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2012年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)


2012 年福建省普通高中毕业班质量检查理
参考公式:样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差







9.有 3 个男生和 3 个女生参加某公司招聘,按随机顺序逐个进行面试,那么任何时候等待面试的女生人数 都不少于男生人数的概率是

1 ? s= ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

A.1
其中 x 为样本平均数

2

B.1

4

C. 1 24

D. 1

144

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 及其导函数 f ?( x ) 的图象都是连续不断的曲线,且对于实数 a, b(a ? b) ,有

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i 的对应点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) D.4 )

f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 .现给出如下结论:① ?x0 ?[a, b], f ( x0) =0 ;② ?x0 ?[a, b], f ( x0) ? f (b) ;
③ ?x0 ?[a, b], f ( x0) ? f (a) ;④ ?x0 ?[a, b], f (a) ? f (b) ? f ?( x0 )(a ? b) . 其中结论正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.平面向量 a ? ? 2,1? , b ? ? m, ?2? ,若 a 与 b 共线,则 m 的值为( A. ? 1 3.双曲线 B. ? 4 C.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为( a 2 b2
B.
2

? ?x
2 ?2
3

3

? 1? dx ?

.

A. 5

5 2

C. 3

D.5

12. ( x ?

1 5 ) 展 开式的常数项是 x2



4.若集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? a} , 则“ A ? B ? ? ”的充要条件是 A. a ? ? 2 B. a ? ? 2 C. a ? ?1 D. a ? ?1 13.圆 C 过坐标原点,圆心在 x 轴的正半轴上.若圆 C 被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的方程 是__________.

5. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3 , 则正视图中的 x

2

的值是 A.2

9 B. 2

3 C. 2

D.3

6. 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, 且 a1 , a3 , a4 成等比数列, 则数列 ?an ? 的前 9 项和等于

? x ? 2 y ? 0, ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 2 x ? y ? 0, ( a ? 0 )表示的平面区域的面积为 5,直线 mx-y+m=0 ?x ? a ?
过该平面区域,则 m 的最大值是 .

A .0

B .8

C .144

D .162

15. 对于非空实数集 A , 记 A* ?{y ? x ?A ,y ?x } .设非空实数集合 M ? P ,若 m ? 1 时,则 m ? P . 现 给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 P* ? M * ; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M * ?P ? ? ; ③对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M ? P* ? ? ; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M、 P, 必存在常数 a ,使得对任意的 b ? M * ,恒有 a ? b ? P * ,

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 A. 2 或 2 2 B. 2 2 或 ? 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2 D. 2 或 ? 2 2

8.设 a ? 0 ,若关于 x 的不等式 x ? 最小值为 A. 16 B. 9

a ? 5 在 x ? (1 , ? ?) 恒成立, 则 a 的 x ?1

C.

4

D. 2
1

其中正确的命题是

. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------② 由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③ 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ?

19. (本小题满分 13 分)已知 F 动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 2 2 ,记点 P 1 (?1,0), F 2 (1,0) 为平面内的两个定点, 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)设点 O 为坐标原点,点 A , B , C 是曲线 ? 上的不同三点,且 OA ? OB ? OC ? 0 . (ⅰ)试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论; AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. (ⅱ)当直线 AB 过点 F 1 时,求直线

??? ? ??? ? ??? ?

?

A? B A? B A? B A? B ,? ? cos 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . 2 2 2 2

(Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

A? B A? B sin ; 2 2 (Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C ,试判断 ?ABC 的形状. cos A ? cos B ? ?2sin
(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题满分 13 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD??BC,BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , ?ABC ? 90 ,如图 ( 1) . 把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面BCD .(Ⅰ)求证: CD ? AB ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与
?

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 的图象是由函数 g ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求出 若不存在,说明理由.

?

BN 的值; BC

? 个单位,并将横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函 12 数 h( x) 的图象; h( x) 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 m(0 ? m ? 1 ) 倍(横坐标不变) ,并 2 将图象向上平移 1 个单位,得到函数 f ( x) 的图象. (Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)判断方程 f ( x) ? x 的实根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)设数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f (an ) ,试探究数列 {an } 的单调性,并加以证明.
(1)将函数 g ( x) 的图象向右平移

1 的图象经下列两个步骤变换得到: 2

18. (本小题满分 13 分)2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居 民区中的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米, PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 PM2.5(微克/立方米) 频数(天) 频率

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入 括号中. (1 ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

(0,15] 4 0.1 第一组 (15,30] 12 0.3 第二组 (30,45] 8 0.2 第三组 (45,60] 8 0.2 第四组 (60,75] 4 0.1 第三组 (75,90) 4 0.1 第四组 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区 的环境是否需要改进?说明理由; (Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境 空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ( ? ) .

m? ?1 ? 0? ? 1? ? 变换下得到的向量是 ? ? 在矩阵 M ? ? ? ? ? ? 1? ?. 1? ? ? 1? ?0 ? ? (Ⅰ)求 m 的值; ?1 2 (Ⅱ)求曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M 对应的线性变换作用下得到的曲线方程.
已知向量 ? (2 ) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的极坐标

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ) ,曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数) . 4 y ? 2 sin ? ? ? (Ⅰ)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.
4 2, 为(

?

(3 ) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设实数 a, b 满足 2a ? b ? 9 . (Ⅰ)若 9 ? b ? a ? 3 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 a, b ? 0 ,且 z ? a b ,求 z 的最大值.
2

2

2012 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.A; 7.D; 8.C; 9.B; 10.B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分.
2 11.4 ; 12.10; 13. ? x ? 2 ? ? y ? 4 ; 14. 4 ; 15.①④. 2

轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得 A(1,0,1), B(2,0,0), C(0, 2,0), D(0,0,0), M (1,1, 0) . ∴ CD ? (0, ?2,0), AD ? (?1,0, ?1) .??????6 分 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 CD ? n, AD ? n ∴ ?

??? ?

??? ?

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,------①

? y ? 0, ? x ? z ? 0,

令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) ,

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,------②?????????????????2 分 ①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? .------③????????????3 分 A? B A? B ,? ? 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? , 2 2 A? B A? B sin 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin .???????????????6 分 2 2 (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为 1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ?1 ? 2sin 2 C ,?????????????????9 分 2 2 2 所以 sin A ? sin C ? sin B .?????????????????10 分 设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,
由正弦定理可得 a ? c ? b .????????????????12 分 根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.?????????????????13 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为
2 2 2

? ???? ? n ? MC ∴点 M 到平面 ACD 的距离 d ? ???? ? ? 2 .?????????????????8 分 2 MC
(Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 .????????9 分
?

??? ? ??? ? 设 BN ? ? BC, 0 ? ? ? 1 ,则 N (2 ? 2? , 2? , 0) , ???? ∴ AN ? (1 ? 2?, 2?, ?1) ,

???? ? AN ? n 3 ,?????????????????11 分 ∴ sin 600 ? ???? ? ? 2 AN ?n
可得 8? ? 2? ? 1 ? 0 ,
2

又∵平面 ACD 的法向量 n ? (1,0,?1) 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,
?

∴? ?

1 1 或? ? ? (舍去) . 4 2
?

综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,此时 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由已知条件可得 AB ? AD , AB ? AD ?

,????????????????? 8分 ?2 s i ? nA ? B? s?i n A? B 1 ? 1 22 sC in ? ? ? 因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 2 所以 ? sin ? A ? B? sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? . 又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .?????????????????10 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,故 ?B ?

BN 1 ? .????13 分 BC 4

2 ,∴ S ?ABD ?

1 AB ? AD ? 1 . 2

由(Ⅰ)知 CD ? 平面ABD ,即 CD 为三棱锥 C-ABD 的高,又 CD=2,

?

1 2 CD ? S ?ABD ? , 3 3 又∵点 M 为线段 BC 中点,
∴ VC ? ABD ? ∴ 点 M 到平面 ACD 的距离等于点B到平面 ACD 的距离的 ∴ VM ? ADC ?

所以 ?ABC 为直角三角形. ?????????????????13 分 17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能 力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解 法 一 : ( Ⅰ ) 由 已 知 条 件 可 得 BD ? 2, CD ? 2, CD ? BD .????????????2 分 ∵平面 ABD ? 平面BCD , 平面ABD ? 平面BCD ? BD . ∴ CD ? 平面ABD .??????????????3 分

2

.?????????????????12 分

1 ,??????????6 分 2

1 1 1 VB ? ADC ? VC ? ABD ? , 2 2 3

AB ? 平面ABD ∵ , ∴ CD ? AB .??????????????4 分 (Ⅱ)以点 D 为原点, BD 所在的直线为 x 轴, DC 所在的直线为 y

3

1 AD ? DC ? 2 , 2 设点 M 到平面 ACD 的距离为 d ,则 1 d ? S?ADC ? 1 ,即 1 ? d ? 2 ? 1 3 3 3 3 2 2 解得 d = ,∴设点 M 到平面 ACD 的距离等于 .?????????????8 分 2 2
∵ CD ? AD ,AD= 2 ,CD=2,∴ S ?ACD ? (Ⅲ)同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)∵点 M 为线段 BC 中点, ∴ 点 M 到平面 ACD 的距离等于点B到平面 ACD 的距离的 由已知条件可得 AB ? AD ,由(Ⅰ)知 AB ? CD , 又 AD ? CD ? D ,∴ AB ? 平面ACD , ∴点B到平面 ACD 的距离等于线段 AB 的长. ∵ AB ? 2 ,∴设点 M 到平面 ACD 的距离等于

1 ,????????????6 分 2

代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 并整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4knx ? 2n2 ? 2 ? 0 ,

2 ?????????????????8 分 2

(Ⅲ)同解法一. 18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算 求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ) 众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米.??????????????4 分 (Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方 米).???????6 分 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.?????????????????8 分 ( Ⅲ ) 记 事 件 A 表 示 “ 一 天 PM2.5 的 24 小 时 平 均 浓 度 符 合 环 境 空 气 质 量 标 准 ” ,则

4kn 2n , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2n ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4kn 2n 1 ,? ) , kOC ? ? 从而可得点 C 的坐标为 ( . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k 1 因为 k AB ? kOC ? ? ,所以直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.???????????8 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? 2 2 (ⅱ)若 AB ? x 轴时, A(?1, ), B(?1, ? ) ,由 OA ? OB ? OC ? 0 , 2 2 得点 C (2, 0) ,所以点 C 不在椭圆 ? 上,不合题意. 因此直线 AB 的斜率存在.???????????9 分 4k 2 2k n ? k ,点 C 的坐标为 ( ,? ). 由(ⅰ)可知,当直线 AB 过点 F 1 时, 有 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 16k 4 8k 2 代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得, ? ? 2 ,即 4k 2 ? 1 ? 2k 2 , (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2
依题意, ? ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

P ( A) ?

9 .??????9 分 10

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ? ? B (2,

9 ). 10

2 . ???????????11 分 2 1 2 2 (1)当 k ? 时,由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? ? . 2 2 2
所以 k ? ? 故 AB 、OC 及 x 轴所围成三角形为等腰三角形, 其底边长为1 , 且底边上的高 h ? 所求等腰三角形的面积 S ? (2)当 k ? ?

9 2?k k 9 k 所以 P(? ? k ) ? C2 ( ) (1 ? ) (k ? 0,1, 2) ,????????????????11 分 10 10 所以变量 ? 的分布列为 ? 0 1 2
p

1 2 2 , ? ? 2 2 4

1 2 2 ? 1? ? . 2 4 8

1 100

18 100

81 100
????????????????12 分

E? ? 0 ?

1 18 81 9 ? 1? ? 2? ? 1.8 (天),或 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 (天). ????????13 分 100 100 100 10

19.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)由条件可知, 点 P 到两定点 F 1 (1,0), F 2 (?1,0) 的距离之和为定值 2 2 , 所以点 P 的轨迹是以 F 1 (1,0), F 2 (?1,0) 为焦点的椭圆.????????????????2 分

1 2 2 时,又由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? , 2 2 2 2 同理可求直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为 . 8 2 综合(1) (2) ,直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为 .???????13 分 8
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由 OA ? OB ? OC ? 0 得: x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 .?????????5 分 (ⅰ)因为点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在椭圆上,所以有: x1 ? 2 y1 ? 2 , x22 ? 2 y22 ? 2 ,
2 2

??? ? ??? ? ??? ?

?

2 , c ? 1 ,所以 b ? 1 , x2 ? y 2 ? 1.????????????????4 分 故所求方程为 2 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . ??? ? ??? ? ??? ? ? 由 OA ? OB ? OC ? 0 ,得 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 .??????????5 分 (ⅰ)可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? n (k ? 0) ,
4

又a ?

两式相减,得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ?? . x1 ? x2 x1 ? x2 2 y 又 y1 ? y2 ? ? y3 , kOC ? 3 , x3
从而有

所以 k AB ? kOC ? ?

1 ,即直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.????????????8 分 2

综合(1) ,(2), n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an?1 成立.

(ⅱ)同解法一. 20.本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识,考查运 算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分 14 分.

故数列 ?an ? 为单调递增数列. ??????????14 分 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.潢分 7 分.

1 1 ? cos 2 x 3 1 解:(Ⅰ) g ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ? ? ? sin 2 x ? ???????2 分 2 2 2 2 1 3 ?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin ? 2 x ? ? ??????????3 分 2 2 6? ? ?h ? x ? ? sin x ,??????????4 分
2

f ? x ? ? m sin x ? 1.??????????5 分 (Ⅱ)方程 f ( x) ? x 有且只有一个实根. ??????????6 分
理由如下: 由(Ⅰ)知 f ? x ? ? m sin x ? 1,令 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? m sin x ? x ?1 , 因为 F ? 0? ? 1 ? 0 ,又因为 0 ? m ? 所以 F ? x ? ? 0 在 ? 0,

1 ? 3 ? ?? ? ,所以 F ? ? ? m ? ? 1 ? ? ? 0 . 2 2 2 2 ?2?

? 至少有一个根. ??????????7 分 2? 1 ' 又因为 F ? x ? ? m cos x ? 1 ? m ? 1 ? ? ? 0 , 2 所以函数 F ? x ? 在 R 上单调递减,
所以函数 F ? x ? 在 R 上有且只有一个零点, 即方程 f ? x ? ? x 有且只有一个实根. ??????????9 分 (Ⅲ)因为 a1 ? 0, an?1 ? f ? an ? ? m sin an ? 1, 所以a2 ? 1 ? a1 , 又 a3 ? m sin1 ? 1 ,因为 0 ? 1 ? ? ,所以 0 ? sin1 ? 1 ,所以 a3 ? 1 ? a2 . 由此猜测 an ? an?1 (n ? 2) ,即数列 ?an ? 是单调递增数列. ??????????11 分 以下用数学归纳法证明: n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an?1 ? 0 成立. (1)当 n ? 2 时, a2 ? 1, a1 ? 0 ,显然有 a2 ? a1 ? 0 成立. (2)假设 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 ak ? ak ?1 ? 0(k ? 2) .??????????12 分 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? f ? ak ? ? m sin ak ? 1, 因为 0 ? m ?

? ?

??

m ?? 1 ? ?1 ? m ? ?1 ?? ? ? ? ??? ? ?, 1? ?0 ?? ? 1? ? ? 1 ? ?1 ? m ? ? 0 ? 所以 ? ? ?1 ? ??? ? ? ? ,即 m =1.????????????????3 分 ? ? ? ? 1? 1? ? 1? ?1 ?1 ? (Ⅱ)因为 M ? ? ,所以 M ?1 ? ? ? .?????????????4 分 ?0 ? 1? 1? ?0 ? ?1 2 设曲线 y ? x ? y ? 0 上任意一点 ( x , y) 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是 ( x? , y?) . ? x? ? ?1 ? 1?? x ? ? x ? y ? 由? ? ? ? ?? ? ? ? ? , ?????????????????5 分 ? y? ? ? 0 1?? y ? ? y ? ? x ? y ? x?, ? x ? x? ? y?, 所以 ? 得? 代入曲线 y 2 ? x ? y ? 0 得 y?2 ? x? .?????????6 分 ? y ? y? ? y ? y? 由 ( x , y) 的任意性可知, ?1 曲线 y 2 ? x ? y ? 0 在矩阵 M 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x . ??????7 分
解: (Ⅰ)因为 ? ? (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分.

4 2, 解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 (

) 得点 M 的直角坐标为 ( 4, 4) , 4 所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .????????????????3 分

?

2

(?为参数) y ? 2 sin ? ? ? 2 2 化为普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ,???????????5 分
(Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? 圆心为 A(1 , 0) , ,半径为 r ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? ,

2.

1 1 ? ,所以 ak ? f ? ak ?1 ? ? m sin ak ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? 1 ? . 2 2 2 ? ? 上单调递增, 0 ? a ? a ? , 又 sin x 在 0, k ?1 k 2 2 所以 sin ak ? sin ak ?1 ? 0 ,所以 m sin ak ? 1 ? m sin ak ?1 ? 1 ,

由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为 MA ? r ? 5 ? 2 .????7 分 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想.满 分 7 分. 解: (Ⅰ)由 2a ? b ? 9 得 9 ? b ? 2a ,即 | 6 ? b |? 2 | a | . 所以 9 ? b ? a ? 3 可化为 3 a ? 3 ,即 a ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 1 . 所以 a 的取值范围 ?1 ? a ? 1 .????????????????4 分 (Ⅱ)因为 a , b ? 0 ,
2 所以 z ? a b ? a ? a ? b ? (

? ?

即 sin ak ?1 ? m sin ak ?1 ? 1 ? f (ak ?1 ) ? ak ? 0 , 即 n ? k ? 1 时,命题成立. ??????????13 分
5

当且仅当 a ? b ? 3 时,等号成立. 故 z 的最大值为 27.????????????????7 分

a?a?b 3 2a ? b 3 ) ?( ) ? 33 ? 27 ,?????????????6 分 3 3


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