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2015年全国高中数学联赛新疆赛区预赛(高一)


中 等 数 学 

2 0 1 5年全国高中数学联赛新疆赛区预赛 ( 高一 )  
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编 号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 4— 0 0 3 0— 0 3  

填空题 ( 每小题 8 分, 共6 4 分)   1

. 2   0 1 4   叭   的个位数为




直的单位 向量. 令 

.  





, ,  

2 . 设 P为 函数_ 厂 (  )=  +   (  >0 ) 的图 

f 【 c d   c l   + c 2   ’   d1 a +d 2 b,  


①   一 

其 中, c   、 c   、 d   、 d  ∈ R . 若C 、 d也为相互垂直  像 上任意一点 , 过点 P分别 向  轴、 Y轴引垂  线, 垂足分别为  、 B . 则l   I +I   P B   I 的最小  值为一  
3 . 已知 / 2为正整数. 则 
l g   1 2、 l g   7 5 、 l g ( 2 /  一1 6 n+ 9 4 7 )  

的单位 向量 , 证明:  

( 1 ) c   + d   = c ; + d   = 1 , 且c   c 2 + d j   d   = 0 ;  

c 2   { :  : 兰 : 兰 . ,  
参 考 答 案 
— —

这三个数 能构成





个不 同的三角形.  


4 . 已知 O t 、   均为锐角 , 且 
( 1+ t a n   O / ) ( 1+ t a n   )= 2 .  

1 . 4.  

则O / +   =— 3 . 则  一 3 )=


.  


5 . 设- 厂 (  )=a x  +  

. 


+c x+1 0, 且. 厂 ( 3 )  

用g ( n ) 表示一 个 自然数 凡的个位数.   则g ( 2   0 1 4   仇   )  
= g ( ( 2 0 1×1 0+ 4 )   仇   )   = g ( 4   叭   )=g ( ( 4   ) ㈨ × 4 )   = g ( ( 1 0+6 ) ㈨ x   4 )= g ( 6   x   4 )   = g ( g ( 6 ㈣  ) g ( 4 ) )=g ( 6   x 4 )= 4 .  

6 . 设 集合 A={ 1 , 2 , …, 2   0 1 4 } . 现对 A   的任一 非空子集  , 令 a   表示  中最 大数 与  最小 数之和. 则所有这样 的 n  的算术 平均值 
为— — .  

从而 , 2   0 1 4   仇   的个位数为 4 .  
2. 4 .  

7 . 若实 数 戈 、 Y满 足 2   +3 x y+2   =1 ,  

则  + Y +   的最小值为一 一 .   8 . 一个正实数 , 其小数 部分 、 整数部分 和  其本 身成等 比数 列 , 则 该 正实 数 的小数 部分 
为— ~ .  

设P (  , Y ) . 依题 意知 
I   P4   I: I   yI=Y, I 船 I= I   I=  ,  

其中, Y=  +  (  > 0 ) .  

二、 解答题 ( 共5 6分 )  

i  ̄ I   P A   I + I 船I = y +   = 2  +   1 )  
> 2×2

.  

1 . ( 1 6 分) 已知数列 { a   } 满足 
Ⅱ   + l +( 一1 )   0  = 2 n—1 .  
.   :

4,  

求数列 { a   } 的前 4 n 项 的和 s   .   2 . ( 2 O分 ) 在△ A B C中 , 证明:  
^  

当且仅 当  =   时, 上式等号成立.  
因为  > 0, 所 以,   =l时 上述 不 等式 取 
等 号.  

s 。 1 n   A . s i n   B . s i n   c ≤ 半 ,  
并分析该 不等式何时取等号.  
3 . ( 2 0分 ) 设 a 、 b为 平面 上 两个 相互 垂 

因此 , 当且仅 当  : 1 时, l   I +l   P B   l 有  最小值4 .  

2 0 1 6年第 4期 
3 . 5 .  
一  

3 l  

‘  

由三角不等式得 
l g ( n   一1 6 n+ 9 4 7 )<l g   7 5+l g   1 2 ,   l g ( n   一1 6 n+ 9 4 7 )>l g   7 5—1 g   1 2 .   则  <n 2 —1 6 n+ 9 4 7< 9 0 0 .  
令 k =  + Y+ x y .  

由  + 3  + 2  = 1   2 ( x + y )  = 1 + x y   2 ( x+  )  = k一(  +  )+1   =  2 (  +Y )  +(  +Y )一( 1+k )= 0 .  

由 n为整数 , 知n   一 1 6 n + 9 4 7 也为整数.  
故7 ≤n  一1 6 n+ 9 4 7 <8  ̄ 9 9  
4≤ n≤ 1 2.  

将 上面方程视为关于  + Y的二次方程.   由  + Y 为实数知 

于是 ,  的取值 可以为 4 , 5 , …, 1 2 .   注意到 , 函数  n )=n  一1 6 n+ 9 4 7=( n一8 )  +8 8 3   的图像关 于 n = 8 对称.   故  4 ) =  1 2 ) ,   5 ) =  1 1 ) ,   6 )=  1 0 ) , 厂 ( 7 )=  9 ) .   从而,   n ) =   一 1 6 n + 9 4 7只能取 到五  个不 同的值.   因此 , l g   1 2 、 l g   7 5 、 l g ( n  一1 6 n+9 4 7 ) 这  三个数 能构成 5个不 同的三角形.  
4 .   .  

△ = 1 + 8 ( 1 + k ) > I 0  ≥ 一 詈 .   故   + Y +   的 最 小 值 为 一 詈 .  
8.   .  

设该正数的小数部分 为 a , 整数部分为 6 .  
由题设 知  a ( a+b )=b  =  a  + a b—b  = 0  
口 =—   6 .  

若b : 0 , 则 a= O , 矛盾.   从而, b > 0, a> 0 .  
故 。:   =1 .   6 .   .   .  

由 已知 得  t a n   +t a n   J E ; =1 一t a n   t a n卢  

t a n (  

=  

又 因为 口<1 , 所 以, 6 :1 , 口:   因此 , 该 正数 的小数部分为 .   二、 1 . 依题 意知 

因 为   、   ∈ ( 0 , 詈 ) , 所 以 ,   +   =   4 .  
5 .1 7 .  

注意 到 , 对任 意 的 , 有  - (  )+ / . ( 一  )= 2 0 .   故  一 3 )= 1 7 .  
6 . 2   01 5.  

当 n= 2 k 一 1 , 2   , 2  + 1 时, 分别有 

将集合  的非 空子 集进 行 配对. 对 每个  X={  l ,   2 , …,   } , 不妨设  1 <   2 < …<  .  
令X   ={ 2   0 1 5一   ∈X} .  

1 = 4 k 一 3 ,   a 2   + a 2   = 4 k 一 1 ,   a 2   + 2 一 a 2   + 1  4 k + 1 .   ②一 ①、 ②+ ③ 分别 得 
a2   一 02  


①  ②  ③ 

2   一 1+a 2   + l=2, 0 2  +0 2 矗 + 2=8k .  

则 

A , 且 

以上两式相加得 
a2  


l+0 2  +a 2   + 1+a 2   + 2:8 k+2 .  

口  =  l +  , a   , = 4   0 3 0一(  1 +  ) .  

若X #X   , 则a  + a  = 4   0 3 0 ;   若 X= X   , 则口   = 2   0 1 5 .   综上 , 所有 a  的算术平均值 为 2   0 1 5 .  

故J s  = ∑0  


∑(  一 1 + 0 2   +  + l + n 2 k + 2 ) .  

3 2  

中 等 数 学 

令b   a 2   一 1 + n 2   + n 2   + 1 + 口 2   + 2 . 贝 4  
S 4  =b 1+b 3+ … +b 2  


1-  

当 且 仅 当   A =  B =  c = 詈 时 , 上 式 等  
号成立.   3 . ( 1 ) 由题设 知 
a? a= l   a   I   = 1, b? b= I   b   I   =1 a? b=0 .  


又 因为 { b   一   } 是以 b  =1 0为 首 项 、 1 6   为公 差 的等差数列 , 所以,  
S 4  =8 2   十2 n .  

2 . 由题  设 知 0<   A、   B、   C<7 c , 且 
+   B+   C =兀 

于是 , 由方程组①得 

由积化和差公式得 
Y=s i n   A? s i n   B? s i n   C 
1  .  
n 

( d c 1   = : a 口 . c d ,  
和 J 【 _ c z  
d ,=b? d .  

② 

A [ C O S ( B— C ) 一C O S ( B+ C ) ]  

1  .  

设 0   、 0   分别 为 向  量 a与 c 、 a与 d的夹 

s1 n 

A [ c o s ( B— C ) 一 C O S ( 丌 一  ) ]  

角. 则 由方程组② 以及 向量 C 、 d相互垂直得 
『 C l=C O S   0 1 ,  

+C O S   A   i .   =  s i n   A [ e o s ( B—c )  

【 d 1 :C O S   0 2 ,  

固定 

.  

由于 s i n   A> 0 , 且c o s ( B—C ) ≤1 , 于是 ,   y ≤  s i n   A ( 1+ e 。 s   )=s i n   A- c o s 2   A  
2 s i n   A


其 中 ,   。 +   = 詈 , 莩 或  ~   I = 詈 .  
故c   +d   =C O S   0 } +C O S   0 2  
=c o s   0 l+s i n 2 0 l: 1 .  

3   a
. c0 s

类  似地, C ;   + d   : 1 .  
此外, 由方程组①得 
f c 2 C =C l C 2 a +c   ,  

2,  

其中, 等 号成立 当且仅 当 C O S ( B—C)=1 , 即 
B:   C.  

因 为 s i n 孚 > 0 , 且 c 。 s  > 0 , 所 以 ,  
2 s i n   A


【 d 2 d =   1 d 2 a + d ;   =   c 2 C + d 2 d = ( C l c 2 + d l  ) a + ( c ; + d   )  


3   A与  = 4 s i n   A? c 。 s 6 A ? c。s
2  

( C 1 C 2 + d 1 d 2 ) a+ b .  

再将 上式 两边平方得 

同时达 到最 大值.  
由于 s i n   > o , 1一s   . n 2   A> o


l = c ; + d ; = ( c l c 2 + d l d 2 )  + 1  
于是 ,  
C l C 2+d1 d 2:0 .  

( 2 ) 由方程组①得 
f c l C=c   口+c 1 c 2 b,  

z  
= 一

- s i n   ) 。  
2 7  

【 d l d=   口+ d l d 2 b ,  

4   2   A (  n  
4 /3\  

和 』 C 2 c = C 2 C l a + c z 2 6 ,  
【   2  =  d l a +   ;   .  
前一 组两 式相加得 


≤   【  



6 一 4 ,  
, 


其中, 等号成立 当且仅 当 3 s i n   =l  
即  A=   .  
j 

s 1 n 

,  

( c  + d   ) a+( c 1 c 2 +d l d 2 ) b=C 1 C+c f 1 d .   由c  +d   =1 , 且 C 1 c 2+ d l   d 2 = o, 知 
a =c 1   c+d1 d.  

故 Y=s i n   A? s i n   B? s i n   C ≤ 

3   0 3  
8   ‘  

类似地 , b=C 2 C+ d a d .   ( 曾世 威 提供 )  


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