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定州中学2014—2015学年第二学期高二第一次月考数学试题


河北定州中学 2014-2015 学年第二学期第一次调研考试 高二数学试卷
2015 年 4 月 16 日

12.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于( A.0 B.1 C .2 D.3

)

一、选择题(共 50 小题,其中 1-40 每题 2.5 分,41-50 每题

3 分,共计 130 分) 1.已知全集 U=R,且 A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则?UA∩B 等于( A.(2,3) B.[2,3] C.(2,3] D.(-2,3] )z D.x-2y+5=0 )

13.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形 边界及圆的边界) ,则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 A.

? 3
3 4

B.

3 3 4?

2.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0

C.x-2y+3=0 )

C.
_

D. 以上全错



3.已知函数 f(x)= x2-1.若 f(a)=2 2,则实数 a=(

A. 3 B.-3 C. 3 或-3 D. 3或- 3 4.样本中共有五个个体,其 值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为( 6 6 A. B. C. 2 D.2 5 5 5.下列函数在其定义域上是增函数的是( A.y=tan x B.y= -3
x

)

14.函数 y= x+

1 的定义域为( lg?x-1?

) C.[0,1) ) D.ab<aa<ba ( ) D.(0,+∞)

A.(1,+∞)

B. (1,2)∪(2,+∞)

)
x

1 1?b ?1?a 15.(2013· 中山一模)设 <? < <1,那么( 5 ?5? ?5? D.y=ln |x| ) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab

C.y=3

C.ab<ba<aa

6.已知 a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是( A.f(x)=ax+b B.f(x)=x -2ax+1 C.f(x)=a ) a a D. >a> 2 b b )
2 x

16、在正方体 ABCD ? A 的是 1B 1C1D 1 中,下列结论不正确 ... A. C1D1 ? B1C B. BD1 ? AC C. BD1 // B1C )

D.f(x)=logax D. ?ACB1 ? 60

7.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( a a A.a> > 2 b b a a B. 2> >a b b a a C. > 2>a b b

x ? ?e ,x<0, 1 17.已知函数 f(x)=? 则 f(f( ))=( ?ln x,x>0, ? e

8.直线 2x-y+4=0 在两轴上的截距之和是( A.6 B .4 ) C.3

D.2

1 A. e

B.e

1 C.- e

D.-e )

9.下列函数为奇函数的是( A.y=|sin x| B.y=|x|

m 18.已知函数 f(x)=x+ ,x∈(0,+∞)(m>0),若不等式 f(x)<4 的解集非空,则( x C.y=x3+x-1 D.y=ln ) 1+x 1-x A.m≥4 B.m≥2 C.m<4 ) D.m<2

10.直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( π? A.? ?0,4? 3π ? B.? ? 4 ,π? π? ?π ? C.? ?0,4?∪?2,π?

1? 19.函数 f(x)=ln? ?x-x?的图象是(

π π? ?3π ? D.? ?4,2?∪? 4 ,π? )

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( A.1 B.-1 11 C.- 4 11 D. 4

1 1 20.已知 2a ? b ? 1, a ? 0, b ? 0 ,则 ? 的最小值是( a b
A. 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 2 2

) D. 3 ? 2

? ? 1 28.若将函数 y=2sin(x+ 4 )的图像上各点 的横坐标缩短为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 4
个单位,则所得图像的一条对称轴的方程为: ( )

21.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此 将 他们随机编号为 1,2…960,分组后在第一 组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 ,抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号 落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A.15 B.10 C.9 D.7 1 3 22.已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边过点?- , ?, 2α∈[0,2π) , 则 tan α=( ? 2 2? A.- 3 B. 3 C. 3 3
2

? A.x=- 8

? B.x=- 4

? C.x= 8

? D.x= 4
)

29.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,直线 l:2x+y=0,则圆 C 上的点到直线 l 的距离最大值为( A.1 B.2 C.3 D .4

)

π? π? ? 30. 若直线 x=t 与函数 y=sin? Q 两点, 则|PQ|的最大值为( ?2x+4?和 y=cos?2x+4?的图象分别交于 P, A.2 B.1 C. 3 D. 2 )

)

D.±
2

3 3 )

31. 若等比数 列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ? ( (A) 10 (B) 13 (C) 20 (D) 25 32.对于平面 α 和直线 m,n,下列命题中假命题的个数是( )

23. 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c , 若 b ? c ? 3ac, sin A ? 2 3sin C , 则B=( A.30° B.60° C.120° ) D.150°

24.记 cos(-80° ) =k,那么 tan 100° =(

①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α;②若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ③若 m∥α,n?α,则 m ∥n;④若 m∥n,n∥α,则 m∥α

A.

1-k k

2

B.-

1-k k

2

C.

k 1-k2

D.-

k 1-k2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个 )

33.函数 y=sin 3x 的图象可以由函数 y=cos 3x 的图象( π A.向左平移 个单位得到 3 π C.向左平移 个单位得到 6

25.为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的学 生数学成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘成如图所示的频率分 布直方图. 若第一组至第五组数据的频率之比为 1∶2∶8∶6∶3, 最 后一组数据的频数是 6.用频率 估计概率的方法,估计该校高三学生 质检数学成绩在 125~140 分之间的概率和样本容量为( ) 1 2 3 3 A. ,60 B. ,15 C. ,20 D ,40 10 5 10 20 π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 26.已知 tan θ=2 ,则 =( π ? -θ -sin?π-θ? sin? ?2 ? A.2 B.-2 C.0 ) 3 D.- 2

π B.向右平移 个单位得到 3 π D.向右平移 个单位得到 6 )

34.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是( 128 A.32π、 π 3 16 C.12π、 π 3 B.16π、 32 π 3

)

16 D.8π、 π 3

2 D. 3

13π? 27.已知 f(x)= 3cos 2x+2 sin xcos x,则 f? ? 6 ?( A. 3 B.- 3 3 C. 2

35.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则

43.已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax· logay=1,那么 xy 的取值范围为( A.(0,a2] B.(0,a] 1 C.(0, ] a 1 D.(0, 2] a

)[来源:学科网]

44.已知两个非零向量 a 与 b,定义|a×b|=|a| |b|sin θ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2), 则|a×b|的值为( ) A.-8 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 π 2π? π 36.函数 y=sin(ωx+φ)ω>0 且|φ|< 在区间? ?6, 3 ?上单调递减,且函数 值从 1 减小到 -1,那么此函数 2 图象与 y 轴交点的纵坐标为( ) 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 6+ 2 4 B.-6 C .8 D.6

45.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于直 线 x ? y ? 0 对称,动 点 P ?a, b ? 在不等式组 ? 表示的平面区域内部及边界上运动,则 w ? b ? 2 的取值范围是( ?kx ? my ? 0 a ?1
? ?y ? 0 ?kx ? y ? 2 ? 0



A. [2,??)

B. (??,?2] C. [?2,2]

D. (??,?2] ? [2,??) ) D.y=-x2 )

46.下列函数中,在(-1,1)上有零点且单调递增的是( A.y=log2(x+2) B.y=2x-1 1 C.y=x2- 2

π 37.在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= ,△ABC 的面积 S△ABC= 3, 3 则△ABC 的周长为( ) A.6 B.5 C.4 38、函数 f(x) = x2 + lnx ? 4 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) D.4+2 3

47.已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( A. 3 B.± 3 C.- 3 3 D.- 3

48.已知函数 f(x)=-x2+4x 在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则 m+n 的取值范围是( A.[1,7] ) B. [1,6] C.[-1,1] D.[0 ,6]

)

→ → → → 39.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则OA+OB+OC+OD=( → A.OM → B.2OM → C.3OM → D.4OM )

? 9 ? x≥- ?, 49..对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M,且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A=?x? 4 ? ? ? B={x|x<0},则 A⊕B=( )

→ → → 40.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA+OB+CO=0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° B.60° C.90° D.120°

9 ? A.? ?-4,0? 9? C.? ?-∞,-4?∪[0,+∞)
n n

9 ? B.? ?-4,0? 9? D.? ?-∞,-4?∪(0,+∞) 1

41.已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞) 上为减函数,且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} ) 6 A. 7 5 B. 7 D.{x|0≤x≤1 或 x≥4}

50.若数列{an}满足 an+1

42.已知 x、y 满足 x2+y2=4,则 z=3x-4y+5 的取值范围是( A.[-5,15] B.[-10,1 0] C.[-2,2] D.[0,3]

?2a ,0≤a <2, =? 1 ?2a -1,2≤a <1,
n n

6 若 a1= ,则 a2 013 的值为( 7 1 D. 7

)

3 C. 7

二、解答题(共 3 小题,每小题 10 分,共计 30 分) 51、△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a,b,c, 且满足 csin A+ 3acos C=0. 3 (1)求 C 的值;(2)若 cos A= ,c=5 3,求 sin B 和 b 的值. 5

53. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 50 名学生, 并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满 分为 100 分),数学成绩分组及各组频数如下: [40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80 ,90),12;[90,100],4. (1)在给出的样本频率分布表中,求 A,B,C,D 的值; (2)估计成绩在 80 分以上(含 80 分)学生的比例; (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩在[90,100]的学生中选两 位同学,共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求 甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.样本频率分布表如右: 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 14 15 A 4 C
[]

频率 0.04 0.06 0.28 0.30 B 0.08 D

52.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,其 中 a1=1,Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*). (1)求数列{an} 的通项公式;
?1? (2)设数列?a ?的前 n 项和为 Tn,求 Tn. ? n?

河北定州中学 2014-2015 学年第二学期第一次调研考试 高二数学试卷
2015 年 4 月 15 日

解析:a>0 时,函数 f(x)=ax+b,为增函数;对于函数 f(x)=ax,当 0<a<1 时,在 R 上为减函数, 当 a>1 时,在 R 上为增函数;对于 f(x)=logax,0<a<1 时,在(0,+∞)上为减函数;当 a>1 时在(0,+ ∞)上为增函数;对于函数 f(x)=x2-2ax+1,图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x=a,所以该函数在区 间(0,a)上一定是减函数,所以选项 B 对. 故选 B.答案:B 7.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( a a A.a> > 2 b b a a B. 2> >a b b a a C. > 2>a b b )

一、选择题(共 50 小题,其中 1-40 每题 2.5 分,41-50 每题 3 分,共计 130 分) 1.已知全集 U=R,且 A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则?UA∩B 等于( A.(2,3) C. 答案:C 2.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 ) D.x-2y+5=0 B.[2,3] C.(2,3] D.(-2,3] )

a a D. >a> 2 b b

a a 解析:特殊值法,取 a=-1,b=-2,验证知 > 2>a 成立.也可用作差比较法. b b 答案:C 8.直线 2x-y+4=0 在两轴上的截距之和是( A.6 B .4 C.3 ) D.2

解析:A={x|x>3 或 x<-1},?UA={x|-1≤x≤3},B={x|2<x<4},所以(?UA)∩B=(2,3],故选

解析:令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=-2,4+(-2)=2.故选 D. 9.下列函数为奇函数的是( A.y=|sin x| B.y=|x| ) C.y=x3+x-1 D.y=ln 1+x 1-x

C.x-2y+3=0

1 解析:因为直线 2x+y-5=0 的斜率等于-2,故所求的直线的 斜率等于 ,故过点 A(1,2)且垂直于直 2 1 线 2x+ y-5=0 的直线方程为 y-2= (x-1),即 x-2y+3=0.故选 C.答案:C 2 3.已知函数 f(x)= x2-1.若 f(a)=2 2,则实数 a=( A. 3 B.-3 C. 3 或-3 ) D. 3或- 3

解析:由|sin(-x)|=|sin x|,得 y=|sin x|为偶函数,排除 A; 由|-x|=|x| ,得 y=|x|为偶函数,排除 B; y=x3+x-1 的定义域为 R,但其图象不过原点,故 y=x3+x-1 不为奇函数,排除 C; 由 1+x 1+x >0 得-1<x<1,所以函数 y=ln 的定义域为(-1,1),关于原点对称, 1-x 1-x 1-x ?1+x?-1=-ln 1+x,故 y=ln 1+x为奇函数,故选 D. =ln? ? 1+x 1-x 1-x ?1-x?

解析:因为 f(x)= x2-1,且 f(a)=2 2,所以 a2-1=2 2,即 a2=9,所以 a=3 或-3.故选 C. 答案:C 4.样本中共有五个个体,其 值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为( 6 6 A. B. C. 2 D.2 5 5 a+0+1+2+3 解析:因为 =1,得 a=-1,所以 5 1 s2= [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.故选 D. 5 答案:D 5.下列函数在其定义域上是增函数的是( A.y=tan x B.y= -3x C.y=3x ) D.y=ln |x| )

且 ln

答案:D 10.直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( π? A.? ?0,4? 3π ? B.? ? 4 ,π? π? ?π ? C.? ?0,4?∪?2,π? )

π π? ?3π ? D.? ?4,2?∪? 4 ,π?

3π ? 1 解析:斜率 k=- 2 ,故 k∈[-1,0),由正切函数图象知,倾斜角 α∈? ? 4 ,π?.故选 B.答案:B a +1 11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( A.1 B.-1 11 C.- 4 11 D. 4 ) )

解析:y=tan x 只在其周期内单调递增,y=-3x 在 R 上单调递减,y=3x 在 R 上单调递增,y=ln |x| 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:C 6.已知 a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是( A.f(x)=ax+b B.f(x)=x2-2ax+1 C.f(x)=ax D.f(x)=logax )

答案:B 12. 某程序框图如图所示, 该程序运行后, 输出的 x 值为 31, 则 a 等于( A.0 B.1 C .2 D.3 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示:

n x 是否继续循环 第一圈 2 2a+1 是 第二圈 3 4a +2+1 是 第三圈 4 8a +4+2+1 否 则输出的结果为 8 a +4+2+1=31,所以 a =3.故选 D. 答案:D 13.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界) ,则针扎 到阴影区域(不包括边界)的概率为 A.

x≥0, ? ? 解析: 由题意知 ?x-1>0, ? ?lg?x-1?≠0, (1,2)∪(2,+∞).故选 B. 答案:B

x≥0, ? ? 即 ?x>1, ? ?x≠2,

∴1 < x < 2 或 x > 2 , ∴ 所以原函数的定义域为:

1 1?b ?1?a 15.(2013· 中山一模)设 <? < <1,那么( 5 ?5? ?5? A.aa<ab<ba C.ab<ba<aa B.aa<ba<ab D.ab<aa<ba

)

? 3

B.

3 3 4?

C.

3 4

D. 以上全错

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

1 1?b ?1?a 解析:因为 <? < <1,所以 0<a<b<1,所以 ab<aa,且 aa<ba,故 ab<aa<ba.故选 D. 5 ?5? ?5? 答案:D 16、如图,在正方体 ABCD ? A 的是 1B 1C1D 1 中,下列结论不正确 ... A. C1D1 ? B1C B. BD1 ? AC C. BD1 // B1C ( )

D. ?ACB1 ? 60

?ex,x<0, ? 1 17.已知函数 f(x)=? 则 f(f( ))=( ? ?ln x,x>0, e

) D.-e

1 A. e 考点:几何概型的概率计算. 14.函数 y= x+ 1 的定义域为( lg?x-1? ) C.[0,1) D.(0,+∞)

B.e

1 C.- e

解析:由题意得,f(f( 答案:A

1 1 1 ln ?=f(-1)=e-1= . )) =f? e ? ? e e

A.(1,+∞)

B. (1,2)∪(2,+∞)

m 18.已知函数 f(x)=x+ ,x∈(0,+∞)(m>0),若不等式 f(x)<4 的解集非空,则( x A.m≥4 B.m≥2 C.m<4 D.m<2

)

m m 解析:因为 f(x)=x+ ,x∈(0,+∞)(m>0),所以 f(x)=x+ ≥2 m,即函数 f(x)min=2 m,若不等 x x 式 f(x)<4 有解,则有 2 m<4,解得 m<4.故选 C.答案:C 1? 19.函数 f(x)=ln? ?x-x?的图象是( )

tan α= 3.答案:B 23. 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c , 若 b ? c ? 3ac, sin A ? 2 3sin C , 则B=( A.30° B.60° C.120° D.150°
2 2

)

1? 1 解析:因为 x- >0,解得 x>1 或-1<x<0,所以函数 f(x)=ln? ?x-x?的定义域为:(-1,0)∪(1,+ x ∞),所以选项 A、C 不正确. 1 当 x∈(-1,0)时,g(x)=x- 是增函数, x 1? 因为 y=ln x 是增函数,所以函数 f(x)=ln? ?x-x?是增函数.故选 B. 24.记 cos(-80° ) =k,那么 tan 100° =( )

1 1 20.已知 2a ? b ? 1, a ? 0, b ? 0 ,则 ? 的最小值是( a b
A. 2 2 【答案】C 【解析】 试题分析: 由 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 2 2

) D. 3 ? 2

A.

1-k2 k

B.-

1-k2 k

C.

k 1-k2

D.-

k 1-k2

解析:∵cos(-80° )=cos 80° =k,sin 80° = 1-cos280° = 1-k2, 1-k2 .故选 B.答案:B k 25.为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的 学生数学成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘成如图所示的频 率分布直方图.若第一组至第五组数据的频率之比为 1∶2∶8∶6∶3,最后一组数据的频数是 6.用频率 估计概率的方 法,估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概率 和样本容量为( ) 1 2 A. ,60 B. ,15 10 5 3 3 C. ,20 D. ,40 10 20 3 3 6 3 解析:P= = ,又 = ,得 m=40,故选 m 20 1+2+8+6+3 20 D. ∴tan 100° =-tan 80° =- π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 26.已知 tan θ=2 ,则 =( π ? -θ -sin?π-θ? sin? ?2 ? A.2 B.-2 C.0

1 1 2a b 2a b ?1 1? ? ? ?2a ? b?? ? ? ? 3 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 2 ; a b b a b a ?a b?

考点:基本不等式; 21.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此 将 他们随机编号为 1,2…960,分组后在第一 组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 ,抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号 落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A.15 B.10 C.9 D.7 解析:用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,可将 960 人分为 32 组,每组 30 个人,由于分组后在 第一组采用简单随 机抽样的方法抽到的号码为 9,故编号[1,750]在中共有 750÷ 30=25 组,即做问卷 C 的 有 32-25=7 组,故做问卷 C 的人数为 7 人,故选 D.答案:D 1 3 22.已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边过点?- , ?, 2α∈[0,2π) , 则 tan α=( ? 2 2? A.- 3 B. 3 3 C. 3 3 D.± 3 )

)

2 D. 3

解析:由角 2α 的终边在第二象限,知 tan α>0,依题设知 tan 2α=- 3,所以 2α=120° ,得 α=60° ,

π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? cos θ+cos θ 2cos θ 2 2 解析: = = = = =-2.答案:B π cos θ - sin θ cos θ - sin θ 1 - tan θ 1 - 2 -θ?-sin?π-θ? sin? ?2 ? 13π? 27.已知 f(x)= 3cos 2x+2 sin xcos x,则 f? ? 6 ?( A. 3 B.- 3 3 C. 2 ) 3 D.- 2

π? π? ? 解析:依题意有|PQ|=sin? ?2t+4?-cos?2t+4?= 2|s in 2t|≤ 2.故选 D. 31. 若等比数 列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ? ( (A) 10 (B) 13 (C) 20 (D) 25 )

π? ?13π? ? 13π π? 解析:函数 y=2sin xcos x+ 3cos 2x=sin 2x+ 3cos 2x=2sin? ?2x+3?,f? 6 ?=2sin?2× 6 +3?= 14π? ?2π?= 3.故选 A. 2sin? = 2sin ? 3 ? ?3?

? ? 1 28.若将函数 y=2sin(x+ 4 )的图像上各点 的横坐标缩短为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 4
个单位,则所得图像的一条对称轴的方程为: ( )

? A.x=- 8
【答案】A 【解析】

? B.x=- 4

? C.x= 8

? D.x= 4

试题分析:函数 y ? 2sin ? x ?

? ?

??
4?

1 ? 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数

32.对于平面 α 和直线 m,n,下列命题中假命题的个数是(

)

①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α;②若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ③若 m∥α,n?α,则 m ∥n;④若 m∥n,n∥α,则 m∥α A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

? ?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? ,所的函数再向右平移 4 个单位,得到函数 4? ?

? ? ? ? ?? ?? ?? ? y ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? , x ? ? 代入得 y ? ?2 ,故 x ? ? 是所得函数图像的一 8 8 4? 4? 4? ? ? ?
条对称轴的方程. 考点:三角函数图像与性质,三角函数图像变化. 29.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,直线 l:2x+y=0,则圆 C 上的点到直线 l 的距离最大值为( A.1 B .2 C.3 D .4 )

解析:对于①,因为 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,不一定得到 n∥α,故①是假命题; 对于②,设正方体的上底面为 α,则在下底面内任意取两条直线 m、n,有 m∥α 且 n∥α,但不一定 有 m∥n 成立,故②是假命题; 对于③,设正方体的上底面为 α,在下底面内任意取直线 m,则 m∥α,而直线 m 与 α 内的直线 n 可 能平行,也可能是异面直线,不一定有 m∥n 成立,故③是假命题; 对于④,若 m∥n,n∥α,则 m∥α 或 m?α,不一定得到 m∥α,故④是假命题. 综上所述,可得假命题有①②③④,共 4 个.答案:D 33.函数 y=sin 3x 的图象可以由函数 y=cos 3x 的图象( π A.向左平移 个单位得到 3 π C.向左平移 个单位得到 6 )

解析:直线 l:2x+y=0 是确定的,圆上的动点到 直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的 半径.圆的圆心为(1,-2),半径为 3,因为点(1,-2)在直线 l:2x+y=0 上,所以,最大距离为圆的半 径 3.故选 C.答案:C π π 2x+ ?和 y=cos?2x+ ?的图象分别交于 P, 30. 若直线 x=t 与函数 y=sin? Q 两点, 则|PQ|的最大值为( 4? 4? ? ? A.2 B.1 C. 3 D. 2 )

π B.向右平移 个单位得到 3 π D.向右平移 个单位得到 6

π π? ? ? ? π? 解析:因为 sin 3x=cos? ?2-3x?=cos?3x-2?=cos3?x-6?.

π 所以函数 y=cos 3x 的图象向右平移 个单位即可得到函数 y=sin 3x 的图象,故选 D.答案:D 6 34.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是( 128 A.32π、 π 3 32 16 B.16π、 π C.12π、 π 3 3 16 D.8π、 π 3 )

π ? 2π π π 2π 2π 1, 可知 - = 为半周期, 则周期为 π, ω= = =2, 此时原式为 y=sin(2x+φ). 又由函数过点? ?6,1?, 3 6 2 T π π π 1 2x+ ?,令 x=0,可得 y= . 代入可得 φ= ,因此 函数为 y=sin? 6 ? ? 6 2 答案:A π 37.在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= ,△ABC 的面积 S△ABC 3 = 3,则△ABC 的周长为( ) A.6 B .5 C.4 D.4+2 3

解析:三视图复原的几何体是半径为 2 的半球,所以半球的表面积为半个球的表面积与底面积的和: 2 16 2πr2+π r2=3πr2=12π.半球的体积为: πr3= π.故选 C.答案:C 3 3

1 1 3 解析:在△ABC 中,∵△ABC 的面积 S △ABC= 3= ab· sin C= ab· ,∴ab=4.再由余弦定理 c2 2 2 2 =4=a2+b2-2ab· cos C=a2+b2-4, 35.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如 图所示,则 ∴a2+b2=8,∴a+b= ?a+b?2= a2+b2+2ab=4,故△ABC 的周长为 a+b+c=4+2=6,故 选 A.答案:A 38、函数 f(x) = x2 + lnx ? 4 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

→ → → → 39.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则OA+OB+OC+OD=( → A.OM → B.2OM → C.3OM → D.4OM

)

→ → → → → → 解析: 在△OAC 中, M 为 AC 中点, 根据平行四边形法则, 有OA+OC=2OM, 同理有OD+OB=2OM, → → → → → 所以OA+OB+OC+OD=4OM.故选 D.答案:D → → → 40.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA+OB+CO=0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° B.60° C.90° D.120° )

π 2π? π 36.函数 y=sin(ωx+φ)ω>0 且|φ|< 在区间? ?6, 3 ?上单调递减,且函数 值从 1 减小到 -1,那么此函数 2 图象与 y 轴交点的纵坐标为( ) 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 6+ 2 4

→ → → → → → 解析:由OA+OB+CO =0 得OA+OB=OC,由 O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意 义知四边形 OACB 为菱形,且∠CAO=60° ,从而△ABC 的内角∠A=30° .故选 A.答案:A 41.已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞) 上为减函数,且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4}

π 2π? 解析:因为函数的最大值为 1,最小值为-1,且在区间? ?6, 3 ?上单调递减,又函数值从 1 减小到-

解析:由题,结合函数性质可得 x>1 时,f(x)>0;x<0 时,f(x)<0;x<0 或 x>4 时,g(x)<0;0< x<4 时,g(x)>0,故 f(x)g(x)≥0 的解集为{x|x≤0 或 1≤x≤4}.故选 A. 答案:A

42.已知 x、y 满足 x2+y2=4,则 z=3x-4y+5 的取值范围是( A.[-5,15] .[-10,1 0] C.[-2,2] D.[0,3]

)

解析:z=3x-4y+5 即直 线 3x-4y+5-z=0, 由题意可得直线和圆 x2 + y2 = 4 有交点,故有 5≤z≤15.故选 A.答案:A 43.已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax· logay=1,那么 xy 的取值范围为( A.(0,a2] B.(0,a] 1 C.(0, ] a 1 D.(0 2] a )[来源:学科网] |0-0+5-z| 9+16 ≤2 ,化简得- 10≤z - 5≤10 ,解得-

解析:因为 0<a<1,0<x≤y<1,所以 logax>0,logay>0, 所以 logax+logay=loga(xy)≥2 logax· logay=2,当且仅当 logax=logay =1 时取等号.所以 0<xy≤a2. 故选 A.答案:A 44.已知两个非零向量 a 与 b,定义|a×b|=|a| |b|sin θ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2), 则|a×b|的值为( ) A.-8 B.-6 C.8 D.6

3 a· b ?-3?×0+4×2 4 解析:由已知可得|a|=5,|b|=2,则 cos θ= = = ,∴sin θ= .∴|a×b|=|a||b|sin θ |a||b| 5 5 5×2 3 =5×2× =6.故选 D.答案:D 5 45.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于直 线 x ? y ? 0 对称,动 点 P ?a, b ?
?kx ? y ? 2 ? 0 在不等式组 ? 表示的平面区域内部及边界上运动,则 w ? b ? 2 的取值范围是( ?kx ? my ? 0 a ?1 ? ?y ? 0
[来源:学.科.网]

考点:直线与圆的位置关系、简单 的线性规划. ) 46.下列函数中,在(-1,1)上有零点且单调递增的是( A.y=log2(x+2) B.y=2x-1 1 C.y=x2- 2 ) D.y=-x2

A. [2,??)

B. (??,?2] C. [?2,2]

D. (??,?2] ? [2,??)
x

解析:在(-1,1)上递增的函数只有 y=log2(x+2)和 y=2x-1,又 y=log2(x+2)的零点为 x=-1,y= 2 -1 的零点为 x=0.故选 B. 答案:B 47.已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( A. 3 B.± 3 C.- 3 3 D.- 3 )

解析:由等差数列的性质,得 a1+a7+a13=3a7=4π, 4π 8π 2π ∴a7= ,∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =- 3.故选 D. 3 3 3 答案:D 48.已知函数 f(x)=-x2+4x 在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则 m+n 的取值范围是( A.[1,7] B. [1,6] C.[-1,1] D.[0 ,6] )

解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴f(2)=4.又由 f(x)=-5,得 x=-1 或 5.由 f(x)的图象知:-

1≤m≤2,2≤n≤5. 因此 1≤m+n≤7.答案:A
? 9 ? x≥- ?, 49..对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M,且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A=?x? 4 ? ? ?

3 3-4 2π 3 ∵sin B= ,c=5 3,sin C=sin = , 10 3 2 b c 则由正弦定理 = ,得:[来源:学科网] sin B sin C csin B b= = sin C 5 3× 3 3-4 10 =3 3-4. 3 2

B={x|x<0},则 A⊕B=( 9 ? A.? ?-4,0?

) 9 ? B.? ?-4,0? 9? D.? ?-∞,-4?∪(0,+∞)

9? C.? ?-∞,-4?∪[0,+∞)

52.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,其 中 a1=1,Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*).
?1? (1)求数列{an} 的通项公式;(2)设数列?a ?的前 n 项和为 Tn,求 Tn. ? n?

? ? ? 9 ? 9 x<- ?,所以 A B=?x?x<- 或x≥0 ?. 解析:因为 A-B={x|x≥0},B-A=?x? 4 ? 4 ? ? ? ? ?

答案:C

解 析:(1)由 Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*),得 Sn+1=3Sn+ 1,

50.若数列{an}满足 an+1=

? ? 1 ?2a -1,2≤a <1,
n n

1 2an,0≤an< , 2

6 若 a1= ,则 a2 013 的值为( 7 1 D. 7

an+1 所以 Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1),即 an+1=3an,所以 =3(n>1,n∈N*). an ) a2 又 a1=1,得 S2=3a1+1=a1+a2, 所以 a2=3, 所以 =3. a1 所以数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 an=3n 1.


6 A. 7

5 B. 7

3 C. 7

1 6 5 3 3 1 6 解析:∵ ≤a1= <1,∴a2=2a1-1= ,a3=2a2-1= .∵a3= < ,∴a4=2a3= =a1,a5=a2,….∴ 2 7 7 7 7 2 7 数列{an}每隔 3 项重复出现,即是以 3 为周期的周期数列. 3 ∴a2 013=a671×3=a3= .故选 C. 7 答案:C 三、解答题(共 4 小题,共计 50 分) 51、△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a,b,c,且满足 csin A+ 3acos C=0. (1)求 C 的值; 3 (2)若 cos A= ,c=5 3,求 sin B 和 b 的值. 5 解析:(1)将 csin A+ 3acos C=0 利用正弦定理化简得:2Rsin Csin A+2R 3sin Acos C=0, 即 2sin Csin A+2 3sin Acos C=0, ∵sin A≠0,∴sin C+ 3cos C=0,即 tan C=- 3, 2π ∵C∈(0,π),∴C= ; 3 π 3 4 0, ?,∴sin A= 1-cos2A= ,则 sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C (2)∵cos A= ,A∈? ? 2? 5 5 4 ? 1? 3 3 3 3-4 +cos Asin C= ×?-2?+ × = , 5 5 2 10

?1? 1 (2)因为数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以数 列?a ?是首项为 1,公比为 的等比数列, 3 ? n?

1?n 1-? ?3? 3? ?1?n? 所以 Tn= = ?1-?3? ?. 1 2 1- 3 53. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 50 名学生, 并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满 分为 100 分),数学成绩分组及各组频数如下: [40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80 ,90),12;[90,100],4. (1)在给出的样本频率分布表中,求 A,B,C,D 的值; (2)估计成绩在 80 分以上(含 80 分)学生的比例; (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩在[90,100]的学生中选两 位同学,共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求 甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.样本频率分布表如右:

分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 2 3 14 15 A 4 C
[]

频率 0.04 0.06 0.28 0.30 B 0.08 D

试题解析:解:(1)A=12 ;

B=0.24 ;

C=50 ;

D=1 .

……………………………2′

(2)估计成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生比例为 0.24+0.08=0.32. …… 学科网……… ……………………………………………………2′


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