ABC

15. (5 分)已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a﹣1,2a],则 y=f(x)的值 域为.

2

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16. (5 分)已知数列{an}为等差数列,若 >0 的 n 的最大值为.

<﹣1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

,且

18. (12 分)如图五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形,B1C1⊥平面 ABB1N,四边形 ABB1N 为梯形, 且 AB⊥BB1,BC=AB=AN= (1)求证:BN⊥平面 C1B1N; (2)求此五面体的体积. =4.

19. (12 分)小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成频 率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)根据图中的数据信息,求出众数 x1 和中位数 x2(精确到整数分钟) ; (Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间 y 在上午 7:00 至 7:30 之间,而送报人每天在 x1 时刻前 后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等) ,求小明的父亲在上班离家前能收到 报纸(称为事件 A)的概率.

20. (12 分)如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C 的左顶点 T

为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程;

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(2)求

的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为 坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x+sinx. (1)设 P,Q 是函数 f(x)的图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f(x)≥axcosx 在 上恒成立.

四、选做题请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如多做,则按所做的第一题计分。 22. (10 分)已知△ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1) ,B(3,2) ,C(5,4) (1)求边 AB 上的高所在直线的方程; (2)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标轴 围成的三角形的周长.

23.设函数 f(x)=

,其中 a∈R.

(1)若 a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求 f(x)的最大值和最小值; (2)若 f(x)的定义域为区间(0,+∞) ,求 a 的取值范围,使 f(x)在定义域内是单调减 函数. 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R) ,不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

新疆维吾尔自治区喀什地区 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. (5 分)若集合 A={0,2,3,5},则集合 A 的真子集共有()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 7 个 B. 8 个 C. 15 个 D. 16 个

考点: 子集与真子集. 专题: 集合. n 分析: 先集合 A 中元素个数,根据 n 元集合有 2 ﹣1 个真子集,得到答案. 解答: 解:∵集合 A={0,2,3,5}, ∴集合 A 中共有 4 个元素, 4 故集合 A 的真子集共有 2 ﹣1=15 个, 故选:C n 点评: 本题考查的知识点是子集与真子集,其中掌握 n 元集合有 2 ﹣1 个真子集,是解答的 关键. 2. (5 分)复数 A. 的共轭复数为() B. C. D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 将复数 解答: 解:∵ ∴复数 的分母实数化,结合共轭复数的概念即可得到答案.即可 = = ,

的共轭复数为 ﹣ i,

故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,分母实数化是关键,属于基础题. 3. (5 分)“φ = ”是“cosφ =0”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:当 φ = 当 cosφ =0,则 φ = 故“φ = 时,cosφ =0 成立,充分性成立. +kπ ,k∈Z,则 φ = 不一定成立,必要性不成立.

”是“cosφ =0”的充分不必要条件,

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

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4. (5 分)已知 =(3,1) , =(x,﹣1) ,且 ∥ ,则 x 等于() A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ∥ ,∴x﹣(﹣1)×3=0,解得 x=﹣3. 故选:D. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

5. (5 分)在数列{an}中,a1=0, A. B.

,则 a2013=() C. 0 D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 规律型. 分析: 根据公式求出前几个数,从而得到变化规律,再把 n=2013 代入进行计算即可得解. 解答: 解:∵a1=0, ,



=



=

=﹣



=0, ? a1,a2,a3,a4,?呈周期性变化,周期是 3, 则 a2013=a3=﹣ . 故选 D. 点评: 本题是对数字变化规律的考查,根据公式求出前几个数是解题的关键,属于基础题. 6. (5 分)[理]一个袋子里装有编号为 1,2,?,12 的 12 个相同大小的小球,其中 1 到 6 号 球是红色球,其余为黑色球.若从中任意摸出一个球,记录它的颜色和号码后再放回到袋子 里,然后再摸出一个球,记录它的颜色和号码,则两次摸出的球都是红球,且至少有一个球 的号码是偶数的概率是()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目求两次摸出的球都是红球且至少有一个球的号码是偶数的概率.分析 到题目是有放回的抽取,故可以得到抽取两次总共的取法.对于至少问题,需要根据反面思 想. 先求出两次摸出的球都是红球的取法, 再求出反面两次取到红球没有一次是偶数的种数. 前 者减去后者即可得到两次摸出的球都是红球且至少有一次号码是偶数的种数, 除以总的可能性 即可得到答案. 解答: 解:据题意由于是有放回地抽取,故共有 12×12=144 种取法, 其中两次取到红球的情况有 6×6=36 种可能, 又两次取到红球没有一次是偶数的种数为 3×3=9 所以两次摸出的球都是红球且至少有一次号码是偶数的情况共有 6×6﹣3×3=27 种可能, 故其概率为 = .

故选 B. 点评: 此题主要考查等可能事件的概率的问题,其中涉及到求“至少”的问题,用到求反 面的思想.概率问题在 2015 届高考中属于必考内容,且考查题型多为中档题型,同学们需要 掌握. 7. (5 分)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 () A. 4π B. 3π C. 2π D. π 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求 圆柱的侧面积. 解答: 解:边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱, 则所得几何体的侧面积为:1×2π ×1=2π , 故选:C. 点评: 本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力. 8. (5 分)如图是求函数值的算法流程图,当输入值为 2 时,则输出值为()

A. 4

B. 0

C. 1

D. ﹣3

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考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算分段函数 的值,代入 x=2,即可得到答案.

解答: 解:执行算法流程图,有 x=2 不满足条件 x<0,有 y=﹣3 输出 y 的值为﹣3. 故选:D. 点评: 要判断程序的运行结果,我们要先根据已知判断程序的功能,构造出相应的数学模 型,转化为一个数学问题,本题属于基础题. 9. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 常规题型. 分析: 根据换底公式变为同底的对数再比较大小. 解答: 解:log46= = ;log89= =

∵3> ∴



故选 A 点评: 本题考查了换底公式,和对数函数的单调性.当给出的对数不同底时,往往要转化 为同底的进行大小比较.

10. (5 分)过点 P(﹣2,m)和 Q(m,4)的直线的倾斜角为 A. 1 B. 4 C. 1 或 3

,则 m 值为() D. 1 或 4

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用斜率的计算公式可得: = ,即可解出. ,

解答: 解:∵过点 P(﹣2,m)和 Q(m,4)的直线的倾斜角为 ∴ = ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 化为﹣2﹣m=m﹣4,解得 m=1, 故选:A. 点评: 本题考查了斜率的计算公式,属于基础题.

11. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A. x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.
+

12. (5 分)a,b,c∈R ,设 S= A. 0<S<1 B. 1<S<2 C. 2<S<3

,则下列判断中正确的是() D. 3<S<4

考点: 反证法与放缩法. 专题: 计算题. 分析: 要判断所给的式子的范围,观察式子的特点,分母是一个利用四个字母中的三个做 分母的题目,采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和,在把所得的结果相加,得到 结论,同时以两个为一组,进行放缩,得到式子小于 2,得到结果. 解答: 解: >

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= 即 S>1, , 得 , , ,





得 S<2,所以 1<S<2. 故选 B. 点评: 本题考查放缩法求解一个式子的取值范围,是一个典型的放缩法,两端都可以变化, 可大可小,这种问题经常出现在 2015 届高考卷中的大型综合题目中. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点,若在正方形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 落在△ABE 内部的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 设正方形的边长为 1,求出 S△ABE= = ,S 正方形 ABCD=1,即可求出点 Q 落在△ABE

内部的概率. 解答: 解:由几何概型的计算方法,设正方形的边长为 1,则 S△ABE= = ,S 正方形 ABCD=1

∴所求事件的概率为 P= . 故答案为: .

点评: 利用几何概型的计算概率的方法解决本题,关键要弄准所求的随机事件发生的区域 的面积和事件总体的区域面积,通过相除的方法完成本题的解答.

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14. (5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,已知 b=2,B= 的面积为 .

,C=

,则△ABC

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 b,sinC,sinB 的值,利用正弦定理求出 c 的值,根据内角和定理和两角和的正 弦公式,求出 A 的正弦值,代入三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:∵b=2,B= ,C= ,

∴由正弦定理得,c=

=

=



又 sinA=sin(π ﹣B﹣C)=sin( = ∴△ABC 的面积 S= = , =

)=sin(



=



故答案为: . 点评: 本题考查正弦定理,三角形面积公式,以及两角和的正弦公式,熟练掌握定理及公 式是解本题的关键. 15. (5 分)已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a﹣1,2a],则 y=f(x)的值 域为[1, ].
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 据二次函数是偶函数时:不含奇次项,偶函数的定义域关于原点对称,列出方程求 出 a、b,求出 f(x)的解析式和定义域,利用二次函数的性质求出二函数的值域. 2 解答: 解:∵f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数, ∴b=0,且 a﹣1+2a=0 解得 b=0,a= , ∴f(x)= x +1,定义域为[
2

, ]

由二次函数的性质知,当 x=0 时,有最小值 1, 当 x= 或 时,有最大值 f( )= ] = ,

∴f(x)的值域为[1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故答案为:[1, ].

点评: 本题考查了二次函数是偶函数的性质,及二次函数的单调性应用,关键是掌握二次 函数是偶函数的充要条件,以及定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

16. (5 分)已知数列{an}为等差数列,若 >0 的 n 的最大值为 11. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据数列{an}为等差数列,若

<﹣1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn

<﹣1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,得到 a1>0,

d<0,然后根据等差数列的性质进行计算即可. 解答: 解:在等差数列中, ∵ <﹣1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,

∴a1>0,d<0,且 a6>0,a7<0, 且 a6+a7<0, 则 ,

, ∴使 Sn>0 的 n 的最大值为 11. 故答案为:11 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的计算,利用等差数列的性质若 p+q=m+k,则 ap+aq=am+ak 的性质是解决等差数列的关键. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 考点: 解三角形;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 计算题.

,且

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式 ,

再根据二倍角的余弦函数公式化简, 合并整理后得到关于 cosC 的方程, 求出方程的解得到 cosC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; 2 2 2 (2) 利用余弦定理表示出 c =a +b ﹣2abcosC, 再根据完全平方公式变形后, 将 a+b, c 及 cosC 的值代入求出 ab 的值,然后再由 ab,sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵A+B+C=180°, ∴ 由 ∴ 整理得:4cos C﹣4cosC+1=0, 解得: ,
2

=90°﹣ , 得: , ,

∵0°<C<180°, ∴C=60°; 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 7=a +b ﹣ab, 2 ∴7=(a+b) ﹣3ab=25﹣3ab?ab=6, ∴ .

点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:诱导公式,二倍角的余弦函数公式,余 弦定理, 三角形的面积公式, 以及完全平方公式的运用, 熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 18. (12 分)如图五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形,B1C1⊥平面 ABB1N,四边形 ABB1N 为梯形, 且 AB⊥BB1,BC=AB=AN= (1)求证:BN⊥平面 C1B1N; (2)求此五面体的体积. =4.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 利用直线与平面垂直的性质定理证明 B1C1⊥BN, 然后利用勾股定理证明 BN⊥B1N, 通过 B1N∩B1C1=B1,利用直线与平面垂直的判定定理证明:BN⊥平面 C1B1N; (2)连接 CN,说明 NM⊥平面 B1C1CB,然后五面体的体积 可. 分别求解即

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)证明:连 4,过 N 作 NM⊥BB1,垂足为 M, ∵B1C1⊥平面 ABB1N,BN? 平面 ABB1N, ∴B1C1⊥BN,?(2 分) 又,BC=4,AB=4,BM=AN=4,BA⊥AN, ∴ ∵ , , = ,

∴BN⊥B1N,?(4 分) ∵B1C1? 平面 B1C1N,B1N? 平面 B1C1N,B1N∩B1C1=B1 ∴BN⊥平面 C1B1N?(6 分) (2)连接 CN, ,?(8 分)

又 B1C1⊥平面 ABB1N,所以平面 CBB1C1⊥平面 ABB1N,且平面 CBB1C1∩ABB1N=BB1,NM⊥BB1, NM? 平面 B1C1CB, ∴NM⊥平面 B1C1CB,?(9 分) ?(11 分) 此几何体的体积 ?(12 分)

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法, 考查转化思想以及空间想象能力. 19. (12 分)小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成频 率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)根据图中的数据信息,求出众数 x1 和中位数 x2(精确到整数分钟) ; (Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间 y 在上午 7:00 至 7:30 之间,而送报人每天在 x1 时刻前 后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等) ,求小明的父亲在上班离家前能收到 报纸(称为事件 A)的概率.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)众数为出现频率最高的数,体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的 中点,中位数是从小到大排列中间位置的数,在直方图中其两边的小矩形面积相等, (Ⅱ)考查几何概型,条件中已有父亲上班离家的时间 y,再设报纸送达时间为 x,关于两个 变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能, 收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即 想 x≤y,围成平面区域为梯形,利用几何概型转化为面积之比求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)众数最高矩形所在区间的中点,则 x1=7:00 由频率分布直方图可知 6:50<x2<7:10 即 410<x2<430 ∴20×0.0033+20×0.0117+(x2﹣410)×0.0233 =20×0.0100+20×0.0017+(430﹣x2)×0.0233 解得 x2=4, (Ⅱ)设报纸送达时间为 x,则小明父亲上班前能取到报纸等价于 ,如图

所求概率为 P=1﹣ =

点评: 本题(Ⅰ)考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据,尤其是众数, 中位数和平均数,要理解并记忆, (Ⅱ)概率不是古典概型就是几何概型,事件可一一列举多 位古典概型,否则为几何概型,设报纸送达时间为 x,关于 x、y 的二元一次不等式组对应平 面区域,转化为几何概型,求面积之比.

20. (12 分)如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C 的左顶点 T

为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为 坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,得 a=2, ,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,设 y1>0.由于点 M 在 椭圆 C 上,故 .由 T(﹣2,0) ,知 = ,由此能求出圆 T 的方

程. 法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cosθ ,sinθ ) ,N(2cosθ ,﹣sinθ ) ,设 sinθ >0,由 T(﹣2,0) ,得 = 由此能求出圆 T 的方程. (3)法一:设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为: ,令 y=0,得 ,

,同理:

,?(10 分)故



由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. 法二:设 M(2cosθ ,sinθ ) ,N(2cosθ ,﹣sinθ ) ,设 sinθ >0,P(2cosα ,sinα ) ,其 中 sinα ≠±sinθ .则直线 MP 的方程为: 由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. 解答: 解: (1)依题意,得 a=2, ∴c= ,b= =1, .?(3 分) , ,

故椭圆 C 的方程为

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 由已知 T(﹣2,0) ,则 ∴ =(x1+2) ﹣
2

. ,

(*)

?(4 分) ,

= = 由于﹣2<x1<2, 故当 由(*)式, 时, ,故 取得最小值为 , . .?(8 分) . .?(6 分)

又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为:

方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 故设 M(2cosθ ,sinθ ) ,N(2cosθ ,﹣sinθ ) , 不妨设 sinθ >0,由已知 T(﹣2,0) , 则 =(2cosθ +2) ﹣sin θ 2 =5cos θ +8cosθ +3 = 故当 此时 时, , . . ?(8 分) .?(6 分) 取得最小值为 ,
2 2

又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为: (3)方法一:设 P(x0,y0) , 则直线 MP 的方程为:



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令 y=0,得



同理:

,?(10 分)

故 又点 M 与点 P 在椭圆上, 故 代入(**)式, 得: ,

(**) ?(11 分)

,?(12 分)



所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. ?(14 分) 方法二:设 M(2cosθ ,sinθ ) ,N(2cosθ ,﹣sinθ ) , 不妨设 sinθ >0,P(2cosα ,sinα ) ,其中 sinα ≠±sinθ . 则直线 MP 的方程为: 令 y=0,得 同理: , ,?(12 分) ,





所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值.?(14 分) 点评: 本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x+sinx. (1)设 P,Q 是函数 f(x)的图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f(x)≥axcosx 在 上恒成立.

考点: 导数的几何意义;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先利用导数研究函数的单调性,然后设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,根据斜率的定 义建立关系式,从而可知可证结论; (2) 设 函数的最小值,使得 Q(x)min≥0 即可. , 然后利用导数研究

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)∵f(x)=x+sinx ∴f'(x)=1+cosx≥0 ∴函数 f(x)在 R 上单调递增 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)则 ∴直线 PQ 的斜率大于 0; (2)依题意得,设 1°当 a≤0 时,Q(x)≤0 恒成立; ?(8 分) 2°当 a>0 时,Q'(x)=(a﹣1)cosx﹣axsinx﹣1,?(10 分) ①0<a≤2 时,Q'(x)≤0,Q(x)在 所以 Q(x)≤Q(0)=0 恒成立;?(12 分) ②a>2 时,注意到当 时,x≥sinx, 上单调递减, , ,即 kPQ>0

于是 Q(x)=axcosx﹣x﹣sinx≥axcosx﹣2x=x(acosx﹣2) , 必存在 ,使得当 x∈(0,x0)时,有 Q(x0)>0,不能使 Q(x)≤0 恒成

立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 a≤2. ?(16 分) 点评: 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数学结合、分类 讨论的思想进行探究、分析与解决问题的能力. 四、选做题请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如多做,则按所做的第一题计分。 22. (10 分)已知△ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1) ,B(3,2) ,C(5,4) (1)求边 AB 上的高所在直线的方程; (2)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标轴 围成的三角形的周长. 考点: 直线的截距式方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边 AB 上的高所在直线的斜率,再利 用点斜式即可得出; (2)设直线 l 的方程为: ,即 ,利用斜率计算公式可得 ,解得即可. ,再

利用相互平行的直线斜率相等的性质可得 解答: 解: (1)∵ ,

∴边 AB 上的高所在直线的斜率为﹣2, 又∵直线过点 C(5,4) , ∴直线的方程为:y﹣4=﹣2(x﹣5) ,即 2x+y﹣14=0.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)设直线 l 的方程为: ∵ ,∴ ,解得: . ,即 , ,

∴直线 l 的方程为:

∴直线 l 过点

,三角形斜边长为

∴直线 l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为



点评: 本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、 直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力, 属于中档题.

23.设函数 f(x)=

,其中 a∈R.

(1)若 a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求 f(x)的最大值和最小值; (2)若 f(x)的定义域为区间(0,+∞) ,求 a 的取值范围,使 f(x)在定义域内是单调减 函数. 考点: 函数单调性的性质;函数的值域. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断,故可先设 x1,x2∈R,得到 f(x1) ﹣f(x2)差,将其整理成几个因子的乘积 (1)将 a=1 的值代入,判断差的符号得出函数的单调性,即可确定函数在区间[0,3]的最大 值,计算出结果即可 (2)由于函数是定义域(0,+∞)是减函数,设 x1>x2>0,则有 f(x1)﹣f(x2)<0,由 此不等式即可得出参数的取值范围. 解答: 解:f(x)= = ﹣ =a﹣ ,

设 x1,x2∈R,则 f(x1)﹣f(x2)=

=



(1)当 a=1 时,f(x)=1﹣

,设 0≤x1<x2≤3,

则 f(x1)﹣f(x2)=



又 x1﹣x2<0,x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴f(x)在[0,3]上是增函数, ∴f(x)max=f(3)=1﹣ = ,f(x)min=f(0)=1﹣ =﹣1. (2)设 x1>x2>0,则 x1﹣x2>0,x1+1>0,x2+1>0. 若使 f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要 f(x1)﹣f(x2)<0,而 f(x1)﹣f(x2) = ,

∴当 a+1<0,即 a<﹣1 时,有 f(x1)﹣f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2) . ∴当 a<﹣1 时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数. 点评: 本题考查函数单调性的判断与单调性的性质,解答的关键是熟练掌握函数单调性判 断的方法定义法,本题考查了推理判断的能力及运算能力,属于中档题 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R) ,不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)先解不等式|ax+1|≤3,再根据不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}, 分类讨论,即可得到结论.

(Ⅱ)记

,从而 h(x)=

,求得|h

(x)|≤1,即可求得 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

∴h(x)=

∴|h(x)|≤1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵ 恒成立,

∴k≥1. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于 中档题.

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