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11-12学年高一数学:2.4.1 空间直角坐标系 优化训练(人教B版必修2))


2.4.1

空间直角坐标系 优化训练

1.已知点 A(-1,2,7),则点 A 关于 x 轴对称点的坐标为( ) A.(-1,-2,-7) B.(-1,-2,7) C.(1,-2,-7) D.(1,2,-7) 答案:A 2.点 P(-2,0,3)位于( ) A.y 轴上 B.z 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 解析:选 C

.由点 P 纵坐标为零知 P(-2,0,3),在 xOz 平面内. 3.如图所示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 4.点 P(-3,2,1)关于 Q(1,2,-3)的对称点 M 的坐标是________. x-3 2+y 1+z 解析:设 M 坐标为(x,y,z),则有 1= ,2= ,-3= ,解得 x=5,y=2, 2 2 2 z=-7∴M(5,2,-7). 答案:(5,2,-7) 5.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(2,3,4)在 x 轴上的射影的坐标为______,在平面 xOy 上的射影的坐标为______,在 yOz 平面上的射影的坐标为______. 答案:(2,0,0) (2,3,0) (0,3,4) 1 1.如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,棱长为 1,|BP|= |BD′|,则 P 点的坐标 3 为( )

1 1 1 A.( , , ) 3 3 3 2 2 2 B.( , , ) 3 3 3 1 2 1 C.( , , ) 3 3 3 2 2 1 D.( , , ) 3 3 3 1 解析:选 D.连接 BD,点 P 在 xDy 平面的射影落在 BD 上,∵|BP|= |BD′|,∴Px=Py= 3

2 1 2 2 1 ,Pz= ,故 P( , , ). 3 3 3 3 3 2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 yOz 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.关于 y 轴对称 解析:选 D.由 P、Q 两点的纵坐标相同,横坐标、竖坐标分别互为相反数知 P、Q 关于 y 轴对称. 3.已知空间直角坐标系中有一点 M(x,y,z)满足 x>y>z,且 x+y+z=0,则 M 点的位置 是( ) A.一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限 B.一定在第Ⅷ卦限 C.可能在第Ⅰ卦限 D.可能在 xOz 平面上 解析:选 D.由 x>y>z 且 x+y+z=0 知,x>0,z<0,y∈R,故点 M 可能在第Ⅴ、第Ⅷ卦限 或在 xOz 平面上.故选 D. 4. 在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ,垂足为 Q, 则 Q 的坐标为( )

A.(0, 2,0) B.(0, 2, 3) C.(1,0, 3) D.(1, 2,0) 解析:选 D.由 P、Q 两点的横坐标、纵坐标相等知. 5.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7),则△ABC 的重 心坐标为( ) 7 ? ? ? 7 ? A.?6, ,3? B.?4, ,2? 2 ? ? ? 3 ? ? 14 ? ? 7 ? C.?8, ,4? D.?2, ,1? 3 ? ? ? 6 ? 答案:B 6.设 z 是任意实数,相应的点 P(2,2,z)运动的轨迹是( ) A.一个平面 B.一条直线 C.一个圆 D.一个球 解析:选 B.由 P 的 x、y 坐标是定值,则过(2,2,0)作与 xOy 平面垂直的直线,直线上任 意一点都满足 x=2,y=2,故 P 的轨迹是一条直线. 7.在 xOy 平面内有两点 A(-2,4,0),B(3,2,0),则 AB 的中点坐标是________. 解析:设 AB 中点坐标为(x,y,z), 3-2 1 则 x= = , 2 2 4+2 y= =3,z=0 2

1 ∴中点坐标为( ,3,0). 2 1 答案:( ,3,0) 2 8. 已知?ABCD 的两个顶点 A(2, -3, -5), B(-1,3,2)以及它的对角线交点 E(4, -1,7), 则顶点 C 的坐标为________,D 的坐标为________. 解析:E 为 AC、BD 的中点. 答案:(6,1,19) (9,-5,12) 9.点 P(a,b,c)关于原点的对称点 P′在 x 轴上的投影 A 的坐标为________. 解析:由题意得 P′(-a,-b,-c), ∴P′(-a,-b,-c)在 x 轴上的投影 A 坐标为(-a,0,0). 答案:(-a,0,0) 10.在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AB⊥AC,且 SA=AB=AC=a,D 为 BC 的中点, E 为 SD 的中点,建立适当的坐标系,求点 S、A、B、C、D、E 的坐标.

解:∵在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AB⊥AC, ∴以点 A 为坐标原点,AB、AC、AS 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系, ∵SA=AB=AC=a,D 为 BC 的中点, ∴A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),S(0,0,a),D( , ,0),连接 AD, 2 2 ∵SA⊥AB,SA⊥AC,AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC,过点 E 作 EF⊥AD,垂足为 F,则 EF⊥平面 ABC.∵E 为 SD 的中点,∴F 为 AD 的中点, 1 a a a ∴|EF|= |AS|,∴E( , , ), 2 4 4 2 即点 S(0,0,a),A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D( , ,0),E( , , ). 2 2 4 4 2 11. 如图,在长方体 OABC-D′A′B′C′中,|OA|=1,|OC|=3,|OD′|=2,点 E 在线 1 段 AO 的延长线上,且|OE|= ,写出 B′,C,E 的坐标. 2

a a

a a

a a a

解:点 C 在 y 轴上,x 坐标,z 坐标均为 0,且|OC|=3,故点 C 的坐标为(0,3,0). 因为 B′B 垂直于 xOy 平面, 垂足为 B, 所以点 B′与 B 的 x 坐标和 y 坐标都相同, 又|BB′| =|OD′|=2,且点 B′在 xOy 平面的上方,所以点 B′的坐标为(1,3,2).点 E 在 x 轴负半轴 1 上,且|OE|= , 2 1 所以点 E 的坐标为(- ,0,0). 2 12. 如图,有一个棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1,以点 D 为坐标原点,分别以射线 DA, DC,DD1 的方向为正方向,以线段 DA,DC,DD1 的长度为单位长,建立三条数轴:x 轴,y 轴, z 轴,从而建立起一个空间直角坐标系 Oxyz.一只小蚂蚁从点 A 出发,不返回地沿着棱爬行了

2 个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.

解:小蚂蚁沿着 A-B-C 或 A-B-B1 或 A-D-C 或 A-D-D1 或 A-A1-B1 或 A-A1-D1 任 一条路线爬行,其终点为点 C 或 B1 或 D1.点 C 在 y 轴上,且 DC=1,则其 y 坐标为 1,x 坐标与 z 坐标均为 0,所以点 C 的坐标是(0,1,0);同理可知 D1 的坐标是(0,0,1);点 B1 在 xOy 平面上 的射影是 B,点 B 在 xOy 平面上的坐标是(1,1),且|B1B|=1,则其 z 坐标为 1,所以点 B1 的坐 标是(1,1,1).

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