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烟台芝罘区数学指数函数图像和性质及经典例题2016高三专题复习-函数(2)


【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 烟台芝罘区数学指数函数图像和性质及经典例题 2016 高三专题复习-函数(2) 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1) a r · a r ? a r ? s (2) (a r ) s ? a rs (3) (ab) r ? a r a s
(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

正数的分数指数幂的意义

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域为 R. 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:
1 (1) y ? ( ) x 3 1 (2) y ? ( ) x 2

(3) y ? 2 x (5) y ? 5 x 图象特征
a ?1

(4) y ? 3x

函数性质
0 ? a ?1
a ?1

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1)

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+
a0 ? 1

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大 于1 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的 图象纵坐标都小 于1 在第二象限内的 图象纵坐标都大 于1 函数值开始增长 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是 越来越缓 较慢,到了某一 值后增长速度极 快; 【指数函数性质应用经典例题】 例 1.设 a 是实数, f ( x) ? a ?
2 ( x ? R) ,试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 上为增函数. 2 ?1
x

增函数

减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

在第二象限内的图象纵坐标都小 于1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

函数值开始减小 极快,到了某一 值后减小速度较 慢;

证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?
?
?

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 x1 ? 1 2 ?1

2 2 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

2(2 x1 ? 2 x2 ) , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x

由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数, 且 x1 ? x2 , 所以 2 1 ? 2
x x2

即 2 1 ?2 2 ? 0,
x x

又由 2 ? 0 ,
x

得2 1

x ?1

? 0 , 2 x2 ?1 ? 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,对于任意 a, f ( x) 在 R 上为增函数.

例 2.已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ?
x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1
x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? a x1 ? a x2 ?

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a x1 ? a x2 ,∴ a x1 ? a x2 ? 0 ,



3( x1 ? x2 ) ?0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a x0 ?
2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ?1 , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

即 a x0 ?



当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴①式不成立.

3 3 ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1

综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根.

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 针对性练习 1. 已知函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1,3),且它的反函数 f-1(x)的图象过(2,0)点, 试确定 f(x)的解析式.

3

2. 已知 x ? x

1 2

?

1 2

x2 ? x 2 ? 2 的值. ? 3, 求 ?1 x ? x?3

?

3

3. 求函数 y=3 ? x

2

? 2 x ?3

的定义域、值域和单调区间.

4. 若函数 y=a2x+b+1(a>0 且 a≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1,2),求 b 的值.

5. 设 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1的最大值和最小值. 2

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 针对性练习答案 1 解析: 由已知 f(1)=3,即 a+b=3 又反函数 f-1(x)的图象过(2,0)点 即 f(x)的图象过(0,2)点.即 f(0)=2 ∴1+b=2 ?∴b=1 代入①可得 a=2 因此 f(x)=2x+1
1

①?

2 解析:由 ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 9, 可得 x+x-1=7
1

?

1

∵ ( x 2 ? x 2 )3 ? 27
3

?

1

∴ x 2 ? 3x ? x ∴x ?x
3 2 ? 3 2

?

1 2

? 3x 2 x ?1 ? x

1

?

3 2

=27

=18,

故原式=2 3 解析:(1)定义域显然为(-∞,+∞). (2)? u ? f ( x) ? 3 ? 2x ? x 2 ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 4.? y ? 3u 是 u 的增函数, 当 x=1 时,ymax=f(1)=81, 而 y= 3? x
2

? 2 x ?3

>0.

∴ 0 ? 3u ? 34 ,即值域为 (0,81] . (3) 当 x≤1 时,u=f(x)为增函数,

y ? 3u 是 u 的增函数,由 x↑→u↑→y↑
∴即原函数单调增区间为(-∞,1] ; 当 x>1 时,u=f(x)为减函数,

y ? 3u 是 u 的增函数, 由 x↑→u↓→y↓
∴即原函数单调减区间为[1,+∞ ) . 4 解析:∵x=-
b 时,y=a0+1=2 2

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 ∴y=a2x b+1 的图象恒过定点(-


b ,2) 2

∴-

b =1, 2

即 b=-2 5 解析:设 2x=t, ∵0≤x≤2, ∴1≤t≤4 原式化为:y=
1 (t-a)2+1 2

当 a≤1 时,ymin=

a2 3 a2 ? a ? , y max ? ? 4a ? 9 ; 2 2 2

5 a2 3 当 1<a≤ 时,ymin=1,ymax= ? a ? ; 2 2 2

a2 a2 3 ?a? . 当 a≥4 时,ymin= ? 4a ? 9, ymax ? 2 2 2


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