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广东省揭阳市2013—2014学年度高中三年级学业水平考试文科数学试题


绝密★启用前

揭阳市 2013-2014 学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应

题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 在复平面内,复数 i(i ? 1) 对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合 A ? {x | y ? lg( x ? 3)}, B ? {x | x ? 2} ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B

3. “ ? ? ? ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为奇函数的” A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 向量 BA ? (?1,2), BC ? (3,4), 则 AC ? A. (4, 2) B. (?4, ?2) C. (2, 6) D. (?4, 2)

??? ?

??? ?

??? ?

5. 某商场有四类食品,食品类别和种数见 类别 粮食类 右表:现从中抽取一个容量为 20 的样本 种数 40 进行食品安全检测.若采用分层抽样的 方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 方程 2
x ?1

植物油类 10

动物性食品类 30

果蔬类 20

? x ? 5 的解所在的区间

A. (0,1) 7. 若双曲线

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a 2 b2
B. ? 2 C. ?

A. ?2

1 2

D. ?

2 2

?5 x ? 3 y ? 15, ? 8. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 3x ? 5 y 的最小值为 ? x ? 5 y ? 3. ?
A.17 B. -11 C.11 D.-17 9. 图(1)中的网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了 一四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为. A.4 B.8 C.16 D.20 10. 已知函数 f ( x) ? ?
2

正视图

侧视图

俯视图 图(1)

?ax ? 2 x ? 1,( x ? 0) 有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 ax ? 3,( x ? 0) ?

A. a ? 1 B. a ? 0 C. a ? 1 D. 0 ? a ? 1 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11. 计算: log3 18 ? log3 2 ? .

12. 图(2)是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩的茎叶图,其中一个 数字被污损;则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .
? 13.对于正整数 n ,若 n ? pq( p ? q, p, q ? N ) ,当 p ? q 最小时,则称 pq 为 n 的“最佳分解” ,规定

f ( n) ?

1 3 q .关于 f ( n) 有下列四个判断:① f (4) ? 1 ;② f (13) ? ;③ f (24) ? ;④ 13 8 p 1 .其中正确的序号是 2013


f (2013) ?

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,已知点 P 为方程 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 所表示的曲线上一动 点, Q ? 4,

? ?

??

? ,则 PQ 的最小值为 3?



15.(几何证明选讲选做题) 如图(3) ,已知 AB 是圆 O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切圆 O 于 D,CD=4,AB=3BC,则圆 O 的半径

长是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Sn . 17. (本小题满分 12 分) 根据空气质量指数 AQI (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

AQI (数值)
空气质量级别 空气质量类别

0 ? 50

51 ? 100

101 ? 150

151 ? 200
四级 中度污染 红色
天数
10 8 6 4 2 0

201 ? 300
五级 重度污染 紫色

? 300
六级 严重污染 褐红色

一级 二级 三级 优 良 轻度污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 某市 2013 年 10 月 1 日—10 月 30 日, 对空气质量指 数 AQI 进行监测,获得数据后得到如图(4)的条形图 (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率; (2)在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中 任取 2 个,求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为 褐红色的概率.

空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

图(4)

18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 cos(

?
3

? A) ? 2 cos A, 求 A 的值; 1 , 且△ABC 的面积 S ? 2c2 ,求 sin C 的值. 3

(2)若 cos A ?

19. (本小题满分 14 分) 如图(5),已知 A, B, C 为不在同一直线上的三点,且 AA / / BB / /CC , AA ? BB ? CC . 1 1 1 1 1 1

(1)求证:平面 ABC //平面 A1B1C1 ;

C ? A A (2)若 AA1 ? 平面 ABC , 且A
丄平面 AB1C1

1

? 4 , BC ? 3, AB ? 5 , 求证: A1C

(3)在(2)的条件下,设点 P 为 CC1 上的动点,求当 PA ? PB1 取得最小

值时 PC 的长.

20.(本小题满分 14 分) 如图 (6) , 已知 F (c, 0) 是椭圆 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2
y B

右焦点; ? F : ( x ? c) ? y ? a 与 x 轴交于 D, E 两点,其中 E 是 椭圆 C 的左焦点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 ? F 与 y 轴的正半轴的交点为 B ,点 A 是点 D 关于 y 轴 的对称点,试判断直线 AB 与 ? F 的位置关系; (3)设直线 BF 与 ? F 交于另一点 G ,若 ?BGD 的面积为

x E O F D

4 3 ,求椭圆 C 的标准方程.

图(6)

21.(本小题满分 14 分)
n ?1 n 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( x ? 0) , 其中 a ? b ? 0 ,n 为正整数, a, b, c 均为常数, 曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值;

(3)证明:对任意的 x ? (0, ??) 都有 nf ( x) ?

1 .( e 为自然对数的底) e

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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题 CC A AB CBBCD

?a ? 0, ? 2 ? 解析:10.函数 f ( x ) 有 3 个零点,须满足 ?? ? 0, ? 0 ? a ? 1 ,故选 D. ? 2a ? ?4 ? 4a ? 0.
二.填空题:11.2;12.

4 ;13.①②;14. 6 ;15. 3. 5

解析:12.设被污损的数字为 x( x ? N ) ,则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得, 88 ? 89 ? 92 ? 91 ? 90 ? 83 ? 83 ? 87 ? 99 ? 90 ? x ,解得 0 ? x ? 8 ,即当 x 取 0,1,??,7 时符合题意, 故所求的概率 P ? 三.解答题: 16.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 , 得 2q ? 2q ?12 ? 0 ,即 q ? q ? 6 ? 0 .------------------------------------------------------------3 分
2 2

8 4 ? 10 5

解得 q ? 3 或 q ? ?2 ,------------------------------------------------------------------------------------5 分 ∵ q ? 0 ∴ q ? ?2 不合舍去,∴ an ? 2 ? 3n?1 ;---------------------------------------------------------6 分(2)∵数 列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列, ∴ bn ? 2n ? 1 ,-------------------------------------------------------------------------------------------------8 分 ∴ Sn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn )

?

2(3n ? 1) n(1 ? 2n ? 1) ? ? 3n ? 1 ? n2 .--------------------------------------------------------12 分 3 ?1 2

17.解: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, -----------------------------1 分

6 1 ? .----------------------------------4 分 30 5 (2)由条形图知,空气质量类别颜色为紫色的数据有 4 个,分别设为 a、b、c、d ,空气质量类别颜色为 褐红色的数据有 2 个,分别设为 e、f .------------------------------------------------------6 分
所以该城市本月内空气质量类别为中度污染的概率 P ? 设从以上 6 个数据任取 2 个,至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色为事件 A, 则基本事件有: (a, b),(a, c),(a, d ),(b, c),(b, d ),(c, d ) , (a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ),(c, e),(c, f ) ,

(d , e),(d , f ),(e, f ) 共 15 种可能,--------------------------------------------------------------------------8 分
A 包含的基本事件有:

(a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ),(c, e),(c, f ) , (d , e),(d , f ),(e, f ) 9 种可能,-------------------------10 分
故所求的概率

P ( A) ?

9 3 ? .-------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 15 5

18.解: (1)由 cos( A ? 得 cos A cos

?

?
3

3

) ? 2 cos A,

? sin A sin

?
3

? 2 cos A, ---------------------------------------------------------------------2 分

1 3 ? cos A ? sin A ? 2cos A, 2 2

3 sin A?

分 3 cA o ,------------------------------------------------4 s

∴ tan A ? 3 -----------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∵0 ? A ?? ∴A?

?
3

;-------------------------------------------------------------------------------------7 分

(2)解法 1:? cos A ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

1 ? , ∴0 ? A ? 3 2

2 2 , ------------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c ----------------12 分

由正弦定理得:

a c 2 2c c ? ,即 ? sin A sin C sin A sin C

? sin C ?

sin A 1 ? .------------------------------------------------------------------------------------------14 分 2 2 3

【解法 2:? cos A ?

1 ? , ∴0 ? A ? 3 2

∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 , ------------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c ----------------12 分 ∵ a ? c ? 8c ? c ? 9c ? b ,∴△ABC 是 Rt△,角 B 为直角,--------------------------------13 分
2 2 2 2 2 2

? sin C ?

c 1 ? .---------------------------------------------------------------------------------------------14 分】 b 3 1 ? 【:解法 3:? cos A ? , ∴ 0 ? A ? 3 2
∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 , ------------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c ----------------12 分

1 1 1 ab sin C ? 2c 2 ,得 ? 2 2c ? 3c ? sin C ? 2c 2 ,∴ sin C ? .-----------------------14 分】 2 2 3 1 ? 【解法 4:? cos A ? , ∴ 0 ? A ? 3 2
又S ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 , ------------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
b c ? ,则 3sin C ? sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ,-------11 分 sin B sin C

由正弦定理得:

3sin C ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C , 3sin C ?

2 2 1 cos C ? sin C , 3 3

2 2 整理得 cos C ? 2 2 sin C ,代入 sin C ? cos C ? 1 ,得 sin C ?
2

由c ? b 知0 ? C ?

?
2

1 ,------------------------------13 分 9

,

? sin C ?

1 .----------------------------------------------------------------------------------------------------14 分】 3

19.(1)证明:∵ AA / /CC 且 AA ? CC 1 1 1 1 ∴四边形 ACC1 A 1 是平行四边形,-------------------------------------------------------------------------------1 分 ∴ AC / / AC 1 1 ,∵ AC ? 面 A 1B 1C1 , AC 1 1 ?面A 1B 1C1 ∴ AC / / 平面 ABC 1 1 1 ,-------------------------------------------------------------------------------------------3 分 同理可得 BC / / 平面 ABC 1 1 1 ,又 AC ? CB ? C , ∴平面 ABC //平面 ABC 1 1 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------4 分

? 平面 ABC ,-------------------5 分 (2)∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 ACC1 A 1 ∴平面 ACC1 A 1
平面 ACC1 A 1 ? 平面 ABC = AC , ∵ AC ? 4 , BC ? 3 , AB ? 5 ∴ AC ? BC ? AB
2 2 2

∴ BC ? AC

---------------------------6 分

∴ BC ? 平面 ACC1 A 1 ,----------------------------------------------------------------------------------------7 分 ∴ BC ? AC 1 ,∵ BC / / B 1C1 ∴ B 1C1 ? AC 1 又 AA1 ? AC , AC ? AA ? AC1 ---------------------------------------8 分 1 得 ACC1 A 1 为正方形,∴ AC 1 又 AC1 ? B1C1 ? C1 , ∴A1C 丄平面 AB1C1--------------------------------------------------------------------------9 分 (3) 将三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 ACC1 A 1 绕侧棱 CC1 旋转到与侧面
A1 C1 P B1 4 B

BCC1B1 在同一平面内如右图示,连结 AB1 交 CC1 于点 P,则由平面
几何的知识知,这时

A

C

3

PA ? PB1 取得最小值,----------------------------------------------12 分
∵ PC / / BB1 ∴

AC ? BB1 16 PC AC ? ? PC ? ? .------------------------------------------------------------------14 分 BB1 AB AB 7

20.解:(1)∵圆 F 过椭圆 C 的左焦点,把 (?c, 0) 代入圆 F 的方程,得

4c 2 ? a 2 ,故椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 ? ;---------------------------------------------------------------3 分 a 2

(2) 在方程 ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 中令 x ? 0 得 y 2 ? a2 ? c2 ? b2 ,可知点 B 为椭圆的上顶点, 由(1)知,

c 1 ? ,故 a ? 2c, b ? a 2 ? c 2 ? 3c ,故 B (0, 3c) ,-------------------------------5 分 a 2

在圆 F 的方程中令 y=0 可得点 D 坐标为 (3c, 0) ,则点 A 为 (?3c,0) ,------------------------------6 分

于是可得直线 AB 的斜率 k AB ?

3c 3 ,---------------------------------------------------------------7 分 ? 3c 3

而直线 FB 的斜率 k FB ? ∵ k AB ? kFD ? ?1 ,

3c ? ? 3 ,----------------------------------------------------------------------8 分 ?c
y B

∴直线 AB 与 ? F 相切。--------------------------------------------9 分 (3)∵DF 是△BDG 的中线, ∴ S?BDG ? 2S?BFD ?| FD | ? | OB |? 2c ? 3c ? 4 3 ,------12 分
2 2 ∴ c ? 2 ,从而得 a ? 8, b ? 6 ,-----------------------------13 分
2

x A E O F D

G

x2 y 2 ? ? 1 .------------------------------14 分 ∴椭圆的标准方程为 8 6
21 解: (1)∵ f (1) ? a ? b ? c ? c 由点 (1, c) 在直线 x ? y ? 1 上,可得 1 ? c ? 1 ,即 c ? 0 .----1 分 ∵ f '( x) ? a(n ? 1) x ? bnx ,∴ f '(1) ? (a ? b)n ? a ? a . -----------------------------------------2 分 又∵切线 x ? y ? 1 的斜率为 ?1 ,∴ a ? ?1 ,
n n ?1

∴ a ? ?1 , b ? 1, c ? 0 .-----------------------------------------------------------------------------------------3 分 n n?1 n (2)由(1)知, f ( x) ? ? x ? x ,故 f ?( x) ? (n ? 1) xn?1 ( ? x) .------------------------------4 分 n ?1

n n ,即 f ?( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点 x0 ? . ---------------------------5 分 n ?1 n ?1 n n 当0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增;------------------------------------6 分 n ?1 n ?1 n n 当x? 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ( , ??) 单调递减.-------------------------------------------7 分 n ?1 n ?1 n n n n nn )?( ) (1 ? )? ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值 f ( x)max ? f ( . -----------------8 分 n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1) n ?1
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? (3)证法 1:要证对任意的 x ? (0, ??) 都有 nf ( x) ? 由(2)知在 (0, ??) 上 f ( x) 有最大值, f ( x) max 即(

1 1 ,只需证 f ( x) ? , ne e nn 1 nn ,故只需证 ? -----9 分 ? n ?1 n ?1 (n ? 1) ne (n ? 1)

n n?1 1 n 1 ) ? ,即 ln ? ? 0 ,------------------------------------①------------------------10 分 n ?1 e n ?1 n ?1 n 1 ? t , (0 ? t ? 1) ,则 ? 1 ? t ,①即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,-------------②---------------------11 分 令 n ?1 n ?1 1 1? t 令 g (t ) ? ln t ? t ? 1,(0 ? t ? 1) ,则 g '(t ) ? ? 1 ? ,--------------------------------------------12 分 t t 显然当 0 ? t ? 1 时, g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (0,1) 上单调递增, ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 ,即对任意的 0 ? t ? 1 ②恒成立, 1 ∴对任意的 x ? (0, ??) 都有 nf ( x) ? .------------------------------------------------------------------14 分 e
1 1 1 t ?1 (t ? 0) ,则 ? ?(t ) ? ? 2 = 2 (t ? 0) .----------------------------------9 分 t t t t ? 当 0 ? x ? 1 时, ? (t ) ? 0 ,故 ? (t ) 在 (0, 1) 上单调递减; 而当 x ? 1 时, ? ?(t ) ? 0 ,故 ? (t ) 在 (1, ? ?) 上单调递增.
【证法 2:令 ? (t ) ? ln t ? 1+ ∴ ? (t ) 在 (0, ??) 上有最小值, ? (t )min ? ? (1) ? 0 . -----------------------------------------------------10 分

1 ∴ ? (t ) ? 0 (t ? 1) ,即 ln t ? 1 ? (t ? 1) .---------------------------------------------------------------------11 分 t 1 n ?1 1 n ? 1 n?1 令 t ? 1 ? ,得 ln ,即 ln( ? ) ? ln e ,--------------------------------------------------12 分 n n n ?1 n nn 1 n ? 1 n?1 ? 所以 ( .-----------------------------------------------------------------------13 分 ) ? e ,即 n ?1 (n ? 1) ne n
由(2)知, f ( x) ?
nn 1 ? ,故所证不等式成立.---------------------------- ------------------14 分】 n ?1 (n ? 1) ne


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