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【智慧测评】2015高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习滚动检测5]


滚动检测 (五 )
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1 1.抛物线 y= x2 的焦点坐标为( 8 A. ?0, ) B.(0,2) D.(2,0)

?

1? 32?

1 ? C. ? ?32,0?

解析:化为标准方程为 x2 =8y,故其焦点为(0,2). 故选 B.

答案:B 2. (2014 山东日照模拟)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0 与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0 垂 直,则 a 等于( A.-1 C.± 1 ) B.1 3 D.- 2

解析:由两直线垂直可得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即 a2 -1=0,解得 a=± 1. 故选 C. 答案:C x2 y2 3.(2014 广东潮州市质量检测)若抛物线 y2 =2px 的焦点与双曲线 - =1 的右焦点重 2 2 合,则 p 的值为( A.-2 C.-4 ) B.2 D.4

x2 y2 解析:双曲线 - =1 的右焦点为(2,0),即为抛物线的焦点,则 p=4. 故选 D. 2 2 答案:D 4.(2014 甘肃兰州一中高考冲刺)若直线 y=kx 与圆(x-2)2 +y2 =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k ,b 的值分别为( 1 A.k = ,b=-4 2 1 C.k = ,b=4 2 ) 1 B.k =- ,b=4 2 1 D.k =- ,b=-4 2

解析:因为直线 y=kx 与圆(x-2)2 +y2 =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 所以直线 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直, 且直线 2x+y+b=0 过圆心,

1 ? ?k = , 所以? 2 ? ?2×2+0+b=0, 1 即 k = ,b=-4. 故选 A. 2 答案:A 5.(2014 广东肇庆教学质量评估)在△ABC 中,已知 a=6,b=4,C=120° ,则 sin B 的 值是( A. C. ) 21 7 3 38
2 2 2

B.

57 19 57 19

D.-

解析:c =a +b -2abcos C =62 +42 -2×6×4×cos 120° =76, ∴c= 76=2 19, 由 b c = sin B sin C 4×

3 bsin C 2 57 得 sin B = = = . 故选 B. c 19 2 19 答案:B x2 y2 6.(2013 年高考天津卷)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2 = a b 2px(p>0)的准线分别交于 A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面 积为 3,则 p 等于( A.1 C.2 c b 解析:由双曲线:e= =2,得 = 3. a a 即渐近线方程为 y=± 3x, p 而抛物线准线方程为 x=- , 2 于是 A?-p,- 3p?,B ?-p, 3p?, ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 1 p S△ AOB = × × 3p= 3, 2 2 则 p=2. 故选 C. ) B. 3 2

D.3

答案:C 7.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A ,B 两点,|AB |=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4
2 2 2

) B.2 2 D.8

解析:设等轴双曲线方程为 x -y =m(m>0), 抛物线的准线为 x=-4, 由|AB |=4 3,得|yA |=2 3, 把坐标(-4,2 3)代入双曲线方程得 m=x -y =16-12=4, 所以双曲线方程为 x2 -y2 =4, x2 y2 即 - =1,所以 a2 =4,a=2, 4 4 所以实轴长 2a=4. 故选 C. 答案:C x y 8.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O,且 a b → → → → → → AC· BC=0,|OC-OB |=2|BC-BA|,则其焦距为( A. C. 2 6 3 4 6 3 B. 4 3 3 2 3 3 )
2 2 2 2

D.

→ → 1→ 解析:由题意可知|OC|=|OB |= |BC|, 2 且 a=2, → → → → 又∵|OC-OB |=2|BC-BA|, → → ∴|BC|=2|AC|. → → ∴|OC|=|AC|. → → 又∵AC· BC=0, → → ∴AC⊥BC, → → ∴|OC|=|AC|= 2. 如图所示,作 CD⊥OA , 在 Rt△AOC 中,

易求得 C(1,-1), 1 ?-1? 4 代入椭圆方程得 + 2 =1?b2 = , 4 b 3
2 2

4 8 ∴c2 =a2 -b2 =4- = . 3 3 ∴c= 2 6 4 6 ,2c= , 3 3

故选 C. 答案:C x y 9.已知菱形 ABCD 与椭圆 + =1 相切,则菱形 ABCD 面积的最小值为( 4 3 A.8 2 C.2 3 B.2 2 D.8 3
2 2

)

x y 解析:设菱形在第一象限的一边所在的直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b

由方程组

? ?x y ?a+b=1,

x y + =1, 4 3

2

2

b2 3? 2 2b2 2 可得? ?a2 +4?x - a x+(b -3)=0, 由题意 Δ=0, 整理得 4b2 +3a2 =a2 b2 , 所以 a b ≥2 12a b , ab≥4 3, 当且仅当 4b2 =3a2 且 4b2 +3a2 =a2 b2 , 即 a2 =8,b2 =6 时取等号,S 菱 形 =2ab≥8 3. 故选 D. 答案:D 10.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F 1 、F2 ,且它们在第一象限的交点为 P ,△PF 1F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形.若|PF1 |= 10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2) .则该椭圆的离心率的取值范围是( 1 2 A. ? , ? ?5 5? 1 3? C. ? ?3,5? 1 2 B. ? , ? ?3 5? 1 3? D.? ?2,5? )
2 2 2 2

解析:设椭圆的长半轴长,半焦距分别为 a1 ,c,双曲线的实半轴长,半焦距分别为 a2 , c,

由题意知|PF 1|=10,|PF 2 |=2c, 则?
? ?10+2c=2a1 , ?10-2c=2a2 , ?

即?

? ?a1 =5+c, ?a2 =5-c, ?

问题转化为已知 1< 由 1<

c c <2,求 的取值范围. 5-c 5+c

c 1 5-c <2 知 < <1, 5-c 2 c

3 5 即 < < 2, 2 c 5 5 因此 < +1<3, 2 c 5 5+c 即 < <3, 2 c 1 c 2 ∴ < < , 3 5+c 5 故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) x y 10.已知双曲线 - =1 的一个焦点坐标为(- 3,0),则其渐近线方程为________. a 2 解析:由 a+2=3,可得 a=1, y2 ∴双曲线方程为 x2 - =1, 2 ∴其渐近线方程为 y=± 2x. 答案:y=± 2x 12. 等差数列{an }的前 n 项和为 Sn. 已知 am -1 +am +1 -a2 S2 m -1 =38, 则 m=________. m=0, 解析:∵在等差数列{an }中, am - 1 +am+ 1 -a2 m =0, ∴2am =a2 m,可得 am =2. 由 S2 m- 1 =38, 得 ?a1 +a2 m- 1??2m-1? =(2m-1)am =38, 2
2 2

∴m=10. 答案:10 13.一个三棱柱的三视图如图,则这个几何体的表面积是________.

解析:根据三视图可知该三棱柱的底面是边长等于 4 的正三角形,且侧棱垂直于底面, 高等于 2,所以其表面积等于 2× 答案:24+8 3 14.已知 A 、B 是抛物线 y2 =2px(p>0)上两点,O 为坐标原点,若|OA |=|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是________. 解析:因为|OA |=|OB |, 所以 A 、B 两点关于 x 轴对称,设 A (x1 ,y1 ), 则 B (x1 ,-y1)(x1 ≠0,y2 1 =2px1 ) , p 由于垂心是焦点,焦点坐标为 F? ,0?, ?2 ? y1 -y1 则由 kFA· kOB =-1,得 · =-1, p x1 x1 - 2 p? 5p 2 ? 即 y2 , 1=x1 x1 - ,结合 y1 =2px1 ,解得 x1 = ? ? 2 2 5p 即直线 AB 的方程为 x= . 2 5 答案:x= p 2 三、解答题(共 70 分) 15.(本小题满分 10 分) π (2011 年高考北京卷)已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在区间? ?-6,4?上的最大值和最小值. π 解:(1)∵f (x)=4cos xsin(x+ )-1 6 =4cos x? 3sin x+1cos x?-1 ?2 ? 2 = 3sin 2x+2cos2 x-1 3 ×42 +4×2×3=24+8 3. 4

π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+ 6? ∴f (x)的最小正周期为 π. π π (2)∵- ≤x≤ , 6 4 π π 2π ∴- ≤2x+ ≤ 6 6 3 π π ∴当 2x+ = 时, 6 2 π 即 x= 时,f(x)取得最大值 2, 6 π π 当 2x+ =- , 6 6 π 即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 16.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 为 PC 中点,作 EF ⊥PB 交 PB 于 F. (1)证明:PB ⊥平面 EFD; (2)求二面角 C-PB -D 的正弦值. (1)证明:建立空间直角坐标系,如图, 设 DC=a. 依题意得 B(a,a, 0), a a? P (0,0,a),E? ?0,2,2?, D(0,0,0), → PB=(a,a,-a), a a? → DE =? ?0,2,2?, a a → → 故PB· DE =0+ - =0. 2 2 ∴PB ⊥DE ,由已知 EF ⊥PB , 且 EF ∩DE =E. 所以 PB ⊥平面 EFD. (2)解:连接 BD、AC 交于 M, ∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥CM. 又∵PD⊥平面 ABCD, CM?平面 ABCD.
2 2

∴PD⊥CM. 又∵PD∩BD=D, ∴CM⊥平面 BDP. → ∴MC为平面 BDP 的法向量. a a ∵M? , ,0?,C(0,a,0), ?2 2 ? 1 1 → ∴MC=?- a, a,0?. ? 2 2 ? 又∵PD=DC,E 为 PC 中点, ∴DE ⊥PC. 又∵DE ⊥PB ,PC∩PB =P , ∴DE ⊥平面 PCB. → ∴DE 为平面 PBC 的法向量, 1 1 → DE =?0, a, a?, ? 2 2 ? → → MC· DE 1 → → ∴cos 〈MC,DE 〉= = . → → 2 |MC||DE| ∴二面角 C-PB -D 的正弦值为 17.(本小题满分 12 分) 已知动圆过定点(2,0),且与直线 x=-2 相切. (1)求动圆的圆心轨迹 C 的方程; → → (2)是否存在过点(0,2)的直线 l,与轨迹 C 交于 P、Q 两点,且满足OP · OQ=0?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)如图所示,设 M 为动圆圆心,F (2,0),过点 M 作直线 x= -2 的垂线,垂足为 N,连接 MF , 由题意知:|MF |=|MN|,即动点 M 到定点 F 与到定直线 x=-2 的 距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线, 其中 F (2,0)为焦点,x=-2 为准线, 所以动圆圆心轨迹 C 的方程为 y2 =8x. (2)假设存在满足条件的直线 l, 由题可设直线 l 的方程为 x=k (y-2)(k ≠0), 由?
? ?x=k ? y-2?, ?y =8x, ?
2

3 . 2

得 y2 -8ky+16k =0, Δ=(-8k ) -4×16k >0, 解得 k <0 或 k >1. 设 P (x1 ,y1),Q(x2 ,y2), 则 y1 +y2 =8k ,y1 y2 =16k , → → 由OP · OQ=0, 得 x1 x2 +y1 y2 =0, 即 k2 (y1 -2)(y2 -2)+y1 y2 =0. 整理得:(k +1)y1 y2 -2k (y1 +y2 )+4k =0, 得 16k(k2 +1)-2k 2· 8k +4k2 =0, 即 16k +4k 2 =0, 解得 k =-4 或 k =0(舍去), 所以直线 l 存在,其方程为 x+4y-8=0. 18.(本小题满分 12 分) (2014 北京东城区期末检测)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点(- 3,0),( 3, 0)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为曲线 C,直线 l 过点 E (-1,0)且与曲线 C 交于 A ,B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)求△AOB 面积的最大值. 解:(1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(- 3,0),( 3,0)为焦点,长半轴长为 2 的椭圆. x2 故曲线 C 的方程为 +y2 =1. 4 (2)由题意知直线 l 不与 y 轴垂直, 所以可设直线 l 的方程为 x=my-1. x ? ? +y2 =1, 由? 4 ?x=my-1, ? 消去 x 得(m2 +4)y2 -2my-3=0. 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ), 2m 则 y1 +y2 = 2 , m +4 y1 y2 = -3 , m2 +4
2 2 2 2 2

4 m +3 则|y1 -y2 |= ?y1 +y2 ? -4y1 y2 = 2 , m +4
2

2

1 所以 S△ AOB = |OE |· |y1 -y2 | 2 = = 2 m2 +3 m2 +4 2 m2 +3+
2

1 m2 +3

设 t= m +3(t≥ 3), 1 则 g(t)=t+ 在区间[ 3,+∞)上为增函数, t 4 3 所以 g(t)≥ . 3 所以 S△ AOB ≤ 3 (当且仅当 m=0 时取等号), 2 3 . 2

即△AOB 面积的最大值为 19.(本小题满分 12 分)

a 已知函数 f (x)=ax+ -3ln x. x (1)当 a=2 时,求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)在[1,e]上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)当 a=2 时,f (x)=2x+ -3ln x, x 2 3 2x -3x-2 f ′(x)=2- 2 - = (x>0), x x x2 1 令 f ′(x)=0 得 x=2 或 x=- (舍去), 2 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如表, x f ′(x) f (x) (0,2) - 2 0 5-3ln 2 (2,+∞) +
2

∴当 a=2 时,函数 f(x)的最小值为 5-3ln 2. ax2 -3x-a (2)∵f ′(x)= , x2 要使 f (x)在[1,e]上为单调函数,只需 f ′(x)在[1,e]内满足: f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 恒成 立,且等号只在孤立点取得.

令 h(x)=ax2 -3x-a, ∵h(1)=-3<0, ∴h(x)=ax2 -3x-a≤0 在[1,e]上恒成立, 当 a≤0 时显然 a(x2 -1)-3x<0,
2 1 x -1 当 a>0 时,由 ax2 -3x-a≤0 得 ≥ , a 3x

1 x -1 ∴ ≥ 在[1,e]上恒成立, a 3x 而 y=
2 x2 -1 1 1 e -1 =x- 在[1,e]上是增函数,其最大值为 e- = . x x e e 2

2

1 e -1 ∴ ≥ >0, a 3e 3e 则 0<a≤ 2 . e -1 综上可知,当 a≤ 3e 时,f (x)在[1,e]上为单调函数. e -1
2 2 2

x y 2 20.(本小题满分 12 分) (2014 济南 3 月模拟)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 且过点(2, 2).

(1)求椭圆的标准方程; b2 (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC· kBD =- 2 , a → → ①求OA · OB 的最值; ②求证:四边形 ABCD 的面积为定值. c 2 4 2 解:(1)由题意 e= = , 2 + 2 =1, a 2 a b 又 a2 =b2 +c2 ,解得 a2 =8,b2 =4, x y 椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 (2)①当直线 AB 的斜率不存在时, 设直线 AB 的方程为 x=n, 代入椭圆方程得 2y2 +n2 -8=0, 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ), n -8 则 x1 x2 =n2 ,y1 y2 = , 2
2 2 2

y1 y2 1 由 kAC· k BD =k OA · k OB = =- , x1 x2 2 得 n2 -8 1 2 2 =- ,得 n =4. 2n 2

→ → ∴OA · OB =x1 x2 +y1 y2 =2. 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m, A (x1 ,y1 ),B (x2 ,y2), 联立?
? ?y=kx+m, ?x +2y =8, ?
2 2

得(1+2k 2)x2 +4kmx+2m2 -8=0, Δ=(4km) -4(1+2k )(2m -8)=8(8k -m +4)>0(*) -4km ? ?x +x =1+2k , ? 2m - 8 ? ?x x = 1+2k ,
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

b 1 yy 1 ∵k OA· k OB =- 2=- ,∴ 1 2 =- , a 2 x1 x2 2
2 m2 -4 1 1 2m -8 ∴y1 y2 =- x1 x2 =- · =- 2 2, 2 2 1+2k 1+2k

2

又 y1 y2 =(kx1 +m)(kx2 +m) =k 2 x1 x2 +km(x1 +x2 )+m2 2m2 -8 -4km 2 =k 2 2 +km 2+m 1+2k 1+2k = m2 -8k 2 2, 1+2k m2 -4 m2 -8k 2 = , 1+2k 2 1+2k 2
2 2 2

∴-

∴-(m -4)=m -8k , ∴4k 2 +2=m2. → → ∴OA · OB =x1 x2 +y1 y2 2m2 -8 m2 -4 = - 1+2k 2 1+2k 2 = = m2 -4 1+2k 2 4k 2 +2-4 1+2k 2

=2-

4 2, 1+2k

→ → ∴-2=2-4≤OA · OB <2. 当 k =0(此时 m2 =2 满足(*)式), → → 即直线 AB 平行于 x 轴时,OA · OB 的最小值为-2. → → 当直线 AB 的斜率不存在时,OA · OB 的最大值为 2. ②当 AB 的斜率不存在时, 由①知 A (2,- 2),B (2, 2), S 四边形 ABCD =4S△ AOB =8 2, 当 AB 的斜率存在时,设原点到直线 AB 的距离为 d,由①得 1 S△ AOB = |AB |· d 2 = = 1 |m| 1+k 2· |x2 -x1 |· 2 1+k 2 |m| 2 ?x1 +x2 ? -4x1 x2 2 |m| 2 |m| 2



? -4km?2 -4×2m -8 ? 1+2k 2? 1+2k 2
2 64k 16?m -4? 2 - m m2 2

2



=2 4k 2 -m2 +4 =2 2, ∴S 四边形 ABCD =4S△ AOB =8 2. 综上所述四边形 ABCD 的面积为定值 8 2.


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