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利用函数性质判定方程解的存在


利用函数性质判定 方程解的存在

复习回顾 我们在初中学过利用判别式判断一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况,一般说 来有三种情况: △>0 有两个不等的实数根 △=0 有两个相等的实根 △<0 无实根

你能说出3x=x2解的情况吗?

例1 判断方程x2-x-6=0解的存在. 解

考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线 f(0)<0, y f(-4)=14 A 14 f(4)>0, f(4)=6 f(-4)>0 图像为连续曲线 C 6 f(x1)=0 x2 x1 f(x2)=0 -4 4 O x 方程x2-x-6=0(-4,0)、 f(0)=-6 B -6 (0,4)内各有一解

函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称 为这个函数的零点.

如果函数y=f(x)在实数a处的函数值 等于零,即f(a)=0,则称a为这个函数的 零点.
方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x) 的零点 零点个数就决定了相应方程实数解 的个数.

函数零点存在性的判定方法
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是 连续曲线,并且在区间端点处的函数 值符号相反(f(a)· f(b)<0)则在区间(a,b) 内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相 应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实 数解。

该判定方法只是指出了方程实数解的 存在,但不能判断具体有多少个实数解.
y

f(a)>0
x1 x2 x3

O

xf(b)<0

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是 连续的,且在(a,b)上有零点,但不一 定满足f(a) · f(b)<0
y

f(a)>0

f(b)>0

x1

O

x

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是 连续的,且f(a)· f(b)>0,则f(x)在(a,b) 内也可能存在零点。
y

f(a)>0

f(b)>0

x1

x2

O

x

例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区 间[-1,0]内有没有实数解?为什么?
2 解 因为f(-1)=3-1-(-1)2= ? <0 3

f(0)=30-(0)2=1 >0 函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x) 在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0] 内有实数解.

例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实 数解,且一个大于5,一个小于2. y 解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 5 x2 f(x)的图像开口向上的抛物线, O x1 2
所以抛物线与横轴在(5,+∞)内 有一交点,在(-∞,2)内也有一个 交点.
-1

x

方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一 个大于5,一个小于2

堂上练习 1.观察下面的四个函数图像,指出在区间 (-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解? 说明理由. y y
2 1 O y 2 1 O 1 f3(x) 2 x 2 1 O 1 f4(x) 2 x 1 2 1 f2(x) y O 1 2x f1(x) 2 x

堂上练习 2.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的 存在性,并说明理由.

解 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-10<0 f(2)=19>0 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间[1,2]内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间[1,2]内有 实数解.

堂上练习 3.指出下列方程存在实数解,并给出一个 实数解的存在区间: 1 ?1?x ? ? 0; ?2?lg x ? x ? 0. x

补充练习 1.试判定方程x4-x2+2x-1=0在区间[0,2]内是 否有实数解?并说明理由.

解 函数f(x)=x4-x2+2x-1 f(0)=-1<0 f(2)=15>0 函数f(x)=x4-x2+2x-1图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间[0,2]内有零点. 即方程x4-x2+2x-1=0在区间[0,2]内有 实数解.

补充练习 2.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2 小于0,另一根大于1小于3,求a的取值范围.

解 设f(x)=3x2-5x+a,
f(-2)>0 f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 -12<a<0 a>-22 a<0 a<2 a>-12
y

x1

1 x2
3 x

-2 O

补充练习 3.关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两根介于-2 和4之间,求t的范围.

解 设f(x)=x2-2tx+t2-1,则
△≥0 -2<t<4 f(-2)>0 f(4)>0

-1<t<3

小结

本节课主要掌握两个方面的内容: (1)利用函数的性质判定方程解的存在 性;

(2)初步了解一元二次方程根的分布的 有关知识。

作业
课本第136页习题4- 1题 A组1 B组1


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