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2013年高考数学总复习 3-2 利用导数研究函数的性质但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 3-2 利用导数研究函数的性质但因为 测试 新人教 B 版
1.(文)(2011· 宿州模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,f ′ (x)>1,则 f(x)>x 的解集是( A.(0,1) C.(1,+∞) [答案] C [解析] 令 F(x)=f(x)-x, F ′(x)=f ′(x)-1>0

, 则 所以 F(x)是增函数, ∵f(x)>x, ∴F(x)>0, ∵F(1)=f(1)-1=0,∴F(x)>F(1),∵F(x)是增函数,∴x>1,即 f(x)>x 的解集是(1,+∞). (理)(2011· 辽宁文, 11)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, ′(x)>2, f(x)>2x f 则 +4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) [答案] B [解析] 由题意,令 φ(x)=f(x)-2x-4,则 φ′(x)=f ′(x)-2>0. ∴φ(x)在 R 上是增函数. 又 φ(-1)=f(-1)-2× (-1)-4=0, ∴当 x>-1 时,φ(x)>φ(-1)=0, ∴f(x)-2x-4>0,∴f(x)>2x+4.故选 B. 2.(2010· 宁夏石嘴山一模)函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值,最小值分别是 ( ) A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A [解析] ∵y′=6x2-6x-12=0, x=-1(舍去)或 x=2, 得 故函数 y=f(x)=2x3-3x2-12x +5 在[0,3]上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值,而 f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最 大值为 5,最小值为-15,故选 A. 3.(文)已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值 分别为( ) 4 B.0, 27 D.0,- 4 27 B.5,-4 D.5,-16 ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) ) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

4 A. ,0 27 C.- 4 ,0 27

[答案] A [解析] f ′(x)=3x2-2px-q 由 f ′(1)=0,f(1)=0 得
? ?3-2p-q=0 ? ? ?1-p-q=0 ? ?p=2 解得? ,∴f(x)=x3-2x2+x ? ?q=-1

1 由 f ′(x)=3x2-4x+1=0 得 x= 或 x=1 3 1 4 易得当 x= 时 f(x)取极大值 3 27 当 x=1 时 f(x)取极小值 0. (理)设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=± 处均有极值,且 f(-1)=-1,则 a、b、c 的值 1 为( ) 1 3 A.a=- ,b=0,c=- 2 2 1 3 B.a= ,b=0,c=- 2 2 1 3 C.a=- ,b=0,c= 2 2 1 3 D.a= ,b=0,c= 2 2 [答案] C [解析] f ′(x)=3ax2+2bx+c,所以由题意得

? ?f ′?1=0, ? ?f ′?-1?=0. ?f?-1?=-1, ?

?3a+2b+c=0, ? 即?3a-2b+c=0, ?-a+b-c=-1, ?

1 3 解得 a=- ,b=0,c= . 2 2 4.(2011· 青岛模拟)已知函数 f(x)的导数为 f ′(x)=4x3-4x,且 f(x)的图象过点(0,-5), 当函数 f(x)取得极大值-5 时,x 的值应为( A.-1 C.1 [答案] B [解析] 由导函数与原函数的关系知,f(x)=x4-2x2+a(a 为常数), ∵f(0)=-5,∴a=-5,∴f(x)=x4-2x2-5, 令 f ′(x)=4x3-4x=0 得,x1=1,x2=0,x3=1, 当 x∈(-∞,-1)时,f ′(x)<0, 当 x∈(-1,0)时,f ′(x)>0, ) B.0 D.± 1

当 x∈(0,1)时,f ′(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f ′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)上和(1,+∞)上单调递增,故 f(x)在 x =0 处取得极大值 5,故选 B. 5.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由 y′<0, 得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k-1<-2<k +1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 6.(2011· 陕西咸阳模拟)已知函数 f(x) =ax2-1 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线
?1? 8x-y+2=0 平行,若数列?f?n?的前 n 项和为 Sn,则 S2010 的值 为( ? ? ?

)

2010 A. 2011 4020 C. 4021 [答案] D

1005 B. 2011 2010 D. 4021

[解析] ∵f ′(x)=2ax,∴f(x)在点 A 处的切线斜率为 f ′(1)=2a,由条件知 2a=8,∴a =4, ∴f(x)=4x2-1, 1 1 1 1 ∴ = 2 = · f?n? 4n -1 2n-1 2n+1 1 1 1 = ?2n-1-2n+1? 2? ? 1 1 1 1 1 ?1? 1 1 1 1 1 1 ∴数列?f?n?的前 n 项和 Sn= + +…+ = ?1-3?+ ?3-5?+…+ ?2n-1-2n+1? ? ? 2? ? f?1? f?2? f?n? 2? 2? ? ? ? 1 1 n 2010 = ?1-2n+1?= ,∴S2010= . 2? 4021 ? 2n+1 7.(文)(2011· 福州模拟)已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值为 3,那 么此函数在[-2,2]上的最小值为________. [答案] -37 [解析] f ′(x)=6x2-12x, f ′(x)=0 得 x=0 或 x=2, x<0 或 x>2 时, ′(x)>0, 0<x<2 由 当 f 当

时,f ′(x)<0, ∴f(x)在[-2,0]上单调增,在[0,2]上单调减, 由条件知 f(0)=m=3,∴f(2)=-5,f(-2)=-37, ∴最小值为-37. 1-x (理)(2011· 惠州三模)已知函数 f(x)= +lnx,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正 ax 实数 a 的取值范围为________. [答案] [1,+∞) 1-x ax-1 [解析] ∵f(x)= +lnx,∴f ′(x)= (a>0), ax ax2

ax-1 ∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴f ′(x)= ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴ax-1≥0 ax2 1 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1. x 8.(文)(2010· 浙江杭州冲刺卷)函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f ′(x)在(a,b)上的图象 如图,则 y=f(x)在区间(a,b)上极大值的个数为________.

[答案] 2 [解析] 由 f ′(x)在(a,b)上的图象可知 f ′(x)的值在(a,b)上,依次为+-+-+,∴f(x) 在(a,b)上的单调性依次为增、减、增、减、增,从而 f(x)在(a,b)上的极大值点有两个. [点评] 应注意题设中给的是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图象,在 f ′(x)的图象上,位于 x 轴 上方部分使 f ′(x)>0,f(x)单调增,位于 x 轴下方部分,使 f ′(x)<0,f(x)单调减,f(x)的极值点 是 f ′(x)的图象与 x 轴的交点,千万要注意,不要把 f ′(x)的单调性误以为是 f(x)的单调性.请 再练习下题:

(2011· 绵阳模拟)如图是函数 y=f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断. ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是________. [答案] ②③ [解析] 由函数 y=f(x)的导函数的图象可知: (1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确. (理)(2010· 绵阳市诊断)已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y -1=0 平行,则实数 a 的值为________. [答案] 1 1 [解析] ∵f ′(x)= -a, 1+x 1 ∴f ′(1)= -a. 2 1 1 由题知 -a=- , 2 2 解得 a=1. [点评] 函数 f(x)在点 x 处切线 l 的斜率为 f ′(x0), l 与 l1 平行(或垂直), f ′(x0)=kl1(或 若 则 f ′(x0)· 1=-1).请再练习下题: kl (2010· 广东实华梧州联考)已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 处的切线与曲线 y=1-x3 在 x=x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为________. 2 [答案] 0 或- 3 [解析] 由条件知,2x0=-3x2, 0 2 ∴x0= 0 或- . 3

9. P 为曲线 C: 设 y=x2-x+1 上一点, 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3], 则点 P 纵坐标的取值范围是________. 3 [答案] ?4,3? ? ? [解析] 设 P(a,a2-a+1),y′|x=a=2a-1∈[-1,3],∴0≤a≤2. 1 3 1 3 ∴a2-a+1=?a-2?2+ ,当 a= 时,取最小值 ,当 a=2 时,取最大值 3,故 P 点纵 ? ? 4 2 4 3 坐标范围是?4,3?. ? ? 2 10.(2011· 北京东城一模)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f ′( ). 3 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. (3)(理)设函数 g(x)=[f(x)-x3]·x,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值 e 范围. [解析] (1)由 f(x)=x3+ax2-x+c 得, f ′(x)=3x2+2ax-1. 2 2 2 2 4 1 当 x= 时,得 a=f ′( )=3× )2+2a× )-1= a+ ,解之得 a=-1. ( ( 3 3 3 3 3 3 (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 1 则 f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+ )(x-1),列表如下: 3 x f ′(x) f(x) 1 (-∞,- ) 3 + ? ↗ - 0 有极大值 1 3 1 (- ,1) 3 - ↘? 1 0 有极小值 (1,+∞) + ↗?

1 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,- )和(1,+∞); 3 1 f(x)的单调递减区间是(- ,1). 3 (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)·x=(-x2-x+c)·x, e e 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数在区间 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞).

1 11.若 a>2,则函数 f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有( 3 A.0 个零点 C.2 个零点 [答案] B B.1 个零点 D.3 个零点

)

[解析] f ′(x)=x2-2ax=x (x-2a)=0? x1=0,x2=2a>4.易知 f(x)在(0,2)上为减函数,且 11 1 f(0)=1>0,f(2)= -4a<0,由零点判定定理知,函数 f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好 3 3 有一个零点. 12.(2011· 南开区质检)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3 的极大值点 坐标为(b,c),则 ad 等于( A.2 C.-1 [答案] A [解析] ∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc, 又(b,c)为函数 y=3x-x3 的极大值点, ∴c=3b-b3,且 0=3-3b2,
? ? ?b=1 ?b=-1 ∴? 或? ,∴ad=2. ? ? ?c=2 ?c=-2

) B.1 D.-2

13. (文)(2011· 安庆质检)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, m、 若 n∈[- 1,1],则 f(m)+f ′(n)的最小值是________. [答案] -13 [解析] 求导得 f ′(x)=-3x 2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f ′(2)=0, 即-3× 4 +2a× 2=0,∴a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f ′(x)=-3x2+6x,易知 f(x)在(-1,0)上单 调递减,在(0,1)上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又∵f ′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称 轴为 x=1,∴当 n∈[-1,1] 时,f ′(n)min=f ′(-1)=-9.故 f(m)+f ′(n)的最小值为-13. (理)(2011· 山东潍坊一模)已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 x1、2, x1∈[- x 且 2,-1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取值范围是( 3 A.[- ,3] 2 C.[3,12] [答案] C ) 3 B.[ ,6] 2 3 D.[- ,12] 2

[解析]

?f ′?-2?≥0, ?f ′?-1?≤0, 由条件可得,? f ′?1?≤0, ?f ′?2?≥0, ?
作出其可行域,

?8b-c-12≤0, ?4b-c-3≤0, 即? 4b+c+3≤0, ?8b+c+12≥0, ?

易知目标函数 z=2b-c 的取值范围是[3,12]. 14.(文)设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函数 的极小值为-4.

(1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间. [解析] (1)函数的图象经过(0,0)点,∴c=0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点,y′=3x2+2ax+b, ∴b=0,∴y=x3+ax2,y′=3x2+2ax. 2 ∵当 x=- a 时,函数有极小值-4. 3 2a 2a ∴?- 3 ?3+a?- 3 ?2=-4,得 a=-3. ? ? ? ? (2)y′=3x2-6x<0,解得 0<x<2.∴递减区间是(0,2). (理)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(x))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [解析] (1)f ′(x)=3x2-3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,

?f ′?2=0, ?12-3a=0, ? ? ? 所以? 即? ? ? ?f?2?=8. ?8-6a+b=8.

解得 a=4,b=24. (2)f ′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f ′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f ′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 故 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 1 1 15.(文)设函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y)处的切线的斜 3 2 率记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. [解析] (1)根据 导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x2+ax-b,由已知-2,4 是方程 x2+ax
?-2+4=-a ? -b=0 的两个实根,由韦达定理? , ? 4=-b ?-2× ? ?a=-2 ∴? ,f(x)=x2-2x-8. ? ?b=8

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,所以在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x)=x2+ax -b≤0, 即 f(x)=x2+ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立
?a+b≥1 ?a+b≥1 ?f?-1?≤0 ? ? ? 这只需满足? 即可,也即? ,而 a2+b2 可视为平面区域? 内的 ? ? ? ?f?3?≤0 ?b-3a≥9 ?b-3a≥9 ? ?a=-2 点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近.所以当? 时,a2+b2 有最小值 ? ?b=3

13. (理)(2011· 天津文,19)已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. (2)当 t≠0,求 f(x)的单调区间. (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. [解析] (1)当 t=1 时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f ′(x)=12x2+6x-6,f ′(0)=-6, 所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x.

t (2)解:f ′(x)=12x2 +6tx-6t2,令 f ′(x)=0,解得 x=-t 或 x= ,因为 t≠0,以下分两种 2 情况讨论: t ①若 t<0,则 <-t,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2

x f ′(x) f(x)

?-∞, t ? 2? ?
+ ↗?

? t ,-t? ?2 ?
- ? ↘

(-t,+∞) + ? ↗

t t 所以,f(x)的单调递增区间是?-∞,2?,(-t,+∞);f(x)的单调递减区间是?2,-t?. ? ? ? ? t ②若 t>0,则-t< ,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f ′(x) f(x) (-∞,-t) + ? ↗

?-t, t ? 2? ?
- ? ↘

? t ,+∞? ?2 ?
+ ? ↗

t t 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),?2,+∞?:f(x)的单调递减区间是?-t,2?, ? ? ? ? t t (3)证明:由(2)可知,当 t>0 时,f(x)在?0,2?内单调递减,在?2,+∞?内单调递增,以 ? ? ? ? 下分两种情况讨论: t ①当 ≥1,即 t≥2 时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 2 f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6× 4+4× 2+3<0.所以对任意 t∈[2,+∞),f(x)在区 间(0,1)内均存在零点. t t t ②当 0< <1,即 0<t<2 时,f(x)在?0,2?内单调递减,在?2,1?内单调递增, ? ? ? ? 2 t 7 7 若 t∈(0,1],f?2?=- t3+t-1≤- t3<0, ? ? 4 4 f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0, t 所以 f(x)在?2,1?内存在零点. ? ? t 7 7 若 t∈(1,2),f?2?=- t3+(t-1)<- t3+1<0, ? ? 4 4 f(0)=t-1>0, t 所以 f(x)在?0,2?内存在零点. ? ? 所以,对任意 t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点,

综上,对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

1.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的 是( )

[答案] C [分析] 由导函数 f ′(x)的图象位于 x 轴上方(下方), 确定 f(x)的单调性, 对比 f(x)的图象, 用排除法求解. [解析] 由 f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f ′(x)<0, f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数. 只有 C 符合题意,故选 C. 2.设曲线 y=x2+1 上任一点(x,y)处 的切线的斜率为 g(x),则函数 y=g(x)cosx 的部分 图象可以为( )

[答案] A [解析] g(x)=(x2+1)′=2x, ∴y=g(x)· cosx=2xcosx, 显然 y=2xcosx 为奇函数, 排除 B、 D,且在原点右侧附近,函数值大于零.排除 C. 3.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f ′(x)的图象可能 为图中的( )

[答案] D [解析] 当 y=f(x)为增函数时,y=f ′(x)>0,当 y=f(x)为减函数时,y=f ′(x)<0,可判断 D 成立. 4.(2011· 浙江文,10)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的

一个极值点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是(

)

[答案] D [解析] 设 g(x)=f(x)ex,则 g(x)=(ax2+bx+c)ex, ∴g′(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b+c],由已知 g′(-1)=0,∴a-b -2a+b+c=0,∴a=c. ∴f(x)=ax2+bx+c 可化为 f(x)=ax2+bx+a, ∴f(x)=0 若有根时,两根之积为 1. 而 D 中两根 x1<-1,x2<-1,x1x2>1.所以 D 图一定不成立.故选 D. 5.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ′(x)+f(x)≤0.对任意正数 a、b, 若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) [答案] A [解析] ∵xf ′(x)+f(x)≤0,又 f(x)≥0, ∴xf ′(x)≤-f(x)≤0. x·′?x?-f?x? f f?x? 设 y= ,则 y′= ≤0, x x2 f?x? 故 y= 为减函数或为常数函数. x f?a? f?b? 又 a<b,∴ ≥ , a b ∵a、b>0,∴a· b)≤b· f( f(a). [点评] 观察条件式 xf ′(x)+f(x)≤0 的特点,可见不等式左边是函数 y=xf(x)的导函数, f?x? 故可构造函数 y=xf(x)或 y= 通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论, 请再练 x 习下题: 已知 a, 是实数, e<a<b, b 且 其中 e 是自然对数的底数, ab 与 ba 的大小关系是( 则 A.ab>ba B.ab<ba C.ab=ba D.ab 与 ba 的大小关系不确定 ) ) B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

[答案] A 1-lnx lnx [解析] 令 f(x)= ,则 f ′(x)= 2 .当 x>e 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上单调递减. x x lna lnb ∵e<a<b,∴f(a)>f(b),即 > , a b ∴blna>alnb,∴lnab>lnba,∴ab>b a. 1 6.(2011· 安徽池州一中期末)已知函数 y=- x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调 3 减函数,则 b 的取值范围是________. [答案] b<-1 或 b>3 [解析] y′=-x2+2bx-(2b+3),要使原函数在 R 上单调递减,应有 y′≤0 恒成立, ∴Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0, ∴-1≤b≤3, 故使该函数在 R 上不是单调减函数 的 b 的取值范围是 b<-1 或 b>3. 7. (2011· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. [答案] [-2,-1] [解析] 由题意知,点(-1,2)在函数 f(x)的图象上,故-m+n=2① 又 f ′(x)=3mx2+2nx,由条件知 f ′(-1)=-3, 故 3m-2n=-3② 联立①②解得:m=1,n=3,即 f(x)=x3+3x2, 令 f ′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0, 则[t,t+1]? [-2,0],故 t≥-2 且 t+1≤0, 所以 t∈[-2,-1]. [点评] f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,故[t,t+1]是 f(x)的减区间的子集. 8.(2010· 厦门三中阶段测试)已知 f(x)=lnx+x2-bx. (1)若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)当 b=-1 时,设 g(x)=f(x)-2x2,求证函数 g(x)只有一个零点. [解析] (1)∵f(x)在(0,+∞)上递增, 1 ∴f ′(x)= +2x-b≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 即 b≤ +2x 对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 ∴只需 b≤? x+2x?min, ? ? 1 2 ∵x>0,∴ +2x≥2 2,当且仅当 x= 时取“=”, x 2

∴b≤2 2,∴b 的取值范围为(-∞,2 2]. (2)当 b=-1 时,g(x)=f(x)-2x2=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞), 1 ∴g′(x)= -2x+1 x 2x2-x-1 ?x-1??2x+1? =- =- , x x ?2x+1?x-1? ? 令 g′(x)=0,即- =0, x ∵x>0,∴x=1, 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, ∴函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴当 x≠1 时,g(x)<g(1),而 g(1)=0,∴g(x)<0, ∴函数 g(x)只有一个零点.


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