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高中数学必修四三角函数练习题 高考三角函数复习典例详细分析


高中必修四 三角函数练习题
一、选择题 1、函数 A、x=0 的图象的一条对称轴的方程是( B、 )

C、x=π D、x=2π 考点:正弦函数的对称性。 专题:计算题。 分析:直接利用正弦函数的对称轴方程,求出函数 解答:解:y=sinx 的对称轴方程为:x=kπ , ,所以函数 的图象的一条对称轴的方程,即可. 的图象的对称轴的方程是:x=2kπ

+π,k∈Z,

显然 C 正确, 故选 C 点评:本题是基础题,考查三角函数的对称性,对称轴方程的求法,考查计算能力,推理能力,是送分题. 2、要得到函数 A、向左平行移动 C、向左平行移动 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象 B、向右平行移动 D、向右平行移动 ( )

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题:常规题型。 分析:假设将函数 y=sin2x 的图象平移 ρ 个单位得到,根据平移后 解答:解:假设将函数 y=sin2x 的图象平移 ρ 个单位得到 y=sin2(x+ρ)=sin(2x+2ρ)= ∴ρ=﹣ ∴应向右平移 个单位 ,求出 ρ 进而得到答案.

故选 D. 点评:本题主要考查三角函数的平移.属基础题. 3、把函数 A、 C、y=sin2x D、 的图象向左平移 B、 ,所得图象的函数式为( )

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题:计算题。 分析:根据左加右减的原则进行平移即可得到答案.
1

解答:解:

y=sin[2(x+

)+

]=sin(2x+



故选 D. 点评:本题主要考查三角函数的平移.属基础题. 4、函数 f(x)=5sin(2x+θ)的图象关于 y 轴对称的充要条件是( A、 C、 B、θ=2kπ+π D、θ=2kπ+π (k∈z)



考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题:计算题。 分析:根据函数 f(x)=5sinx(2x+θ)的图象关于 y 轴对称得到函数 f(x)为偶函数,进而得到 f(﹣x)=f(x) , 然后代入用两角和与差的正弦公式展开整理并根据三角函数的性质得到答案. 解答:解:若函数 f(x)=5sinx(2x+θ)的图象关于 y 轴对称,得到 5sin(2x+θ)=5sin(﹣2x+θ) ∴sin2xcosθ+cos2xsinθ=sinθcos2x﹣cosθsin2x ∴cosθsin2x=0∴cosθ=0∴θ= 故选 C. 点评:本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣奇偶性、两角和与差的正弦公式.三角函数部分公式比较多,要强化 记忆. 5、如图曲线对应的函数是( )

A、y=|sinx| B、y=sin|x| C、y=﹣sin|x| D、y=﹣|sinx| 考点:函数的图象与图象变化。 专题:数形结合。 分析:应用排除法解决本题,先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样,可排除一些选项,再从左侧观察又可排除 一些,从而可选出答案. 解答:解:观察图象知: 在 y 轴的右侧,它的图象与函数 y=﹣sinx 相同,排除 A、B; 又在 y 轴的左侧,它的图象与函数 y=sinx 相同,排除 D; 故选 C. 点评:本题主要考查了三角函数函数的图象与图象变化,同学们对于常用的正弦函数的图象要切实掌握. 6、在同一坐标系中,曲线 y=sinx 与 y=cosx 的图象的交点是( ) A、 B、 D、 (kπ,0)k∈z

C、

考点:余弦函数的图象;正弦函数的图象。 专题:数形结合。 分析:先在同一坐标系中,画出曲线 y=sinx 与 y=cosx 的图象,观察图象发现其规律即可. 解答:解:在同一坐标系中, 画出曲线 y=sinx 与 y=cosx 的图象,
2

观察图形可知选项 B 正确, 故选 B.

点评:本题主要考查了余弦函数的图象与正弦函数的图象,图象是研究函数性质的重要手段,属于基础题. 7、方程 sinx=lgx 实根个数为( ) A、一个 B、二个 C、三个 D、无数个 考点:根的存在性及根的个数判断。 专题:数形结合。 分析:先把方程 sinx=lgx 实根个数转化为函数 y=sinx 与函数 y=lgx 的图象交点个数.画出图象,由图象即可得出结 论. 解答:解:因为方程 sinx=lgx 实根个数, 就是函数 y=sinx 与函数 y=lgx 的图象交点个数. 因为 sinx≤1,且 x=10 时,y=lgx=1. x>10 时,y=lgx>1.

如图得:交点有 3 个. 故选 C. 点评:本题主要考查根的个数问题以及数形结合思想和转化思想的应用.在求解根的个数问题时,一般直接解方程 不好解的话,常借助于图象解题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 8、设函数 f(x)=A+Bsinx,若 B<0 时,f(x)的最大值是 ,最小值是﹣ ,则 A= 考点:正弦函数的定义域和值域。 专题:计算题。 分析:根据 A﹣B= ,A+B=﹣ ,可得答案. ,B= ﹣1 .

解答:解:根据题意,由

∴A= ,B=﹣1

故答案为: ,﹣1 点评:本题主要考查正弦函数的最值问题.属基础题. 9、函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在[0,2π]上交点个数是 3 . 考点:正切函数的图象;正弦函数的图象。 专题:计算题。
3

分析:利用 x∈[0, 个数.

) ,sinx<x<tanx,结合函数的周期,即可得到函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在[0,2π]上交点

解答:解:因为 x∈(0, 上有一个交点,在(

) ,sinx<x<tanx,x=0 时 sinx=tanx=0,所以函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在[0, )有一个交点,在( ]有一个交点,



所以函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在[0,2π]上交点个数是:3

故答案为:3 点评:本题是基础题,考查函数图象的交点的个数,考查绘图能力,基本知识的掌握情况. 10、 (1)要得到 (2)y=sinx﹣cosx 的图象,可由 y=sinx+cosx 的图象向右平移 的图象向 向左 平移 得到. ;

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题:计算题。 分析: (1)利用图象平移,化简,直接求出平移结果. (2)化简 y=sinx﹣cosx 的图象,可由 y=sinx+cosx,为一个角的一个三角函数的形式,然后平移即可. 解答:解: (1)要得到 =cos2x (2)y=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ) ,y=sinx+cosx= 的图象向左平移 ,可得 y=sin(2x+ )

所以 y=sinx+cosx 向右平移 故答案为: (1)向左,

,即可得到 y=sinx﹣cosx 的图象. , (2) .

点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查逻辑思维能力,是基础题. 11、函数 考点:正弦函数的对称性。 专题:计算题。 分析:求出函数 的对称轴的方程,选择适当的 k 的值,即可求出与 y 轴最近的对称轴方程. 与 y 轴距离最近的对称轴是 x= .

解答:解:正弦函数对称轴是使得函数取得最小和最大值的点的 x 的值, 所以 2x+ x= = +2kπ 或 2x+ +kπ k∈Z =﹣ +2kπ k∈Z

+kπ 或 x=﹣

所以与 y 轴最近的对称轴为:x=

4

故答案为:x= 点评:本题是基础题,借助正弦函数的对称轴方程,求出函数 考题. 12、设函数 y=f(x)sinx 的图象为 C1,将 C1 向右平移 个单位,可得曲线 C2,若曲线 C2 与函数 y=cos2x 的图象 对称轴方程,考查计算能力,常

关于 x 轴对称,那么 f(x)可以是 f(x)=2cosx . 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题:计算题;方程思想;综合法。 分析:由题意曲线 C2 与函数 y=cos2x 的图象关于 x 轴对称,先求曲线 C2 的方程,再用函数 y=f(x)sinx 的图象为 C1,将 C1 向右平移 个单位,可得曲线 C2,求出 C2 的方程,两者相同,化简可求 f(x)

解答:解:曲线 C2 与函数 y=cos2x 的图象关于 x 轴对称,所以曲线 C2 的方程为:y=﹣cos2x; 函数 y=f(x)sinx 的图象为 C1,将 C1 向右平移 所以 C2 的方程又可以表示为:y=f(x 所以 f(x 化简得 f(x )sin(x )=2sin(x+ )=﹣cos2x ) 个单位,可得曲线 C2, )

)sin(x

所以:f(x)=2cosx 故答案为:f(x)=2cosx 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,二倍角的余弦,两角和与差的三角函数,考查学生计算能力, 是中档题. 三、解答题(共 11 小题,满分 0 分) 13、作出下列函数的图象 (1) (2) ; .

考点:五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象。 专题:作图题。 分析: (1)利用五点作图法作图; (2)先化简函数的解析式,再利用三角函数的五点作图法. 解答:解: (1)

5

(2)

=



点评:本题主要考查三角函数的五点作图法的作图能力以及三角函数的化简计算能力. 14、作出下列函数的图象 (1)y=sinx|cosx|+cosx|sinx|; (2) .

考点:五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象。 专题:作图题。 分析: 易求得函数的周期为 2π, (1) 函数中含有绝对值, 故可去绝对值, x∈ 分 四段去绝对值,转化为简单函数作图即可. (2)1+cos2x=2cos x,由 cosx 的符号分段讨论,转化为与 tanx 有关的函数,画出图象即可. 解答:解: (1)易求得函数的周期为 2π,可作出函数在[0,2π]上的图象,再两边平移 2kπ 个单位即可.
2







y=sinx|cosx|+cosx|sinx|=

如图:

(2)

=

6

如图所示: 点评:本题考查三角函数的化简、三角函数作图,考查作图能力. 15、作出下列函数的图象 (1) ;

(2)y=|tan|x||. 考点:正弦函数的图象;正切函数的图象。 专题:作图题。 分析: (1)对函数分别去掉绝对值符号,在使得 sinx 为正、负、0 的 x 的区间上进行讨论,然后画出图象即可. (2)y=|tan|x||.考虑函数中的绝对值,结合正切函数的性质,考查 y=tanx 的符号,分区间解答,然后画图象. 解答:解: (1) ;

当 x∈(2kπ,2kπ+π) ,k∈Z,y=1, 当 x∈(2kπ﹣π,2kπ) ,k∈Z,y=﹣1, 当 x=kπ 时 函数无意义,其图象为 (2)y=|tan|x||. 当 x∈[kπ,kπ+ 当 x∈(kπ﹣ )时,y=tanx, ,kπ)时,y=﹣tanx,

图象为:

7

点评:本题考查三角函数的图象,注意函数的定义域,分段函数的图象,是基础题. 16、f(cosx﹣1)=cos x. (1)求 f(x)的定义域; (2)作出函数 f(x)的图象. 考点:函数的定义域及其求法;二次函数的图象。 专题:计算题;作图题。 分析: (1)根据 cosx 的范围,求出 cosx﹣1 的范围,从而求 f(x)的定义域; (2)先求函数 f(x)的表达式,作出函数 f(x)的图象. 解答:解: (1)因为 cosx∈[﹣1,1],所以 cosx﹣1∈[﹣2,0],所以 f(x)的定义域:[﹣2,0] (2)因为 f(cosx﹣1)=cos x. 2 所以 f(cosx﹣1)=(cosx﹣1) +2(cosx﹣1)+1. 2 所以 f(x)=x +2x+1 x∈[﹣2,0],函数图象如图:
2 2

点评:本题考查函数的定义域及其求法,二次函数的图象,考查分析问题解决问题的能力,作图能力,是基础题. 17、由图写出 y=Asin(ωx+φ)的解析式,其中﹣π≤φ≤π.A>0,ω>0.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式。 分析:先从图中得到 A 和 T 的值,然后根据周期的求法算出 ω 的值,最后根据特殊值确定 φ 得到解析式. 解答:解:由图可知 A= ,T=π,∴ω= 又因为当 x= 时 y=0 代入可得: sin(2× =2 +φ)=0∴ φ=π+2kπ∴φ=

∵﹣π≤φ≤π∴φ=

8

∴解析式为:y= sin(2x+



点评:本题主要考查根据三角函数的图象求三角函数解析式的问题.属基础题. 18、求函数 f(x)=cos3x 的周期. 考点:三角函数的周期性及其求法;函数的图象。 分析: 设出函数的周期为 T, 根据周期的定义有 f (x) (x+T) =f 得, 3x+2π=3 (x+T) 同三角函数的 f , (x) =cos3x=cos (3x+2π)比较,得到 T 的值. 解答:解:设周期为 T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π) , f(x+T)=cos3(x+T) 由 f(x)=f(x+T)得,3x+2π=3(x+T) , 解得 T= ∴函数 f(x)=cos3x 的周期 .

点评:本题是一个三角函数的定义问题,是一个利用诱导公式来解的问题,是一个概念问题,解题时紧抓住定义, 本题可以作为解答题的一问出现.本题也可以画图象来解. 19、若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0,在[﹣π,π]上有 4 个解,求 a 的取值范围. 考点:根的存在性及根的个数判断。 专题:数形结合;转化思想。 分析:将 a 分离出来,得到 a=|sinx|+cos|x|,若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0,在[﹣π,π]上有 4 个解, 即函数 y=a 和 y=|sinx|+cos|x|,x∈[﹣π,π]有 4 个交点即可.故问题转化为研究 y=|sinx|+cos|x|,x∈[﹣π,π]的图象 问题.因为函数中含有绝对值,故可分段讨论. 解答:解:|sinx|+cos|x|﹣a=0,在[﹣π,π]上有 4 个解 ? a=|sinx|+cos|x|,x∈[﹣π,π]有 4 个交点

令 y=|sinx|+cos|x|,x∈[﹣π,π]=

=

图象如图所示: 故 a 的取值范围是:1<a< 点评:本题考查方程根的个数问题,方程根的个数问题,往往转化为函数图象交点的个数问题.考查转化思想和数 形结合思想. 20、用五点法作函数 的图象.并说明怎样由 y=sinx 图象变化得到这个图象.

考点:五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题:作图题。 分析:先根据五点作图法令 取 0, ,π, ,2π,求出 x,y 的值列出表格,然后依据表格作出图象;

先根据左加右减的原则进行左右平移,然后将横坐标变为原来的 2 倍,将纵坐标变为原来的 3 倍,最后根据上加下 减的原则进行上下平移.
9

解答:解:用五点法列表如下 0 x sin( ) 0 1 0﹣1 0 π 2π

y﹣1 2﹣1﹣4﹣1 从而得到图象如下

y=sinx

y=sin(x﹣ y=3sin(

) )

y=sin( y=3sin( )﹣1



点评:本题主要考查三角函数的图象和平移变换.三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键. 21、 (1)作出函数 (2)作出函数 考点:三角函数中的恒等变换应用。 分析:先将函数解析式化简再作图. 解答:解: (1)∵sin2x=2sinxcosx ∴当 cosx>0 时,即 当 cosx<0 时,即 时,y= 时,y= 在两个周期的图象; 的图象.

(2)∵y=sinx ∴当 x

=sinx 时,y=1+cosx+cosx=1+2cosx

10

当x 当x 当x

时,y=1+cosx﹣cosx=1 时,y=﹣1﹣cosx﹣cosx=﹣1﹣2cosx 时,y=﹣1﹣cosx+cosx=﹣1

点评:主要考查三角函数的图象.注意化简三角函数时注意分母不能是 0. 22、已知正弦曲线, ,由这个最高点到相邻的最低点曲线与 x 轴交于点(6,0)试求这条曲线的解析式(A>0,ω>0,0<φ<2π) . 考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式。 分析:首先由曲线 y=Asin(ωx+φ)的最高点求 A,再由最高点与相邻的平衡点求最小正周期 T,进一步求得 ω,最 后通过特殊点求 φ,则问题解决. 解答:解:由曲线 y=Asin(ωx+φ)的一个最高点是(2, ) ,得 A= , 又最高点(2, )到相邻的最低点间,曲线与 x 轴交于点(6,0) , 则 =6﹣2=4,即 T=16,所以 ω= 此时 y= sin( x+φ) , , . = .

将 x=2,y=

代入得 φ=

所以这条曲线的解析式为

点评:本题主要考查由曲线 y=Asin(ωx+φ)的部分信息求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的方法. 23、求方程 8sinx=x 的实根的个数. 考点:函数的图象;正弦函数的图象。 专题:数形结合。 分析:将 8sinx=x 化简成 sinx= 可. 解答:解:∵8sinx=x∴sinx= 画出函数 y=sinx 与函数 y= 可得实根的个数为 7 个. 的图象 ,方程根的问题转化成函数 y=sinx 与函数 y= 的图象的交点问题,观察图象即

11

点评:本题主要考查了超越方程的根的问题,往往转化成两个函数图象的交点问题,属于基础题.

12


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