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高中数学基本口诀与公式


高中数学公式口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。 复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非 1 的正数,1 两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于 0,偶次方根须非负,零和负数无对数; 正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。 两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X 是对称轴; 求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。 幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数, 奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。 同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割; 中心记上数字 1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角, 顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小, 变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变, 将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值, 余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。 计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。 逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。 万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用; 1 加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范; 三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围; 利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。 高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。 证不等式的方法,实数性质威力大。求差与 0 比大小,作商和 1 争高下。 直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。 还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式 N 项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。 数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换, 取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考: 一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化: 首先验证再假定,从 K 向着 K 加 1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位 i 一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。 对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与 X 轴正向,所成便是辐角度。 箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。 代数运算的实质,有 i 多项式运算。i 的正整数次慕,四个数值周期现。 一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。 利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,

减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。 三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。 辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭, 两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。 六、《排列、组合、二项式定理》 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。 七、《立体几何》 点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。 垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。 立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。 异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。 八、《平面解析几何》 有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。 笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。 两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。 三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。 四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。 解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的 ) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

公式分类 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) |a+b|≤|a|+|b| 三角不等式 |a-b|≥|a|-|b| 一元二次方程的解 根与系数的关系 -b+√(b2-4ac)/2a X1+X2=-b/a b2-4a=0 判别式 b2-4ac>0 b2-4ac<0 三角函数公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 两角和公式 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) tan2A=2tanA/(1-tan2A) 倍角公式 cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin(A/2)=√((1-cosA)/2) 半角公式 cos(A/2)=√((1+cosA)/2) -|a|≤a≤|a| -b-b+√(b2-4ac)/2a X1*X2=c/a

公式表达式 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) |a-b|≤|a|+|b| a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) |a|≤b<=>-b≤a≤b

注:韦达定理 注:方程有相等的两实根 注:方程有一个实根 注:方程有共轭复数根

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) 和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 某些数列前 n 项和 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 正弦定理 余弦定理 圆的标准方程 圆的一般方程 抛物线标准方程 直棱柱侧面积 正棱锥侧面积 圆台侧面积 圆柱侧面积 弧长公式 锥体体积公式 斜棱柱体积 柱体体积公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R b2=a2+c2-2accosB (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 y2=2px S=c*h S=1/2c*h' S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l S=c*h=2pi*h l=a*r V=1/3*S*H V=S'L V=s*h 圆柱 y2=-2px 斜棱柱侧面积 正棱台侧面积 球的表面积 圆锥侧面积 a 是圆心角的弧度数 r >0 圆锥体体积公式

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 注:(a,b)是圆心坐标 注:D2+E2-4F>0 x2=2py S=c'*h S=1/2(c+c')h' S=4pi*r2 S=1/2*c*l=pi*r*l 扇形面积公式 V=1/3*pi*r2h 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 s=1/2*l*r x2=-2py

一生受用的数学公式 作者:HITMAN 编辑 坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0),称为 原点。水平与垂直方向的位置,分别用 x 与 y 代表。 一条直线可以用方程式 y=mx+c 来表示,m 是直线的斜率(gradient)。这条直线与 y 轴相交于 (0, c),与 x 轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是 x=k,x 为定值。 通过(x0, y0)这一点,且斜率为 n 的直线是 y–y0=n(x–x0) 一条直线若垂直于斜率为 n 的直线,则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是 y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2 tanθ=m–n/1+mn 半径为 r、圆心在(a, b)的圆,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2 表示。 三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个 z 轴而已,例如半径为 r、中心位置在(a, b, c)的球, 以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2 表示。 三维空间平面的一般式为 ax+by+cz=d。 三角学 边长为 a、b、c 的直角三角形,其中一个夹角为 θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦 (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。 sinθ=b/c cscθ=c/b cosθ=a/c secθ=c/a tanθ=b/a cotθ=a/b x1≠x2 若两直线的斜率分别为 m 与 n,则它们的夹角 θ 满足于

若圆的半径是 1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 a=cosθ cos2θ+sin2θ=1 三角恒等式 根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity): tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ 分别用 cos 2θ 与 sin 2θ 来除 cos 2θ+sin 2θ=1,可得: sec 2θ–tan 2θ=1 sin(–θ)= –sinθ cos(–θ)= cosθ tan(–θ)= –tanθ 及 csc 2θ–cot 2θ=1 对于负角度,六个三角函数分别为: csc(–θ)= –cscθ sec(–θ)= secθ cot(–θ)= –cotθ b=sinθ 依照勾股定理,我们知道 a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度 θ,我们都可得出下列的全等式:

当两角度相加时,运用和角公式: sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ 若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式: sin2α= 2sinαcosα sin3α= 3sinαcos2α–sin3α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα cos2α= cos 2α–sin 2α

tan 2α= 2tanα/1–tan 2α tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α 二维图形 下面是一些二维图形的周长与面积公式。 圆: 半径= r 面积=πr2 椭圆: 面积=πab a 与 b 分别代表短轴与长轴的一半。 矩形: 面积= ab 周长= 2a+2b 平行四边形(parallelogram): 面积= bh = ab sinα 周长= 2a+2b 梯形: 面积= 1/2h (a+b) 周长= a+b+h (secα+secβ) 正 n 边形: 面积= 1/2nb2 cot (180° /n) 周长= nb 四边形(i): 面积= 1/2ab sinα 四边形(ii): 面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2 三维图形 以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。 球体: 体积= 4/3πr3 表面积= 4πr2 方体: 体积= abc 表面积= 2(ab+ac+bc) 圆柱体: 体积= πr2h 表面积= 2πrh+2πr2 直径 d=2r (π=3.1415926…….) 圆周长= 2πr =πd

圆锥体: 体积= 1/3πr2h 表面积=πr√r2+h2 +πr2 三角锥体: 若底面积为 A, 体积= 1/3Ah 平截头体(frustum): 体积= 1/3πh (a2+ab+b2) 表面积=π(a+b)c+πa2+πb2 椭球: 体积= 4/3πabc 环面(torus): 体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2 表面积=π2 (b2–a2)


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