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竞赛辅导讲义:数列


竞赛辅导讲义:数列
数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是 等差数列与等比数列,解决数列问题一般是化归为 2 类特殊数列求解。 所谓数列,就是按一 定次序排列的一列数。如果数列{an}的第 n 项 an 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公 式 an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看,数列可

以看作是一 个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题,首先要 深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示。 等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d 前 n 项和公式为: (2) 从(1)式可以看出,an 是 n 的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由 (2)式知,Sn 是 n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为 0。 (1)

在等差数列{an}中,等差中项: 且任意两项 am,an 的关系为:an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。



从等差数列的定义、通项公式,前 n 项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。

二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等 比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示。 等比数列{an}的通项公式是:an=a1·n-1 q 前 n 项和公式是:

在等比数列中,等比中项: 且任意两项 am,an 的关系为 an=am·n-m q



从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出: a1·n=a2·n-1=a3·n-2=…=ak·n-k+1,k∈{1,2,…,n} a a a a 若 m,n,p,q∈N*,p+q=m+n,则有:ap·q=am·n, a a 记 πn=a1·2…an,则有 π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 a 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数对数后构成一个等差数列;反之,以任 一个正数 C 为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂 Can,则{Can}是等比数列。在这个意义 下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 重要的不仅是两类基本数列的定义、 性质,公式;而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如“倒 排相加”(等差数列),“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公 式,二是求数列的前 n 项和。 三、通项与求和 (一)求数列的通项公式: 1、用累差法求通项公式 例 1、数列

?an ?中,已知 a1 ? 1, an ? an ? 1 ? 2n(n ? 2),求an 。 ?an ? 中,已知 a1,an?1 ? ?an ? ? , (? , ?为常数) 求通项 an 都可以用累差法。

小结:在数列

2、用累乘法求通项公式 例 2、①已知数列 ②数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 4n an , 求an 。

?an ?中,已知 S n ? n 2 an (n ? 2) 求数列 ?an ?的通项公式。
a n ?1 ? f (n) 时,用累乘法求其通项。 an

小结:当数列递推关系公式是

3、用迭代法求通项公式 例 3、已知数列中, a1 小结:等差数列 an

? 2, an ? 2an?1 ? 3(n ? 2, n ? N ),求an

? an?1 ? d ? (an?2 ? d ) ? d ? an?2 ? 2d ? ? ? a1 ? (n ? 1)d 这样逐步

代入,称之为“迭代法” 。 4、用转化法求数列的通项 例 4、①在数列

?an ?中, a1 ? 2, 且3an?1 ? 2an?3 求通项 an ?an ?中, a1 ? 1, an?1 ?
3a n , (n ? 1)求a n 3 ? an

②已知数列

③如果 a1 = 1, a2 = 1, 且 an+2 = an+1 + an (n=1,2,?), 试求这个数列的通项公式。 (二)求前 n 项和公式 1、拆项分组求和 例 1、求数列 12,105,1008,10011,?(10 +3n-1),?的前 n 项和 S n 例 2、求数列 7,77,777,?777?7,?的前 n 项和 S n 例 3、求数列 1 ,2 2、拆项相消法求和 例 4、①求和
n

1 2

3 1 1 ,5 , ?, (2n ? 1) ? (?1) n ?1 ( ) n , ? 的前 n 项的和 S n 。 4 8 2

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

②1 ?

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

③求

1 1? 3

?

1 2? 3

???

1 n ? n ?1

的和

④求

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n(n ? 1)(n ? 2)

⑤求数列

32 ? 1 5 2 ? 1 7 2 ? 1 的前 n 项的和。 , , 32 ? 1 5 2 ? 1 7 2 ? 1
1 }的前 n 项的和,可将通项拆为 a n a n ?1


小结:求数列{

3、用并项法求和 例 5、①求数列 1,-2,3,-4,?,(-1) ②求 S n
n-1

n ,?的前 n 项和 S n

? 1 ? 22 ? 32 ? 42 ? (?1) n?1 n 2 的值。

4、用倒序相加法求和 例 6、已知 lg( xy) ? a, 求s, 其中s ? lg x 5、利用自然数幂和公式 常用的自然数幂和公式:
n

? lg( x n?1 y) ? lg( x n?2 y) ? ?lg y n 。

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1) n(n ? 1)( 2n ? 1) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? 2 6 n(n ? 1) 2 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ ] 2

例 7、求和 sn

? 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ? ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

6、错位相减法求和 例 8、①求

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? n 的和②求 sn ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1) ? a n?1 2 4 8 2

7、其他的一些数列求和问题

例 9、数列中, a1

1 2 ? 1,当n ? 2 时,其前项和 sn 满足 s n ? a n ( s n ? ) 2

①求 sn 的表达式②设 b ? 例 10、数列的通项 an

sn ,求数列 ? n ? 的前 n 项和 7n b 2n ? 1

? 3n ? log2 n ,从 ?an ? 中依次抽取第 2 项,第 4 项,第 8 项,?第 2n

项,按原来的顺序排成一个新数列

?bn ?,求数列 ?bn ?的通公式及前 n 项和 S n
an ? 1 2 ) ? (n ? N ? ) 若 bn ? (?1) n sn 求数列 2

例 11、设等差数列的前 n 项和为 S n ,且 s n ? (

?bn ?的前 n 项和 S n 。
例 12、一个数列,当 n 为奇数时, an 2 m 项的和( m 是正整数) 例 13、①已知数列中, an A、100 B、50

? 5n ? 1 ;当 n 为偶数时, a n ?

n 22

,求这个数列的前

? 11? 2n , sn ?| a1 | ? | a2 | ?? | an | 则 S10 的值为。
C、25 D、150

②已知数列的前 n 项和 sn 四、范例

? 10n ? n 2 , 又bn ?| an | 求{bn}的前 n 项和 S n

例 1.在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D.28

解:由 a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8 及已知或得 5a8=120,a8=24 而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。 故选 C 例 2.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 B. a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 )

[2000 年北京春季高考理工类第(13)题]

解:显然,a1+a2+a3+…+a101

故 a1+a101=0,从而 a2+a100=a3+a99=a1+a101=0,选 C 例 3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项之各,S9=18,an-4=30(n>9),Sn=336,则 n 为( ) A.16 B.21 C.9 D8 a5=2 , 所 以 a5+an-4=a1+an=2+30=32 , 而

解 : 由 于

S9=9× 5=18 , 故 a

,故 n=21 选 B 例 4.设等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0,Sn 为其前 n 项之和,则 Sn(n∈N*)中最大的 是( )。 (1995 年全国高中联赛第 1 题) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 解:∵3a8=5a13 ∴3(a1+7d)=5(a1+12d) 故 令 an≥0→n≤20;当 n>20 时 an<0 ∴S19=S20 最大,选(C) 注:也可用二次函数求最值 例 5.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样 的数列共有( (A)2 个 ) [1997 年全国高中数学联赛第 3 题] (C)4 个 (D)5 个

(B)3 个

解:设等差数列首项为 a,公差为 d,则依题意有( )

即[2a+(n-1)d]on=2× 2 (*) 97 因为 n 是不小于 3 的自然数,97 为素数,故数 n 的值必为 2× 2 的约数(因数),它只能是 97 97,2× 97,972,2× 2 四者之一。 97

若 d>0,则 d≥1 由(*)式知 2× 2≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有 n=97,(*)式化为:a+48d=97, 97 这时(*)有两组解:

若 d=0,则(*)式化为:an=972,这时(*)也有两组解。

故符今题设条件的等差数列共 4 个,分别为: 49,50,51,…,145,(共 97 项) 1,3,5,…,193,(共 97 项) 97,97,97,…,97,(共 97 项) 1,1,1,…,1(共 972=9409 项) 故选(C) 例 6.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组: {1}, (第一组) 则 1991 位于第 {3,5,7},{9,11,13,15,17},… (第二组) (第三组)

组中。 [1991 年全国高中数学联赛第 3 题]

解:依题意,前 n 组中共有奇数 1+3+5+…+(2n-1)=n2 个 而 1991=2× 996-1,它是第 996 个正奇数。 ∵312=961<996<1024=322 ∴1991 应在第 31+1=32 组中。故填 32 例 7.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 [1989 年全国高中联赛试题第 4 题] 解:设该数为 x,则其整数部分为[x],小数部分为 x-[x],由已知得:x· (x-[x]=[x]2 。

其中[x]>0,0<x-[x]<1,解得:

由 0<x-[x]<1 知,

∴[x]=1,

故应填

例 8.等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 N )最大的是( (A)π9
*

,用 πn 表示它的前 n 项之积,则 πn(n∈

) [1996 年全国高中数学联赛试题] (B)π11 (C)π12 (D)π13

解:等比数列{an}的通项公式为

,前 n 项和

因为

故 π12 最大。选(C)

例 9. x≠y, 设 且两数列 x, 1, 2, 3, 和 b1, b2, 3, b4 均为等差数列, a a a y x, b y, 那么 = 。[1988 年全国高中联赛试题]

解:依题意,有 y-x=4(a2-a1) ∴



又 y-x=3(b3-b2) ∴



例 10.设 x,y,Z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 [1992 年全国高中数学联赛试题] 解:因为 3x,4y,5z 成等比数列,所以有 3x· 5z=(4y)2 即 16y2=15xz ①

成等差数列,则

的值是 。

又∵

成等差数列,所以有





将②代入①得: ∵x≠0,y≠0,z≠0 ∴64xz=15(x2+2xz+z2) ∴15(x2+z2)=34xz ∴ 例 11.已知集合 M={x,xy,lg(xy)}及 N={0,∣x∣,y}

并且 M=N,那么

的值等于



解:由 M=N 知 M 中应有一元素为 0,任由 lg(xy)有意义知 xy≠0,从而 x≠0,且 y≠0,故 只有 lg(xy)=0, xy=1,M={x,1,0};若 y=1,则 x=1,M=N={0,1,1}与集合中元素互异性相 连,故 y≠1,从而∣x∣=1,x=± 1;由 x=1 y=1(含),由 x=-1 y=-1,M=N={0,1,-1}

此时,

从而

注: 数列 x, 2, 3, x2001; x x …,

以及

在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列,S2n-1=-2,S2n=0,故 2001 并不可怕。 例 12.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式( ) ∣Sn-n-6∣< (A)5 的最小整数 n 是( (B)6 (C)7 (D)8 3an+1-3=1-an ) [1994 年全国高中数学联赛试题]

解: 由 3an+1+an=4(n≥1)

故数列{an-1}是以 8 为首项,以

为公比的等比数列,所以

当 n=7 时满足要求,故选(C) [注]:数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,而是由两个项数相等的等差数列:1, 1,…,1 和等比数列: 的对应项的和构成的数列,故其前 n 项和 Sn 可转化为相应的两个已知数列的和,这里,观察通项结构,利用化归思想把未知转化为已知。 例 13.设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,…),数列{bn}满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)

求数列{bn}的前 n 项和。 [1996 年全国高中数学联赛第二试第一题] 解:由 Sn=2an-1,令 n=1,得 S1=a1=2a1-1,∴a1=1 ① 又 Sn=2an-1 ② Sn-1=2an-1-1 ③ ②-③得:Sn-sn-1=2an-2an-1 ∴an=2an-2an-1

故 ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,以 q=2 为公比的等比数列,故 an=2n-1 ④







以上诸式相加,得

注:本题综合应用了 a1-s1,a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方 法,从基本知识出发,解决了较为复杂的问题。选准突破口,发现化归途径,源于对基础知识 的深刻理念及其联系的把握。 例 14.n2 个正数排成 n 行 n 列 a11,a12,a13,a14,…,a1n a21,a22,a23,a24,…,a2n a31,a32,a33,a34,…,a3n a41,a42,a43,a44,…,a4n an1,an2,an3,an4,…,ann。 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等。已知

[1990 年全国高中数学联赛第一试第四题] 解:设第一行数列公差为 d,纵行各数列公比为 q,则原 n 行 n 列数表为:

故有:

②÷ ③得

,代入①、②得



因为表中均为正数,故 q>0,∴

,从而

,因此,对于任意 1≤k≤n,有

记 S=a11+a22+a33+…+ann ⑤

⑥ ⑤-⑥得:



评注:本题中求和

,实为等差数列 an=n 与等比数列

的对应项乘积构成的新数列的前 n 项的和,将⑤式两边同乘以公比 ,再错项相减, 化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前 n 项和的基本方法,它在解决此类问题中非 常有用,应予掌握。课本 P137 复习参考题三 B 组题第 6 题为:求和:S=1+2x+3x2+…+nxn-1; 2003 年北京高考理工类第(16)题: 已知数列{an}是等差数列, a1=2,a1+a2+a3=12, 且 (I)求数列{an} 的通项公式;(II)令 bn=an·n(x∈R),求数列{bn}的前 n 项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应 x 用。 练习 1. 给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an}, b1=a1+a2+a3, 2=a4+a5+a6, bn=a3n-2+a3n-1+a3n, 设 b …, …, 则数列{bn} ( ) [1999 年全国高中数学竞赛题]

(A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q3 的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 2.等差数列{an}的前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则它的前 3m 项的和为( A.130 B.170 C.210 D.260 )

[1996 年全国高考题] 3.等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且 a1,a3,a11 恰好是某等比数列的前三项,那么 该等比数列的公比的值等于 。 [2002 年北京高考理工数学第 14 题]

4.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12

(I)求数列{an}的通项公式;(II)(文)令 bn=an·n,求数列{bn}的前 n 项和的公式; 3 (理)令 bn=an·n (x∈R),求数列{bn}的前 n 项和的公式 x [2003 年北京夏季高考数学第 16 题] 5.求和: (1)S=1+2x+3x2+…+nxn-1 (2)求数列:1,6,27,…,n-3n-1,的前 n 项之和 Sn。 6.已知正整数 n 不超过 2000,且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么这样的 n 的个数是 [1999 年全国高中数学竞赛试题]

7.各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的 数列至多有 参考答案 1.(C) 2.(C) 3.4 4.(I)an=2n (II) 项。[1998 年全国高中数学竞赛试题]

5.

6.6 个 7.8


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