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2010届中考数学创新性开放型问题1


初中数学专题讲座
创新型、开放型问题

例1:某种细菌在培养过程中,细菌每 半小时分裂一次(由一个分裂为两 个),经过两小时,这种细菌由一个 可分裂繁殖成( )
A :8个 B:16个 C:4个 D:32个

例1:某种细菌在培养过程中,细菌每 半小时分裂一次(由一个分裂为两 个),经过两小时,这种细菌由一个 可分裂

繁殖成( B )
A :8个 B:16个 C:4个
分裂 0 次数 细菌 1=20 个数 1 2=21 2 4=22 3 8=23

D:32个
4 16=24

例2:如图,已知△ABC,P为AB上一点, 连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添 加条件_________(只需写一种合适的 条件)。 ∠1=∠B

∠2=∠ACB
AC2=AP· AB

启示:若Q是AC上一点,连结PQ, △APQ与△ABC相似的条件应是什么?

例3:先根据条件要求编写应用题,再 解答你所编写的应用题。 编写要求: (1):编写一道行程问题的应用题, 使得根据其题意列出的方程为
120 x ? 120 x ? 10 ?1

(2)所编写应用题完整,题意清楚。 联系生活实际且其解符合实际。

分析:题目中要求编“行程问题”故应 联想到行程问题中三个量的关系(即路程, 速度,时间) 路程=速度×时间或时间=路程÷速度、速度 =路程÷ 时间 因所给方程为 120 120
? x x ? 10 ?1

那么上述关系式应该用:时间=路程÷ 速度 故路程=120 方程的含义可理解为以两种 不同的速度行走120的路程,时间差1。

所编方程为:A,B两地相距120千米,甲乙 两汽车同时从A地出发去B地,甲 比乙每小 时多走10千米,因而比乙早到达1小时求甲 乙两汽车的速度? 解:设乙的速度为x千米/时,根据题意得方 程:
120 x ? 120 x ? 10 ?1

解之得:x=30 经检验x=30是方程的根 这时x+10=40 答:甲 乙两车的速度分别为40千米/时,30 千米/时

例4 已知关于x的一元二次方程 x2+2x+2-m=0 (1)若方程有两个不相等的实数根, 求实数m的取值范围? (2)请你利用(1)所得的结论,任 取m的一个数值代入方程,并用配方法 求出方程的两个实数根?

分析:一元二次方程根与判别式的关系

△>0 方程有两个不相等的 实数根,于是有:22-4(2-m)>0,解之 得m的取值范围;(2)中要求m任取一 个值,故同学们可在m允许的范围内 取一个即可,但尽量取的m的值使解 方程容易些。而且解方程要求用配方 法,这就更体现了m取值的重要性, 否则配方法较为困难。

解(1)∵方程有两个不相等的实数根
∴△>0,即4-4(2-m)>0

∴ m>1
(2)不妨取 m=2代入方程中得: x2+2x=0

配方得: x2 +2x+12=12

即(x+1)2=1

∴x+1=±1 解之得:x1=0 x2=﹣2

例5 在一服装厂里有大量形状为等腰 直角三角形的边角布料(如图)现找 出其中一种,测得∠C=90°,AC=BC=4, 今要从这种三角形中剪出一种扇形, 做成不同形状的玩具,使扇形的边缘 半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的 弧与△ ABC的其他边相切,请设计出 所有可能符合题意的方案示意图,并 求出扇形的半径(只要画出图形,并 直接写出扇形半径)。 C
A B

分析:扇形要求弧线与三角形的边相切,半径都在三角 形边上

相切的情况有两种(1)与其中一边相切(直角边相切、 斜边相切) (2)与其中两边相切(两直角边相切、一直角边和一 斜边相切) 并且尽量能使用边角料(即找最大的扇形) (1)与一直角边相切可如图所示

(2)与一斜边相切如图所示
(3)与两直角边相切如图所示

(4)与一直角边和一斜边相切如图所示

解:可以设计如下图四种方案:

r1=4

r2=2

2

r3=2

r4=4

2 -4

例6:一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为 1.6米,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结 合处,绳 子自然下垂呈抛物线状. (1)一身高0.7米的小孩子站在离立柱0.4 米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到 地面的距离;
(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后, 中间系一块长为0.4米的木板,除掉系木板用 去的绳子后,两边的绳子正好各为2米,木板 与地面平行,求这时木板到地面的距离(供选 用数据: 4.36 ? 2.1 3.36 ? 1.8 3.64 ? 1.9 )

分析:由于绳子是抛 物线型,故求绳子最 低点到地面的距离就 是求抛物线的最小值 问题,因而必须知抛 物线的解析式,由于 抛物线的对称轴是 y轴,故可设解析式为:y=ax2+c的形式, 而此人所站位置的坐标为(﹣0.4,0.7), 绳子系的坐标为(0.8,2.2),将其代入 解析式得a,c

分析:求EF离地 面的距离,实际 上是求PO的长度, 也就是求GH的长 度,而GH=BH— BG,BG正好在 Rt△BFG中,可 根据勾股定理求 出。

解:如图,根据建立的直角坐标系,
设二次函数解析式为y=ax2+c,

∵C(-0.4,0.7)B(0.8,2.2)
25 ? ?0.16a ? c ? 0.7 ?a ? ?? ?? 8 ?0.64a ? c ? 2.2 ?c ? 0.2 ?

∴绳子最低点到地面距离为0.2米. (2)作FG⊥BH,交BH于G, FG=(AB-EF)/2 =(1.6-0.4)/2=0.6 在Rt△BFG中,

∴绳子最低点到地面距离为0.2米. (2)作FG⊥BH,交BH于G, FG=(AB-EF)/2 =(1.6-0.4)/2=0.6 在Rt△BFG中,
BG ? BF ? FG ?
2 2

2 ? 0.6 ?
2 2

3.64 ? 1.9

∴ 2.2-1.9=0.3(米) 故木板到地面的距离约为0.3 米.


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