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兴化市第一中学高一数学晚间小练习2


兴化市第一中学高一数学第六周晚间小练习 2
1.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是________.

2.在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135° ,若 AC= 2AB, 则

BD=________. 3.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10 的值为________. 4.已知数列{an}满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , 则该数列的前 20 项和为________. 5.设 S n 为数列 ?an ?的前 n 项和, an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? 2n?1 ,则 S n 的值为________. 6.数列{an}中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N ,则其前 n 项和 S n =________. 7. 在某海滨城市附近海面有一台风,据测,当前台风中心位于城市 O (如图)的东偏南
?

? (cos? ?

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动,台风侵 10

袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市 开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?
O θ 东
北 东

西

45° P

8. 某地区位于沙漠边缘地带,到 2004 年底该地区的绿化率只有 30%,计划从 2005 年开始 加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的 16% ,将被植树改造为绿洲,但同时原有绿 洲面积的 4%还会被沙漠化。 ⑴ 设该地区的面积为 1,2004 年绿洲面积为 a1 ? 年绿洲面积为 an?1 , 求证: a n ?1 ?

3 ,经过一年绿洲面积为 a2 ……经过 n 10

4 4 an ? ; 5 25

⑵ 求通项公式 an

⑶ 问至少需要经过多少年努力,才能使该地区的绿洲面积超过 60%?(取 lg 2 ? 0.3)

兴化市第一中学高一数学第六周晚间小练习 2 答案
1.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是________.

1.解:如图所示,在△ABC 中, AB=10 海里,∠A=60° ,∠B=75° , ∴∠C=180° -(∠A+∠B)=45° , AB BC 根据正弦定理: = , sinC sinA ABsinA 10sin60° ∴BC= = =5 6海里. sinC sin45° 答案:5 6海里 2.(2010 年高考课标全国卷)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB =135° ,若 AC= 2AB,则 BD=________.

2.解:如图,设 AB=k,则 AC= 2k. 再设 BD=x,则 DC=2x. 在△ABD 中,由余弦定理得 k2=x2+2-2· 2· x· (- 2 )=x2+2+2x.① 2

在△ADC 中,由余弦定理得 2 2k2=4x2+2-2· 2· =4x2+2-4x, 2x· 2 ∴k2=2x2+1-2x.② 由①②得 x2-4x-1=0,解得 x=2+ 5(负值舍去). 答案:2+ 5 3.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10 的值为________. 3.解:∵a4+a12=2a8,a6+a10=2a8, ∴由已知 5a8=120,∴a8=24, 于是 2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24. 答案:24 nπ 2nπ 4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=?1+cos 2 ?an+sin2 ,则该数 ? ? 2 列的前 20 项和为________. 1-cos nπ 1+cos nπ? nπ 2nπ 4. 解:由 an+2=?1+cos 2 ?an+sin2 =?1+ an+ ,得 n 为奇数时有 ? ? 2 ? 2 2 ? an+2=an+1,n 为偶数时,有 an+2=2an.所以{an}奇数项是 1 为首项,1 为公差的等差数

10×9 2(1 ? 2 ) 列,偶数项是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 S20=10×1+ ×1+ 2 1? 2
10

=2 101. 答案 2 101 5.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,an=1+2+22+…+2n 1,则 Sn 的值为________. 1· ?1-2n? n - 解析:an=1+2+22+…+2n 1= =2 -1, 1-2 ∴Sn=a1+a2+…+an =(21-1)+(22-1)+…+(2n-1) 2?1-2n? =(2+22+…+2n)-n= -n 1-2 =2n 1-n-2. + 答案:2n 1-n-2 6.数列{an}中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N ,则其前 n 项和 S n =________. 答案:
?
+ -

Sn ?

n(n ? 1) 4 n ? 1 ? . 2 3

7. 在某海滨城市附近海面有一台风,据测,当前台风中心位于城市 O (如图)的东偏南

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 10 45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增 大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时? 北

? (cos? ?



O θ 东

西
7. 解:设经过 t 小时台风中心移动到 Q 点时,台风边沿恰经过 O 城, 由题意可得:OP=300,PQ=20t,OQ=r(t)=60+10t 因为 cos? ?

45° P

4 2 7 2 ,α =θ -45°,所以 sin ? ? , cos ? ? 5 10 10
2 2 2

由余弦定理可得:OQ =OP +PQ -2·OP·PQ· cos? 即 (60+10t) =300 +(20t) -2·300·20t· 解得 t1 ? 12 , t2 ? 24
2 2 2

4 2 即 t ? 36t ? 288 ? 0 , 5

t 2 ? t1 ? 12

答:12 小时后该城市开始受到台风气侵袭,受到台风的侵袭的时间有 12 小时? 8. 某地区位于沙漠边缘地带,到 2004 年底该地区的绿化率只有 30%,计划从 2005 年开始 加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的 16% ,将被植树改造为绿洲,但同时原有绿 洲面积的 4%还会被沙漠化. ⑴ 设该地区的面积为 1,2004 年绿洲面积为 a1 ? 年绿洲面积为 an?1 , 求证: a n ?1 ? ⑵ 求通项公式 an ⑶ 问至少需要经过多少年努力,才能使该地区的绿洲面积超过 60%?(取 lg 2 ? 0.3) 8.解:⑴ 设 2004 年底沙漠面积为 b1,经过 n 年治理后沙漠面积为 bn+1。则 an+bn=1。 依题意,an+1 由两部分组成,一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积, an-4%an=96%an,另一部分是新植树绿洲化的面积 16%bn,于是 an+1=96%an+16%bn =96%an +16%(1-an)=80% an +16%=

3 ,经过一年绿洲面积为 a2 ……经过 n 10

4 4 an ? ; 5 25

4 4 an ? 。 5 25 4 4 4 4 4 4 4 ⑵ 由 a n ?1 ? a n ? 两边减去 得 an ?1 ? ? (an ? ) ,∴ {an ?1 ? } 是以 5 25 5 5 5 5 5 4 1 4 4 1 4 n ?1 a1 ? ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an ? ? ( ) 5 2 5 5 2 5 4 1 4 n 4 1 4 n 4 n 2 ⑶ 由⑵可知 an ?1 ? ? ( ) ,依题意 ? ( ) >60%,即 ( ) ? ,两边取对数得 5 2 5 5 2 5 5 5

n ? log 4
5

2 lg 2 ? lg 5 1 ? 2 lg 2 1 ? 0.6 ? ? ? ? 4. 5 2 lg 2 ? lg 5 1 ? 3 lg 2 1 ? 0.9

故至少需要 5 年才能达到目标.


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