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3.2 立体几何中的向量方法(第五课时)


3.2 立体几何中的向量方法(一)

设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β 的法向量分别为u,v,则

? a ∥b ? a=kb; 线面平行:l ∥α ? a⊥u u=0; ? a· 面面平行:α∥β ? ∥v u ? u=kv. 线线垂直:l ⊥ m ? a ⊥ b ? a· b=0; 线面垂直:l ⊥ α ? ∥ u ?

a=ku; a ? u· 面面垂直:α ⊥ β ? ⊥ v u v=0.
线线平行:l∥m

二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间

向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几
何问题转化为向量问题; (化为向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

(回到图形问题)

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,

以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹
角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角 线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设 AB ? AA1 ? AD ? 1,?BAD ?

?BAA1 ? ?DAA1 ? 60? D 化为向量问题 A 依据向量的加法法则,
1 1

C1

B1

AC1 ? AB ? AD ? AA1

进行向量运算
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 )
2 2
A

D

C

B

图1

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60?)
所以 | AC1 |? 6 回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的

? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

2

2

2

?6

6

倍。

思考: (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长 D C 有什么关系? A BD1 ? BA ? BC ? BB1 分析: B
1 1 1

1

其中?ABC ? ?ABB1 ? 120? , B1 BC ? 60? ?
A

D B

C

思考: (2)如果一个四棱柱的各条棱 长都相等,并且以某一顶点为端点
的各棱间的夹角都等于 ? , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确
A A1 D

D1

C1 B1 C B

定棱长吗? 分析: 设 AC1 ? a , ? AD ? AA1 ? x , BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? AB ?
则由 AC1 ? AB ? AD ? AA1

AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

2

2

2

2



a 2 ? 3 x 2 ? 2( 3 x 2 cos ? ) ? x ?

1 a 3 ? 6 cos ?

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距 离是多少?(提示:求两个平行平面的距离, D C 通常归结为求两点间的距离)
1

1

分析:面面距离 ? 点面距离 ? 向量的模 ?回归图形

A1 B1 C B

解:

D A
H

过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H .
则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离.

由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1
? H 在 AC上.

D1 A1 B1 C B

C1

D
A H

AC ? ( AB ? BC ) 2 ? 1 ? 1 ? 2 cos 60? ? 3

2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ?
cos ?A1 AC ? AA1 ? AC | AA1 | ? | AC | ? 1 3

?

AC ? 3

cos 60? ? cos 60? ? 1.
?

?

6 sin?A1 AC ? 3
6 。 3

?

6 A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? 3

∴ 所求的距离是

练习:

如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO 的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点, 连结DE,计算DE的长。
O

D C E B

A

图2

例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水 a 坝斜面上的点B处。从A,B到直线 (库底与水坝的交线) l 的距离AC和BD分别为 和 b ,CD的长为 , AB的长为 。 c 求库底与水坝所成二面角的余弦值。 d 解:如图, AC ? a , ? b, ? c , ? d . BD CD AB 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB ? AC ? CD ? DB 进行向量运算
?
C B D

d ? AB ? ( AC ? CD ? DB )
2
2 2 2

2

2

?

A
图3

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

? a ? c ? b ? 2 AC ? DB
2 2 2

? a ? c ? b ? 2CA ? DB
2 2 2

于是,得

2CA ? DB ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2
? DB的夹角为 ? , 就是库底与水坝所成的

设向量CA 与 二面角。
因此

2ab cos ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 .

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 所以 cos ? ? . 2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为
a ?b ?c ?d . 2ab
2 2 2 2

例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水 坝斜面上的点B处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线) 的距离AC和BD分别为 和 a ,CD的长为 , AB的长为 。 b c 求库底与水坝所成二面角的余弦值。 d 思考: (1)本题中如果夹角 ? 可以
?
C D B

测出,而AB未知,其他条件不变,
可以计算出AB的长吗? 分析:由 AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2
2
2 2 2

?

A 图3

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

? a ? c ? b ? 2ab cos?
2 2 2

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱

D1
A1 B1 D A B C

C1

长和一条对角线的长,并且以同一顶点
为端点的各棱间的夹角都相等,那么可

以确定各棱之间夹角的余弦值吗?
分析:如图,设以顶点 长为 d ,三条棱长分别为
2 2

A

为端点的对角线 。

a , ,, 各棱间夹角为 ? b c

则 d ? A1C ? ( AB ? AC ? CC1 ) 2

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos ?
? d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos ? ? 2(ab ? bc ? ac)

(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ? ,那 么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗? 分析: 二面角 ? 平面角 ? 向量的夹角 ?回归图形 解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。

则 A1 E ? CF ? a sin? , ? BF ? a cos ? AE
D1

C1
A1 B1

D A

C
B F

E

? cos ? ? cos ? EA1 , ?? cos ? A1 E , ? FC CF
? A1 E ? CF | A1 E || CF |
( A1 A ? AE ) ? (CB ? BF ) ? a 2 sin2 ?

a 2 cos ? ? a 2 cos ? cos(? ? ? ) ? a 2 cos ? cos(? ? ? ) ? a 2 cos 2 ? ? a 2 sin2 ?

cos ? ? 1 ? cos ?
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

练习:

(1)如图4,60°的二面角

的棱上有A、B两点,直线AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面

内,且都垂直AB,已知AB=4,AC
=6,BD=8,求CD的长。
?
C
A B D

?
图4

(2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长 为2的正三角形,∠A1AB=45°,∠A1AC=

60°,求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。

A1 B1

C1

A

C

B

图5

小结: 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 面面距离 ? 点面距离 ? 向量的模 ? 回归图形 向量的夹角 ? 回归图形 二面角 ?平面角 ?

如图6,在棱长为 a 的正方体 OABC ? O' A' B' C' 中, 分别是棱 上的动点,且 E、F AB、BC (1)求证:A' F ? C' E ; 。 ? BF AE
O’

C’
A’

B’

(2)当三棱锥 B'? BEF 的体积取最大值时,求二 面角 B'? EF ? B 的正切值。

C F O
图6

E A

B


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