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一道初赛题的解法探究


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课 外园地 ?  

数学通讯 —— 2 O 1 2年 第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

J  J  



道 初 赛 题 的解 法 探 究 
王   勇  
( 安 徽 省 淮 南 第 二 中学 ,2 3 2 0 3 8 )  

本文给出 2 0 1 1年 高 中数 学 联 赛 安 徽 赛 区初  赛第 1 1 题 的答案 剖析 , 同 时指 出这类 问 题 的一 般 
性解 法.  

≤ 1 , 所以(   。 一  ) 6 ≤1 , 所以6 ≤ — 
J L 0  

, 即6 小 
山 0  

题目   已知函数 , ( z )一 a x 。 +b x+ c ( a , b ,   c 都 是实数 ) , 当 0≤ z≤ 1 时, 0≤ , ( z ) ≤1 . 求b  
的最 大可 能值。  

于   - L n  L n   的 最 小 值 , 又 o < z 。 < 1 , 当 z 。 一 √ V   号 u  
时   山 0  ^ 0   取 得 最 小 值 学 0   , 从 而 6 ≤ 学.  
故 b的最 大可 能值 为  验证 可知 : , (  ) 一 
b的最大 可能值 为  .  

参 考答 案 :  

.   ( x- -x 3 ) 满足题设 , 故 

由 厂 ( o ) : = = c , , ( 1 ) 一口 + 6 + f , 厂 ( √ 言 ) =  
+  +c , 得2 b— 3 4 3   4 3   3  ̄ , 啊 , (   V /   } ) 一 , ( 1 ) 一 ( 3  


1 ) 厂 ( O )≤ 3 √ 3 .  

厂 ( z ) 一 挲( x - x  ̄ ) 满 足 题 设, 故 6 的 最 大 可  


从 以 上 解 法 可 以 看 出 z 。  √ 专的 选 取 是 唯  
的.  

能 值 为 挲.  
从本题 的答案 看 , 这种 解法 表 面 上思 路 清 晰 ,   表述 简洁 , 逻辑严谨, 无懈可击 ; 但 实 质 思 维 跳跃 

近 几年 这类 问题在 高 考 和竞 赛 中 出现 的频 率  还 是 比较高 的 , 如2 0 1 0年高 中数学 联赛 第 9 题: 已  
知 , (  ) 一 衄。 +b x。 +  +d ( a≠ O ) , 当0 ≤ X≤ 

1 时, l /( z )I ≤1 , 求 口的最大值.  
本题 表 面上 是 三次 函数 问 题 , 实则 是 二 次 函 

性 较 强 , 用 厂 ( 0 ) , , ( 1 ) , 厂 ( √ 专 ) 表 述 2 6 过 于 简 洁 、  
出现突然 、 不 符合 学 生 的认 知 规律 . , ( O ) , , ( 1 )两 

数与二 次 不等式 .   这类 问题 的解法 都可模 仿上 述解法 :  

个 表 达 式 是 自 然 的 , 但 表 达 式厂 ( √ 专 ) 从 答 案 看  
好 像是偶 然 的 、 随 意的或 可 调整 的 , 实 则 它是 唯一 

取定义域的两个端点值 0 , 1 , 第三个值是( o , 1 )   上的任意一个 X 0 ∈( o , 1 ) , 有 /( o ) :c , j F , ( 1 ) 一3 a   +2 6 +f , /( X o ) 一3 a x 5 +2 b x o +c , 消去 b 和c 得 
一  

的, 有的读者可能会认为 厂 ( o ) , , ( 1 ) ,  ( 去) 表述 b  
不 是更 简单 吗 , 实则 不 然 , 如若这 样 b是 达 不 到最  大的 , 这一点 读者 可 以试试 .  
  ,

J Z n 筹    1 一 Z n  
L   J— Z n,  
.  

. ,  

由已知得 : n≤ 五  Xn  
时  。一  1

, 所以, n≤ 了 8,这 

下 面 呈 现 另 一 种 解 法 并 论 述 厂 ( √ 专 ) 的 唯 一 性 ?  
另解  为了使 b 达 到最 大 , 我 们 取 定 义 域 的  两个 端点值 0 , I , 第 三个 值是 ( 0 , 1 )上 的任 意 一个  z o∈ ( O, 1 ) , 则有 , ( O )一 c , 厂 ( 1 )一 口+ 6+ c ,  
f ( x 0 )一 姗  + b x   0 +c , 消去 口 , c 得  ( z o —   ) 6一 f ( x 。 ) 一X   , ( 1 ) 一( 1 一z   ) , ( O ) ,  

而, ( z ) 一要   一4 x 。 +z +d 满足题设, 故n  
的最 大可 能值为  .  

又 f ( x o ) 一z i 厂 ( 1 ) 一( 1 一X 3 ) ,( O ) ≤ f ( x o )  

( 收 稿 日期 : 2 O l 1 —1 1 —2 o )  



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