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函数的概念教案


【课题】 3.1 函数的概念 授课人:石磊 【教学目标】
知识目标: (1) 通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型; (2) 理解函数的概念及其构成要素; (3) 理解函数值的概念及表示. 能力目标: (1) 通过函数概念的学习,培养学生的数学思维能力; (2) 通过函数值的学习,培养学生的计算能力.

班级:12 金融 2 班

时间:2012.10.25

【教学重点】
体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念.

【教学难点】
函数的概念及记号 y ? f ( x) 的理解.

【教学过程】
*复习旧知,为新课铺垫 问题 世界充满变化,函数无处不在,今天我们又开始接触函数了,你们 还记得初中学习过哪些函数吗?函数的定义又是什么? 归纳 一次函数、反比例函数及二次函数;定义:在一个变化过程中,有 两个变量 x 和 y ,如果对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值 与其相对应,那么我们就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. *创设情景 兴趣导入 我们在了解初中函数的概念之后,下面一起来看三个实例,分析其 中的变量,说明它们之间能否构成函数关系? (1)某水库的存水量 Q 与水深 h (指最深处的水深)如下表: 水深 h (米) 0 5 20
0

通过对初中 学过的函数模型 的回忆,帮助学 生回忆函数的 “变量说” ;此外 注意变量与选取 字母无关.

10 40

15 90

20 160

25 275

存水量 Q (万立方) 0

(2)设时间为 t ,温度为 T ( C ) ,自动测温仪测得杭州 10 月 21 日 从凌晨 0 点到白天 14 点的温度曲线如下图:

1

通过观察三 个实例,使学生 进一步认识函数 的实质:对一个 变量的每一个取 值,另一个变量 (3)今年中国海军在东海进行实弹演习,通过数据监测,一枚炮弹 发射后,炮弹距地面的高度 h (单位 m )随时间 t (单位 s )变化的规 律是 h ? 130t ? 5t .
2

都有唯一的值与 之对应.

归纳 判断两个变量的对应关系能否构成函数的标准是“对一个变量的每 一个取值,另一个变量都有唯一的值与之对应” ,而表现这种“对应”的 数学形式,除了大家熟悉的函数解析式外,还可以有列表法、图像法. 问题 在( 3 )中,请大家计算,当 t ? 30 s 时,所对应的 h 值是多少?
h ? ?600m ,而经过计算,得到炮弹从发射到落到海面爆炸只经历 26s .

从实例发现 已有的函数定义 没有明确指出自 变量的取值范 围,从而催生更 严密的函数定义.

归纳 由此看来,初中的函数定义,只强调了两个变量 x 和 y 的对应关系, 而没有明确给出自变量 x 的取值范围,所以我们说这个定义是不够严密 的,事实上,例(3)中的变量时间 t 的取值范围是[0,26],例 1、2 中 自变量也有取值范围,因此我们把初中函数的概念稍加修饰. *动脑思考 探索新知 D

对应法则f
y

x
概念

在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y, 设变量 x 的取值范围为数集 D,如果对于 D 内的每一个 x 值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确 定的值与它对应,那么,把 x 叫做自变量,把 y 叫做 x 的函数.

2

表示 将上述函数记作 y ? f ? x ? , x ? D ,其中数集 D 叫做函数的定义域. 当 x ? x0 时,在对应法则 f 的作用下,相对应的值 y0 叫做函数
y ? f ? x ? 在点 x0 处的函数值.记作 y0 ? f ? x0 ? .

充分讲解函 数变量和法则之 间的关系.

函数值的集合 ? y | y ? f ? x ? , x ? D? 叫做函数的值域. 实际上当去掉集合的外衣后,可发现两个概念的本质是一样的;高 中函数概念明确了自变量 x 的取值范围是数集 D ,明确了对应法则 f , 把 y ? f ? x ? 就叫做函数. *函数概念的初步应用 例 1 五名同学的数学竞赛的成绩如下: 序号 成绩 1 92 2 70 3 80 4 85 5 71 通过对例题 的辨析,加深学 生对高中函数概 念的理解,培养 学生运用概念思 考问题的能力, 特别是运用图像 来观察数集之间 的对应关系,对 学生来说,更是 全新的问题,但
x
O
A

(1)成绩能够看成序号的函数吗? (2)若序号 5 对应的同学缺考,没有分数,并且我们在成绩单上也 没有记录,还能看成函数吗? 例 2 下列图形中可以作为函数 f ( x ) 的图像的是( )
y
y y

y

x
O
B

x
O O

x
D

C

这是数形结合基 础,应该培养这

辨析回味概念 1、请大家提炼下概念中的关键词有哪些? 定义域 D ,对应法则 f ,值域,而定义域 D 和对应法则 f 确定后, 值域也就被确定了,所以确定函数只需确定定义域 D 和对应法则 f ,此 处定义域 D 、对应法则 f 和值域叫做函数的三要素. 2、用函数的其中两要素重新解释初中学过的函数. 函数 一次函数 y ? 2 x ? 1

方面能力.

鉴于函数定 义的重要和理解 的困难,本环节 分二个步骤来辨 析新概念,促进 学生理解新概念.

1 反比例函数 y ? x
(??,0) ? (0, ??)
1 ?

定义域 D 对应法则 f

R

2 ? (?) ? 1

3

*例题演示 例 3 已知函数 f ( x) ?

1 1 ,求 f (?2), f (0), f ( ) 和函数的定义域. 3x ? 1 2

例 3 是求函 数值和定义域, 这些都是基础而

1 1 解: f ( ?2) ? ? , f (0) ? ?1 , f ( ) ? 1 . 7 2
为使分式

1 1 需要掌握的. 有意义,必须 3x ? 1 ? 0 ,即 x ? ,所以原函数的 3x ? 1 3

1 1 1? ? 定义域为 ? x | x ? ? ,即 ( ??, ) ? ( , ??) . 3? 3 3 ?

*归纳小结 强化思想 1、本节课主要是函数的概念及其三要素,毫无疑问,函数是中学数 学最重要的概念之一,由于其重要性和难理解,因此对函数的概念再怎 么强调都不过份. 2、辨析概念的三个步骤及图形理解都是精华,对函数的理解非一日 之功,需要学生课后及将来学习中去慢慢体会. *继续探索 活动探究 (1)举出生活中两个函数的例子,并用函数的概念进行描述,并且写出它 们的定义域、对应法则和值域. (2)思考 f ( x) ? 1( x ? R) 是函数吗?若是,写出它的定义域、对应法则 和值域;若不是,请说明理由. (3)课后作业:习题 3.1 A 组第 1、2、3 题. 不难发现,用本 节课所学函数概 念来解释更方便. 通过此例,

4


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