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2014届高三数学一轮复习专讲专练:4.7 正弦定理和余弦定理


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1. (2012· 上海)在△ABC 中, sin2A+sin2B<sin2C, 若 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )

解析:∵sin2A+sin2B<sin2C,∴a2+b2<c2. a2+b2-c2 cosC= 2ab <0,∴C 为钝角. 答

案:C 2.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=1∶1∶ 3,则此三角形的最大内角 的度数是( A.60° ) B.90° C.120° D.135°

解析:∵在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c, ∴a∶b∶c=1∶1∶ 3,设 a=b=k,c= 3k(k>0),最大边为 c,其所对的 k2+k2-? 3k?2 1 角 C 为最大角,则 cosC= =-2,∴C=120° . 2×k×k 答案:C 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB, 则 sinAcosA+cos2B=( 1 A.-2 C.-1 ) 1 B.2 D.1

解析: ∵acosA=bsinB, ∴sinAcosA=sin2B, ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B =1. 答案:D

4.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C =60° ,则 ab 的值为( 4 A.3 C.1 ) B.8-4 3 2 D.3

解析:由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4.① 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60° =ab,② 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab=3. 答案:A 5. 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别是 a, c.若 a2-b2= 3bc, B, b, sinC =2 3sinB,则 A=( A.30° C. 120° ) B.60° D.150°

解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 由余弦定理得 cosA= 2bc = = 2 ,于是 A=30° . 2bc 答案:A 6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30° ,则 AD 的长度为( A. 3 C. 5 )
[

3 B. 2 D.2

解析:延长 AD 到 M,使得 DM=AD,连接 BM、MC,则四边形 ABMC 是 平行四边形. 在△ABM 中, 由余弦定理得 BM2=AB2+AM2-2AB· cos∠BAM, AM· 3 即 12=22+AM2-2· AM· 2· cos30° ,解得 AM= 3,所以 AD= 2 .

答案:B 二、填空题 1 7. (2012· 北京)在△ABC 中, a=2, 若 b+c=7, cosB=-4, b=__________. 则 22+c2-b2 1 解析:由余弦定理可得 cosB= =-4,又 b+c=7,从而 cosB= 2×2c 22+?7-b?2-b2 ,化简得 15b=60,解得 b=4. 2×2×?7-b? 答案:4 8.(2012· 福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的 余弦值为__________. 解析:依次设△ABC 的三边长为 a, 2a,2a,最大边为 2a,则最大角的余 a2+? 2a?2-?2a?2 2 弦值为 cosθ= =- 4 . 2a× 2a 2 答案:- 4 9.(2012· 湖北)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b -c)(a+b+c)=ab,则角 C=__________. 解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 a2+b2+2ab-c2=ab,则 a2+b2-c2 a2+b2-c2 -ab 1 2π =-ab,故 cosC= 2ab = 2ab =-2,又 C 是三角形的内角,所以 C= 3 . 2π 答案: 3 三、解答题 10.(2013· 南京调研)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA +csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c.

解析:(1)由正弦定理得 a2 +c2 - 2ac=b2 ,由余弦定理得 b2 =a2 +c2 - 2 2accosB,故 cosB= 2 ,因此 B=45° . (2)sinA=sin(30° +45° )=sin30° cos45° +cos30° sin45° = 2+ 6 4 .

2+ 6 sinA sinC sin60° 故 a=b×sinB= =1+ 3,c=b×sinB=2×sin45° 6. = 2 11.(2012· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA 2 =3,sinB= 5cosC. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 解析: (1)因为 0<A<π,cosA=3,得 5 sinA= 1-cos2A= 3 . 又 5cosC=sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC 5 2 = 3 cosC+3sinC. 所以 tanC= 5. (2)由 tanC= 5,得 sinC= 于是 sinB= 5cosC= 5 . 6 5 1 ,cosC= . 6 6

a c 由 a= 2及正弦定理sinA=sinC,得 c= 3, 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S=2acsinB= 2 .

1? ? 12.已知向量 m=?sinA,2?与 n=(3,sinA+ 3cosA)共线,其中 A 是△ABC
? ?

的内角. (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 解析:(1)因为 m∥n, 3 所以 sinA· (sinA+ 3cosA)-2=0, 1-cos2A 3 3 所以 + 2 sin2A-2=0, 2 π? ? 3 1 即 2 sin2A-2cos2A=1,即 sin?2A-6?=1. ? ? π ? π 11π? 因为 A∈(0,π),所以 2A-6∈?-6, 6 ?,
? ?

π π π 故 2A-6=2,即 A=3. (2)由余弦定理,得 4=b2+c2-bc, 1 3 又 S△ABC=2bcsinA= 4 bc, 而 b2+c2≥2bc,bc+4≥2bc,bc≤4(当且仅当 b=c 时等号成立), 1 3 3 所以 S△ABC=2bcsinA= 4 bc≤ 4 ×4= 3, π 当△ABC 的面积最大时,b=c,又 A=3,故此时△ABC 为等边三角形.


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