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任意角三角函数2


三角函数定义
设角 ? 是一个任意角,P( x, y ) 是终边上的任意一点,

点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

y y 那么① 叫做 的正弦,即 sin ? ? r r x ? 的余弦,即 cos ? ? x ② 叫做 r r y y ③ 叫做 ?的正弦,即 tan ? ? ?x

? 0? x x
任意角 ? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

?

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为


0到2? ?或0?到360??

角的三角函数值 .

例1 求下列三角函数值:
(1)
解:(1)

9? cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 4 4 4 2

(2)

11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? 6 6 6 6 3

练习:求下列三角函数值.

19? (1) tan 3 ( 2) sin( ?1050?) 25? (3) cos 6

( 3)

1 ( ) 2
( 3 ) 2

特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 ?1 0 1 0 不存在 0

3? 2

2?

【定义】有向线段 带有方向的线段叫有向线段. 有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.

当角α的终边不在坐标轴 上时,以M为始点、P为终 点,规定: 当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向,且有 正值y; 当线段MP与y轴反向时 MP的方向为负向,且有负 值y. MP=y=sinα 有向 线段MP叫角α的正弦线

|MP|=|y|=|sinα|
α的 终边 P

y
A(1,0)

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x O M

x

(Ⅱ)

(Ⅰ)

y

y

M O
α的 P 终边

A(1,0)

O

M A(1,0) x P

x
α的 终边

(Ⅲ)

(Ⅳ)

当角α的终边不在坐标轴 上时,以O为始点、M为终点, α的 规定: 终边 当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且有 正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且有 负值x. OM=x=cosα 有向线 段OM叫角α的余弦线

|OM|=|x|=|cosα|
y P
A(1,0)

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x O M

x

(Ⅱ)

(Ⅰ)

y

y

M O
α的 P 终边

A(1,0)

O

M A(1,0) x P

x
α的 终边

(Ⅲ)

(Ⅳ)

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0)

y P

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO T
(Ⅱ)

x O M

A(1,0)

x

(Ⅰ)

y

y T
A(1,0)

M O
α的 P (Ⅲ)

O

M A(1,0) x P T

x
α的 终边

(Ⅳ)

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫 做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线

当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0)

MO T

x

例2

已知角?的终边过(a,2a), 求?得三角函数值

课堂检测
1.角A的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0),求
sinA+2cosA的值.

2.确定下列各式的符号:
(1)sin100°· cos240° (2)sin5+tan5

小结:

⑴ 单位圆 ⑵ 三角函数线
⑶ 三角函数符号


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