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高中数学选修2-2:函数的最大(小)值与导数解析版(精炼基础,链接高考)


高中数学选修 2-2 导数的应用 函数的最大(小)值与导数解析版(精炼基础,链接高考) 精炼基础 1.函数 y=f(x)= A.e-1 C.e2 解析:令 y′= lnx 的最大值为( x ) B.e D.10 ? ln x? x ′ -lnx 1-lnx = =0? x=e. 2 2 x x 当 x>e 时,y′<0;当 0<x<e 时,y′>0, 所以 y 极大值=f(e)=e-1, 在定义域内只有一个极值,所以 ymax=e-1. 答案:A 2.若函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a 在区间[-2,-1]上的最大值为 2,则它 在该区间上的最小值为( A.-5 C.10 B.7 D.-19 ) 解析:f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)·(x+1). 令 f′(x)=0,得 x=3 或-1. ∵x∈[-2,-1]时,f′(x)<0, ∴f(x)在[-2,-1]上递减. ∴f(-2)=2,即 a+2=2,a=0,它的最小值为 f(-1)=-5. 答案:A 3.函数 f(x)= 1 x+1 +x(x∈[1,3])的值域为( ) ?3 ? ? ? A.(-∞,1)∪(1,+∞) B.? ,+∞? ?2 ? ?3 13? ? ? C.? , ? ?2 4 ? 解析:f′(x)=- 1 ?3 13? ? ? D.? , ? ?2 4 ? +1 = , ?x+1?2 ?x+1?2 x2+2x 所以在[1,3]上 f′(x)>0 恒成立,即 f(x)在[1,3]上单调递增. 高中数学选修 2-2 导数的应用 所以 f(x)的最大值是 f(3)= 答案:D 13 3 ,最小值是 f(1)= .故选 D. 4 2 ) 4.f(x)=2x-cosx 在(-∞,+∞)上( A.是增函数 C.有最大值 答案:A B.是减函数 D.有最小值 解析:∵f′(x)=2+sinx>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 5.若函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小 值为( ) B.-71 D.-22 A.-10 C.-15 解析:f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由 f′(x)=0,得 x=3 或 x=-1.又 f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由 f(x)max=k+5=10,得 k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. 答案:B 6.直线 y=a 与函数 y=x3-3x 的图象有相异的三个交点,则 a 的取值范围 是( ) A.-2<a<2 C.a<-2 或 a>2 B.-2≤a<2 D.a<-2 或 a≥2 解析:可求得 y=x3-3x 在 x=-1 时取极大值 2, 在 x=1 时,取极小值-2,则 y=x3-3x 的图象如图所示. ∴y=a 与 y=x3-3x 的图象有相异的三个公共点时,-2<a<2. 答案:A 高中数学选修 2-2 导数的应用 7.函数 y= 解析:y′= 1 2 x-x(x≥0)的最大值为__________. 1-2 x 1 -1= ,令 y′=0 得 x= . 4 x 2 x 1 1 ∵0<x< 时,y′>0;x> 时,y′<0. 4 4 1 ∴x= 时,ymax= 4 答案: 1 4 1 1 1 - = . 4 4 4 1 8.函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x∈[0,1]的值域为________. 2 1 1 解析:

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