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2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系


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匀变速直线运动的位移与时间的关系
根据平均速度的定义式,做任何变速运动的位移都可以表示为 x ? v t ,则匀变速直线 运动的位移公式为 s ? vt ? (v0 ? vt )t / 2 ? v0t ?

1 2 at 2

(1)位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系,式中的 v0

是初速度,时 间 t 应是物体实际运动的时间。 (2)在取初速度 v0 方向为正方向的前提下,匀加速度直线运动 a 取正值,匀减速直线运动

a 取负值;计算的结果 s ? 0 ,说明位移的方向与初速度的方向相同; s ? 0 说明位移
的方向与初速度的方向相反。 (3)对于初速度为零( v0 ? 0 )的匀变速直线运动,位移公式为 s ?

1 1 v1t ? at 2 2 2

即位移 s 与时间 t 的二次方成正比。 (4)速度—时间图像下的面积表示位移的大小,且 t 轴上方的面积表示正位移, t 轴下方的 面积表示负位移。 例 1 某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为 x ? 4t ? 2t , x 与 t 的单位分别是 m
2

和 s ,则质点的初速度和加速度分别是( A.4 m / s 和 2 m / s
2

) C.4 m / s 和 4 m / s
2

B.0 和 4 m / s

2

D.4 m / s 和 0

例 2 一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动,该公路每隔 15 m 安置一个路标,如图 1 所示,汽车通过 AB 两相邻路标用了 2 s ,通过 BC 两路标用了 3 s ,求汽车通过 A、B、 C 三个路标时的速度。 A B C 图1

例 3 以 18 m / s 的速度行驶的汽车, 紧急刹车后做匀减速直线运动, 其加速度大小为 6 m / s , 求: (1)汽车在 2 s 内通过的距离; (2)汽车在 6 s 内通过的距离。

2

-1-

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例 4 有一个做匀变速直线运动的质点,它在两段连续相等时间内通过的位移分别是 24m 和 64m,连续相等的时间为 4s,求质点的初速度和加速度的大小。

例 5 从车站开出的汽车,做匀加速运动,走了 12s 时,发现还有乘客没上来,于是立即做匀 减速运动至停车,总共历时 20s,行进了 50m,求汽车的 最大速度。 v/m?s-1 5 4 3 2 1 O 4 8 12 16 20 图2

t/s

例 6 矿井里的升降机,由静止开始匀加速上升,经过 5s 速度达到 4m/s 后,又以这个速度匀 速上升 20s,然后匀减速上升,经过 4s 停在井口,则矿井的深度为______m.

-2-

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课堂练习:
【巩固教材-稳扎稳打】 1.关于物体运动的下述说法中正确的是 ( ) A.物体运动的速度不变,在相等时间内位移相同,通过路程相等? B.物体运动的速度大小不变,在相等时间内位移相同,通过路程相等? C.匀速直线运动的物体的速度方向不会改变的运动? D.在相等的时间内通过的路程相等,则此运动一定是匀速直线运动? 2.某一施工队执行爆破任务,已知导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是 0.8 cm/s,为了 使点火人在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处 120 m 远的安全地方去,导火 索至少需要多少厘米才行。 (假设人跑的速率是 4 m/s) ?( ) A.30 B.150 C.24 D.12 3.两物体都做匀变速直线运动,在给定的时间间隔内 ( ) A.加速度大的,其位移一定也大? B.初速度大的,其位移一定也大? C.末速度大的,其位移一定也大? D.平均速度大的,其位移一定也大? 2 4.一物体以 5 m/s 的初速度、-2 m/s 的加速度在粗糙水平面上滑行,在 4 s 内物体通过的路 程为 ( ) A.4 m B.36 m ? C.6.25 m D.以上答案都不对? 【重难突破—重拳出击】 1.某质点的位移随时间的变化规律的关系是:s=4t+2t2,s 与 t 的单位分别为 m 和 s,则质点 的初速度与加速度分别为 ( ) 2 2 A.4 m/s 与 2 m/s B.0 与 4 m/s ? C.4 m/s 与 4 m/s2 D.4 m/s 与 0 2.汽车甲沿着平直的公路以速度 v0 做匀速直线运动.当它经过某处的同时,该处有汽车乙 开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶甲车,根据上述已知条件 ( ) A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度? B.可求出乙车追上甲车时乙车的路程? C.可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间? D.不能求出上述三者中的任一个? 3.汽车从静止起做匀加速运动,速度达到 v 时立即做匀减速运动,最后停止,全部时间为 t,则汽车通过的全部位移为 ( ) A.v·t B. v ?

t 2

C.2v·t

D. v ?

t 4

4.关于速度和加速度的关系,下列说法正确的是 ( ) A.加速度很大,说明速度一定很大? B.加速度很大,说明速度的变化一定很大? C.加速度很大,说明速度的变化率一定很大? D.只要有加速度,速度就会不断增加 ? 5.从车站开出的汽车,做匀加速直线运动,走了 12s 时,发现还有乘客没上来,于是立即 做匀减速运动直至停车,汽车从开出到停止总共历时 20s,行进了 50 m。则汽车的最大 速度为 ( ) A.5m/s B.2m/s C.3m/s D.1m/s 6. 一辆汽车以 2m/s2 的加速度做匀减速直线运动, 经过 2 秒 (汽车未停下) 。 汽车行驶了 36m。 汽车开始减速时的速度是多少? ( ) A.9m/s B.18m/s C.20m/s D.12m/s

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7.一个物体由静止开始做匀加速直线运动,第 1 s 末的速度达到 4 m/s,物体在第 2 s 内的 位移是 ( ) A.6 m B.8 m C.4 m D.1.6 m 8.光滑斜面的长度为 L,一物体由静止从斜面顶端沿斜面滑下,当该物体滑到底部时的速 度为 v,则物体下滑到

L 处的速度为 2

(

)

A.

v 2

B.

v 2

C.

3 3

D.

v 4

【巩固提高—登峰揽月】 1.5 辆汽车,每隔一定的时间以相同的加速度从车站由静止开始沿平直的公路开出.当最 后一辆汽车起动时,第一辆汽车已离开车站 320m.求: (1) 最后一辆汽车起动时,第四辆汽车离开车站的距离. (2) 如果每隔 5s 钟发出一辆汽车,求汽车的加速度 A 的大小.

2.升降机由静止开始以加速度 A1 匀加速上升 2s 后,速度达到 3m/s,接着匀速上升 10s 后 再以加速度 A2 做匀减速运动,3s 停下来.求: (1) 加速度 A1、A2 的大小. (2) 升降机上升的高度.

【课外拓展—超越自我】 1.某物体由 A 点由静止开始以加速度大小为 A1 作匀加速直线运动,经时间 t 后到达 B 点, 此时物体的加速度大小变为 A2,方向与 A1 方向相反,又经时间 t 物体回到了 A 点.求: (1) 物体在 B 点和回到 A 点时的速率之比. (2) 加速度大小 A1:A2 的值.

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课后习题:
1.物体做匀减速直线运动,最后停了下来,以下说法正确的是 ( ) A.速度随时间减小,位移随时间增加 B.速度和加速度都随时间减小 C.速度和位移都随时间减小 D.速度与加速度的方向相反 2.一物体在水平面上做匀变速直线运动,其位移与时间的关系为 x=24t-6t2,则它的速度 等于零的时刻 t 为 ( ) 1 A. s 6 B.2 s C.6 s D.24 s

3、飞机的起飞过程是从静止出发,在直跑道上加速前进,等达到一定速度时离地.已知飞 机加速前进的路程为 1600m, 所用的时间为 40s, 假设这段时间内的运动为匀加速运动, 用 a 表示加速度,v 表示离地时的速度,则( A.a=2m/s2,v=80m/s C.a=80m/s2,v=40m/s )

B.a=1m/s2,v=40m/s D.a=1m/s2,v=80m/s )

4、甲、乙两物体沿同一直线运动的 v-t 图象如图所示,则下列说法正确的是 (

A.在 2 s 末,甲、乙两物体的速度不同,位移不同 B.在 2 s 末,甲、乙两物体的速度相同,位移不同 C.在 4 s 末,甲、乙两物体的速度相同,位移不同 D.在 4 s 末,甲、乙两物体的速度不同,位移相同 5、如图所示为一物体做匀变速直线运动的速度—时间图象,根据图线得出如下几个判定, 正确的是( ) A.物体始终沿正方向运动 B.物体先沿负方向运动,在 t=2 s 后开始沿正方向运动 C.运动过程中,物体的加速度保持不变 D.4 s 末物体回到出发点

6、如图是物体做直线运动的 vt 图象,由图象可得到的正确结果是 ( ) 2 A. t=1 s 时物体的加速度大小为 1.0 m/s B. t=5 s 时物体的加速度大小为 0.75 m/s2 C.第 3 s 内物体的位移为 1.5 m D.物体在加速过程的位移比减速过程的位移大 7、作匀加速直线运动的物体,先后经过 A、B 两点时,其速度分别为 v 和 7v,经历的时间 为 t,则( ) B.从 A 到 B 所需时间的中点(t/2)的速度是 4v D.AB 间的距离为 4vt

A.经 A、B 中点位置时的速度是 5v C.AB 间的距离为 5vt

-5-

姓名:

8、如图所示是两个质点做匀变速直线运动的 v-t 图象,两条线交点的横、纵坐标分别为 t0、 v0,关于这两个质点的运动,以下说法正确的是( A.由于 A、B 的初速度 vA<0,vB>0.所以 vA<vB B.B.两个质点均做速度一直增大的匀加速直线运动 C.t0 时刻两质点相遇 D.若 0 时刻两质点从同一地点出发,则 t0 时刻, B 质点位移比 A 大,两质点速度相等 9、矿井里的升降机,由静止开始匀加速上升,经过 5s 速度达到 4m/s 后,又以这个速度匀 速上升 20s,然后匀减速上升,经过 4s 停在井口,则矿井的深度为______m. 10、物体由静止开始做匀变速直线运动,若最初 2 s 内平均速度是 2 m/s,则 4 s 内位移大小 为_____ m。 11、以 36km/h 速度行驶的列车开始下坡,在坡路上的加速度等于 0.2m/s2,经过 30s 到 达坡底,求坡路的长度和列车到达坡底时的速度。 )

12、以 18m/s 的速度行驶的汽车,制动后做匀减速运动,在 3s 内前进 36m,求汽车的加速 度。

13、神舟五号载人飞船的返回舱距地面 10km 时开始启动降落伞装置,速度减至 10m/s,并 以这个速度在大气中降落。在距地面 1.2m 时,返回舱的 4 台缓冲发动机开始向下喷火, 舱体再次减速。设最后减速过程中返回舱做匀减速运动,并且到达地面时恰好速度为 0, 求最后减速阶段的加速度。

-6-

姓名:

14、以 18 m / s 的速度行驶的汽车, 紧急刹车后做匀减速直线运动, 其加速度大小为 6 m / s , 求: (1)汽车在 2 s 内通过的距离; (2)汽车在 6 s 内通过的距离。

2

15、有一个做匀变速直线运动的质点,它在两段连续相等时间内通过的位移分别是 24m 和 64m,连续相等的时间为 4s,求质点的初速度和加速度的大小。

16、 如图所示, 一艘快艇以 2m/s2 的加速度在海面上做匀加速直线运动, 快艇的初速度是 6m/s. 求这艘快艇在 8s 末的速度和 8s 内经过的位移.

-7-

姓名:

17、一辆沿平直路面行驶的汽车(如图所示),速度为 36km/h,刹车后获得加速度的大小 是 4m/s2,求: (1)刹车后 3s 末的速度; (2)从开始刹车至停止,汽车滑行的距离.

18、如图所示,飞机着陆后做匀变速直线运动,10s 内前进 450m,此时速度减为着陆时速 度的一半.试求: (1)飞机着陆时的速度; (2)飞机着陆后 30s 时距着陆点多远.

19、一辆汽车从静止开始匀加速直线开出, 然后保持匀速直线运动, 最后匀减速直线运动直 到停止.从汽车开始运动起计时,下表给出了某些时刻汽车的瞬时速度,根据表中的 数据求: 时刻(s) 速度(m/s) 1.0 3.0 2.0 6.0 3.0 9.0 5.0 12 7.0 12 9.5 9.0 10.5 3.0

(1)汽车匀加速直线运动的加速度大小;

(2)汽车匀速直线运动经历的时间;

(3)汽车从静止开始直到停止通过的总位移大小.

-8-

姓名:

20、一辆汽车在笔直的公路上做匀 变速直线运动 ,该公路每隔 15 m 安置一个路标,如图 1 所示,汽车通过 AB 两相邻路标用了 2 s ,通过 BC 两路标用了 3 s ,求汽车通过 A、B、 C 三个路标时的速度。 A B C 图1

21、一个滑雪的人,从 85m 长的山坡上匀变速滑下,初速度是 1.8 m/s,末速度是 5.0 m/s,他通过这段山坡需要多长时间?

22、如图是用某监测系统每隔 2.5 s 拍摄火箭起始加速阶段的一组照片。已知火箭的长度为 40 m,现在用刻度尺测量照片上的长度关系,结果如图所示。请你估算火箭的加速度 a 和火箭在照片中第 2 个像所对应时刻的瞬时速度大小 v。

-9-

姓名:

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姓名:

参考答案:
【巩固教材-稳扎稳打】 1.A C 2.C 3.D 4.C 【重难突破—重拳出击】 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.A 8.A 【巩固提高—登峰揽月】 1.20m 1.6 m/s2 2.1.5 m/s2 1 m/s2 37.5 m 【课外拓展—超越自我】 1.1:2 1:3 v 1 2x 2×1600 2 1. AD 2. B 3. A 解析:由 x= at2 得 a= 2 = m/s =2m/s2,由 x= v t= t 2 t 402 2 2x 2×1600 得 v= = m/s=80m/s .4.BD 5.BCD 6.B 7.ABD 8.D t 40 9.答案:98m 解析:因为升降机从井底到井口的运动分为三个阶段:匀加速、匀速、匀减速 解法一:(1)匀加速上升阶段 v a1= =0.8m/s2 t1 1 2 1 h1= a1t1 = ×0.8×52m=10m 2 2

(2)匀速上升阶段 h2=vt2=4×20m=80m v 4 (3)匀减速上升阶段 a3= = m/s=1m/s2 t3 4 所以矿井深度 h=h1+h2+h3=(10+80+8)m=98m 10. 16 11.初速度 v0=36 km/h=10 m/s,加速度 a=0.2 m/s2,时间 t=30s 根据 x ? v0t ? at 得 x=10×30 m+ ×0.2×302m=390 m 根据 v=v0+at 得 v=10 m/s+0.2×30 m/s=16 m/s
12.初速度 vo=18 m/s,时间 t=3 s,位移 x=36 m

1 2 1 h3= a3t3 = ×1×42m=8m 2 2

1 2

2

1 2

根据 x ? v0t ? at 得 a ?

1 2

2

2( x?v0t ) 2(36?18?3) 2 2 ? m/s ? ?4 m/s t2 32

13.初速度 v0=10 m/s,末速度 v0=0,位移 x=1.2 m
2 2 根据 v ? v0 ? 2 ax

得a ?

2 v 2 ?v0 2x

?

0?102 2 2 m/s ? ?42  m/s 2?1.2

14.解析:应首先判断所求位移对应的时间内汽车是否一直在运动,然后利用匀变速直线运 动的位移公式进行求解。 已知汽车刹车时间的初速度 v0 ? 18m / s ,因为是匀减速直线运动,所以加速度

a ? ?6m / s ,设经过 t 0 秒汽车停止运动 (vt ? 0) ,则由 v1 ? v0 ? at
得 t0 ?

v0 18 ? s ? 3s ?a ?(?6)

因 t1 ? 2s ? t0 ,故前 2 s 内汽车一直在运动,所以前 2 s 内通过的距离(即位移

- 11 -

姓名:

的大小) s1 ? v0t ?

1 2 1 at ? 18 ? 2m ? ? (?6) ? 22 m ? 24m 2 2

又因 t2 ? 6s ? t0 ,汽车刹车后运动 3s 就停下来了,所以 6 s 内汽车通过的距离也 就是 3s 内汽车通过的距离,所以 6 s 内汽车通过的距离为

1 1 s2 ? v0t ? at 2 ? 18 ? 3m ? ? (?6) ? 32 m ? 27m 2 2
1 2 aT 2 根据速度公式得 vB ? vA ? aT 1 2 s2 ? v ? aT B T 2 s1 ? vA T?
15.解析:根据位移公式得

将 s1 ? 24m, s2 ? 64m, T ? 4s 代入上面三式,联立解得 vA ? 1m / s, a ? 2.5m / s 2 16.答案:22m/s 112m 解析:vt=v0+at=(6+2×8)m/s=22m/s 1 1 x=v0t+ at2=(6×8+ ×2×82)m 2 2 =112m 17.答案:(1)0 (2)12.5m 解析: 汽车刹车后做匀减速滑行, 其初速度 v0=36km/h=10m/s, v=0, 加速度 a=-4m/s2, 设刹车滑行 ts 后停止,滑行距离为 x. v1-v2 0-10 (1)由速度公式 v1=v0+at 得滑行时 t= = s=2.5s a -4 即刹车后经过 2.5s 停止,所以 3s 末的速度为零. 1 1 (2)由位移公式得滑行距离 x 为 x=v0t+ at2=10×2.5m+ ×(-4)×2.52m=12.5m. 2 2 18.答案:(1)60m/s (2)600m v+v/2 4×450 解析:(1)s= t v= m/s=60m/s 2 3×10 v-v/2 60-60/2 2 (2)a= = m/s =3m/s2 t 10 v 60 1 1 t= = s=20s,x= at2= ×3×202m=600m. a 3 2 2

- 12 -

姓名:

19.答案:(1)3m/s

2

(2)5.0s (3)96m

v1 3.0 解析:①a 匀加= = m/s2=3m/s2 t1 1.0 ②t 匀加= v匀 12 = s=4.0s a匀加 3

由 vt=v0+at 得:匀减速运动的加速度大小 v′-v 9.0-3.0 a 匀减= = m/s2=6m/s2 t 10.5-9.5 v匀-v′ 12-9 t′= = s=0.5s 6 a匀减 即 9.0s 后开始匀减速 匀速运动时间 t 匀=(9.0-4.0)s=5.0s ③t 匀减= v匀 12 = s=2s a匀减 6

1 1 2 2 S=S1+S2+S3= a 匀 t1 +v 匀 t 匀+ a 匀减 t匀减 =96m. 2 2 20.解析:汽车从 A 到 C 是匀减速运动,设汽车通过路标 A 时速度为 v A ,通过 AB 的时间

t1 ? 2s ,通过 BC 的时间 t2 ? 3s 。
根据位移公式 s ? v0t ?

1 2 at ,研究 AB 运动的过程, 2

有 s AB ? v At1 ?

1 1 2 at ,研究 AC 运动过程,有 s AC ? v At1 ? at 2 2 2

其中 t ? t1 ? t2 ? 5s 解得: vA ? 8.5m / s, a ? ?1m / s 2 再根据速度公式

vB ? vA ? at1 ? 6 . 5 m s / vC ? v ? a t ? 3 . 5 m/ s

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姓名:

21.解析:滑雪的人做匀加速直线运动,由

vt=v0+at 可得 at=vt-v0,代入 5=v0 t+

1 2 1 1 at 中,得 s=v0 t+ vt-v0t= vt+v0t 2 2 2

说明对于匀变速直线运动, v =

vt ? v0 1 .8 ? 5 所以 v = m/s=3.4 m/s 2 2

又 s= v t ,所以 t= 答案:25 s

85 m s = =25 s. v 3.4m/s

22.答案:8 m/s2 42 m/s 解析:从照片上可得,刻度尺的 1 cm 相当于实际长度 20 m。量出前后两段位移分别为 4.00 cm 和 6.50 cm, 对应的实际位移分别为 80 m 和 130 m。 由 Δx=aT2 可得 a=8 m/s2, 再根据这 5 s 内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,可得照片中第 2 个像所对应时 80+130 刻的瞬时速度 v= m/s=42 m/s。 2×2.5

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