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江西省抚州市临川二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年江西省抚州市临川二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.对于集合 A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应 f 中,能构成从 A 到 B 的函数的是( )

A.

B.

C.

D.

2.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况 (单位:台) ,则销售量的中位数是( )

A.13

B.14

C.15

D.16

3.已知幂函数过点(2, A.2 B. C.2

) ,则当 x=8 时的函数值是( D.64

)

4.把函数 y=e 的图象按向量 =(2,0)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)=( A.ex+2 B.ex﹣2 C.ex+2 D.ex﹣2

x

)

5.命题“a 和 b 都不是奇数”的否定是(

)

A.a 和 b 至少有一个奇数 B.a 和 b 至多有一个是奇数 C.a 是奇数,b 不是奇数 D.a 和 b 都是奇数

6.设 x∈R,定义符号函数 sgnx=

,则(

)

A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx

7.已知函数 y=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ ≤ φ )的坐标是( )

) ,且此函数的图象如图所示,由点 P(ω ,

A. (2,

) B. (2,

) C. (4,

) D. (4,



8.设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,﹣1 B.2,﹣2 C.1,﹣2 D.2,﹣1

)

9.下列几个命题中,真命题是(

)

A.l,m.n 是空间的三条不同直线,若 m⊥l,n⊥l,则 m∥n B.α ,β ,γ 是空间的三个不同平面,若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β C.两条异面直线所成的角的范围是(0,π ) D.两个平面相交但不垂直,直线 m? α ,则在平面 β 内不一定存在直线与 m 平行,但一定存 在直线与垂直

10.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= sinC=( A.1 B. ) C. D.

,A+C=2B,则

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A. (5+

)π

B.π

C. (10+

)π D. (5+2

)π

12.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2) ,则 称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设 f(x)在上为非减函数,且满足以下条件: (1)f(0) =0; (2)f( )= f(x) ; (3)f(1﹣x)=1﹣f(x) ,则 f( )+f( )=( A. B. C.1 D. )

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义某种运算?,S=a?b 的运算原理如图,则式子 6?3+3?4=__________.

14.等差数列{an}中,已知 a1+a2= ,a3+a4=1,则 a13+a14 的值为__________.

15.已知 a>0,b>0,若不等式

总能成立,则 m 的最大值是__________.

16.定义在 R 上的函数 y=ln(x +1)+|x|,满足 f(2x﹣1)>f(x+1) ,则 x 的取值范围是 __________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最小值. sin
2

18.已知命题 p:x∈A,且 A={x|a﹣1<x<a+1},命题 q:x∈B,且 B={x|x ﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若 A∩B=?,A∪B=R,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

2

19.把一颗骰子连续投掷两次,记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y. (1)求投掷两次所得点数之和能被 4 整除的概率; (2)设向量 =(x,y) , =(2,﹣1) ,求 ⊥ 的概率.

20.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

21.已知圆 C 在 x 轴上的截距为﹣1 和 3,在 y 轴上的一个截距为 1. (1)求圆 C 的标准方程;

(2)若过点

的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4,求直线 l 的倾斜角.

22.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且满足 2Sn+1=4Sn+1(n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 1≤i≤n,1≤j≤n(i,j,n 均为正整数)时,求 ai 和 aj 的所有可能的乘积 aiaj 之 和.

2015-2016 学年江西省抚州市临川二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.对于集合 A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应 f 中,能构成从 A 到 B 的函数的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的概念及其构成要素. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用. 【分析】直接根据函数的定义,逐个考察各选项便可得出结果. 【解答】解:根据函数的定义,逐个考察各选项: 对于 A:不能构成,因为集合 A 中有一部分元素(靠近 x=2)并没有函数值,所以符合函数定 义; 对于 B:不能构成,因为集合 A 中的一个元素(如 x=2)与集合 B 中的两个元素对应,不符合 函数定义; 对于 C:不能构成,因为集合 A 中的一个元素(如 x=1)与集合 B 中的两个元素对应,不符合 函数定义; 对于 D: 能够构成, 因为集合 A 中的每个元素都只与集合 B 中某一个元素对应, 符合函数定义. 故选 D. 【点评】本题主要考查了函数的概念,以及运用图象判断变量之间是否具有函数关系,属于 基础题.

2.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况 (单位:台) ,则销售量的中位数是( )

A.13

B.14

C.15

D.16

【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列,求出中位数即可. 【解答】解:根据茎叶图中的数据,把这组数据按照从小到大的顺序排列为 5,8,10,14,16,16,20,23; ∴这组数据的中位数是 故选:C. 【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题,是基础题目. =15.

3.已知幂函数过点(2, A.2 B. C.2

) ,则当 x=8 时的函数值是( D.64

)

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】数形结合;待定系数法;函数的性质及应用. 【分析】设出幂函数的解析式,用待定系数法求出函数的解析式,再计算对应的函数值. 【解答】解:设幂函数 y=x ,其图象过点(2, ∴2α = ,解得 α = , = , =2 .
α

) ,

∴函数 y=

∴当 x=8 时,函数 y= 故选:A.

【点评】本题考查了求函数的解析式与利用函数解析式求值的应用问题,是基础题目.

4.把函数 y=e 的图象按向量 =(2,0)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)=( A.ex+2 B.ex﹣2 C.ex+2 D.ex﹣2

x

)

【考点】指数函数的图像变换. 【专题】应用题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题设条件知,函数图象沿向量右移了 2 个单位,问题得以解决. 【解答】解:函数 y=ex 的图象按向量 =(2,0)平移得到 f(x)=ex﹣2, 故选:D.

【点评】本题主要考查函数按向量方向的平移.首先确定向量的方向,然后按照左加右减的 原则进行平移

5.命题“a 和 b 都不是奇数”的否定是(

)

A.a 和 b 至少有一个奇数 B.a 和 b 至多有一个是奇数 C.a 是奇数,b 不是奇数 D.a 和 b 都是奇数 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】直接利用否定的定义,写出结果即可. 【解答】解:命题“a 和 b 都不是奇数”的否定是:a 和 b 至少有一个奇数. 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是命题的否定,全(特)称命题是新教材的新增内容,其中全(特) 称命题的否定是本考点的重要考查形式.

6.设 x∈R,定义符号函数 sgnx=

,则(

)

A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx 【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】去掉绝对值符号,逐个比较即可. 【解答】解:对于选项 A,右边=x|sgnx|= 正确; 对于选项 B,右边=xsgn|x|= ,而左边=|x|= ,显然不正确; ,而左边=|x|= ,显然不

对于选项 C,右边=|x|sgnx=

,而左边=|x|=

,显然不正确;

对于选项 D,右边=xsgnx=

,而左边=|x|=

,显然正确;

故选:D. 【点评】本题考查函数表达式的比较,正确去绝对值符号是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题.

7.已知函数 y=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ ≤ φ )的坐标是( )

) ,且此函数的图象如图所示,由点 P(ω ,

A. (2,

) B. (2,

) C. (4,

) D. (4,



【考点】由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】先利用函数图象计算函数的周期,再利用周期计算公式解得 ω 的值,再将点( ,

0)代入函数解析式,利用五点作图法则及 φ 的范围求得 φ 值,最后即可得点 P(ω ,φ ) 的坐标 【解答】解:由图象可得函数的周期 T=2×( 将( ,0)代入 y=sin(2x+φ )可得 sin( ﹣ )=π ∴ =π ,得 ω =2, +φ =π +2kπ (注意此

+φ )=0,∴

点位于函数减区间上) ∴φ = +2kπ ,k∈Z 可得 φ = , ) ,

由 0<φ ≤

∴点(ω ,φ )的坐标是(2, 故选 B.

【点评】本题主要考查了 y=Asin(ω x+φ )型函数的图象和性质,利用函数的部分图象求函 数解析式的方法,五点作图法画函数图象的应用

8.设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,﹣1 B.2,﹣2 C.1,﹣2 D.2,﹣1

)

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题. 【分析】根据零点分段法,我们易得满足|x|+|y|≤1 表示的平面区域是以(﹣1,0) , (0,﹣ 1) , (1,0) , (0,1)为顶点的正方形,利用角点法,将各顶点的坐标代入 x+2y 然后进行比 较,易求出其最值. 【解答】解:约束条件|x|+|y|≤1 可化为:

其表示的平面区域如下图所示: 由图可知当 x=0,y=1 时 x+2y 取最大值 2 当 x=0,y=﹣1 时 x+2y 取最小值﹣2 故选 B

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答 线性规划类小题的关键.

9.下列几个命题中,真命题是(

)

A.l,m.n 是空间的三条不同直线,若 m⊥l,n⊥l,则 m∥n B.α ,β ,γ 是空间的三个不同平面,若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β C.两条异面直线所成的角的范围是(0,π ) D.两个平面相交但不垂直,直线 m? α ,则在平面 β 内不一定存在直线与 m 平行,但一定存 在直线与垂直 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断 A;由垂直于同一平面的两平面的位置 关系判断 B;由异面直线所成角的范围判断 C;设平面 α 、β 的交线为 n,当 m 与 n 不平行时 β 内不存在直线与 m 平行,但不论 m 在 α 内的位置如何,由两个平面相交但不垂直,可知 m 在平面 β 内的射影直线存在,平面 β 内垂直于 m 在 β 内射影的直线必与 m 垂直. 【解答】解:由 m⊥l,n⊥l,可得 m,n 的位置关系有三种,平行、相交和异面, ∴选项 A 不正确; 由 α ⊥γ ,β ⊥γ ,可得 α ∥β 或 α 与 β 相交, ∴选项 B 不正确; 两条异面直线所成的角的范围是(0, ∴选项 C 不正确; 两个平面 α 、β 相交但不垂直,设交线为 n,直线 m? α , 只有当 m∥n 时,在平面 β 内存在直线与 m 平行,否则在平面 β 内不存在直线与 m 平行; 但平面 β 内垂直于 m 在 β 内射影的直线必与 m 垂直. ∴选项 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与直线,平面与平面间的位 置关系,考查了学生的空间思维和想象能力,是中档题. ],

10.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= sinC=( A.1 B. ) C. D.

,A+C=2B,则

【考点】余弦定理.

【专题】解三角形. 【分析】根据条件求出 B= 【解答】解:∵A+C=2B, ∴A+C+B=3B=π , 则 B=
2 2

,再利用余弦定理解决即可.


2

则 b =a +c ﹣2accosB, 即 3=1+c ﹣2c× , 即 c2﹣c﹣2=0, 解得 c=2 或 c=﹣1(舍) , 则 a +b =c .即△ABC 为直角三角形, ∠C= ,即 sinC=1.
2 2 2 2

故选:A 【点评】本题主要考查解三角形的应用,根据余弦定理是解决本题的关键.

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A. (5+

)π

B.π

C. (10+

)π D. (5+2

)π

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可知这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,由图中所提供的数据 进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项

【解答】解:由三视图可知这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,圆柱的底面积为 π ,圆柱的侧面积为 2π ×2=4π ,圆锥的母线长为 侧面积为 故选 A. 【点评】本题考查简单几何体的三视图,此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者 由三视图可准确还原实物图 , ,侧面积为 ,所以总的

12.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2) ,则 称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设 f(x)在上为非减函数,且满足以下条件: (1)f(0) =0; (2)f( )= f(x) ; (3)f(1﹣x)=1﹣f(x) ,则 f( )+f( )=( A. B. C.1 D. )

【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由条件(1) (3)分别令 x=1,x= ,可得 f(1)=1,f( )= ,结合条件(2)可 得 f( ) ,f( )= =f( )结合由 f(x)在上为非减函数,可得:f( )= . 【解答】解:∵f(0)=0,f(1﹣x)=1﹣f(x) , 令 x=1,则 f(0)=1﹣f(1) ,解得 f(1)=1, 令 x= ,则 f( )=1﹣f( ) ,解得:f( )= 又∵f( )= f(x) , ∴f( )= f(1)= ,f( )= f( )= ,f( )= f( )= , 又由 f(x)在上为非减函数, 故 f( )= , 故 f( )+f( )= , 故选:A 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,以及对新定义的理解,同时考查了计算能力和 转化的思想,属于中档题.

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义某种运算?,S=a?b 的运算原理如图,则式子 6?3+3?4=20.

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;算法和程序框图. 【分析】通过程序框图判断出 S=a?b 的解析式,求出 6?3+3?4 的值. 【解答】解:有框图知 S=a?b= ∴6?3+3?4=6×(3﹣1)+4×(3﹣1)=20. 故答案为:20. 【点评】新定义题是近几年常考的题型,要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定义. ,

14.等差数列{an}中,已知 a1+a2= ,a3+a4=1,则 a13+a14 的值为 . 【考点】等差数列的通项公式. 【专题】方程思想;待定系数法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得首项和公差的方程组,解方程组代入计算可得. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 a1+a2=2a1+d= ,a3+a4=2a1+5d=1, 联立解得 a1= ,d= ,

∴a13+a14=2a1+25d= , 故答案为: .

【点评】本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

15.已知 a>0,b>0,若不等式 【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】由不等式 要求出

总能成立,则 m 的最大值是 9.

恒成立,可得 m

=5+

恒成立,只

的最小值即可求解

【解答】解:∵a>0,b>0, ∴2a+b>0 ∵不等式 ∴m ∵ ∴m≤9 故答案为:9 【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化,解题的关键是配凑基本不等 式成立 的 条件 恒成立, =5+ 恒成立

16.定义在 R 上的函数 y=ln(x +1)+|x|,满足 f(2x﹣1)>f(x+1) ,则 x 的取值范围是 x >2 或 x<0. 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 【解答】解:∵函数 y=ln(x2+1)+|x|为偶函数,且在 x≥0 时,函数单调递增, ∴f(2x﹣1)>f(x+1)等价为 f(|2x﹣1|)>f(|x+1|) , 即|2x﹣1|>|x+1|, 平方得 3x ﹣6x>0, 即 x>2 或 x<0; 故答案为:x>2 或 x<0;
2

2

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应用.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最小值. 【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ 函数的周期性及其求法即可得解; (2)由 x∈,可求范围 x+ ∈,即可求得 f(x)的取值范围,即可得解. sin2 )﹣ ,由三角 sin2

【解答】解: (1)∵f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣2 =sinx+ × cosx﹣ )﹣ =2π ;

=2sin(x+

∴f(x)的最小正周期 T= (2)∵x∈, ∴x+ ∈,

∴sin(x+

)∈,即有:f(x)=2sin(x+

)﹣ .

∈,

∴可解得 f(x)在区间上的最小值为:﹣

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数 的最值的应用,属于基本知识的考查.

18.已知命题 p:x∈A,且 A={x|a﹣1<x<a+1},命题 q:x∈B,且 B={x|x ﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若 A∩B=?,A∪B=R,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】充分条件;集合关系中的参数取值问题.

2

【专题】计算题;阅读型. 【分析】 (Ⅰ)把集合 B 化简后,由 A∩B=?,A∪B=R,借助于数轴列方程组可解 a 的值; (Ⅱ)把 p 是 q 的充分条件转化为集合 A 和集合 B 之间的关系,运用两集合端点值之间的关 系列不等式组求解 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)B={x|x ﹣4x+3≥0}={x|x≤1,或 x≥3},A={x|a﹣1<x<a+1}, 由 A∩B=?,A∪B=R,得 ,得 a=2,
2

所以满足 A∩B=?,A∪B=R 的实数 a 的值为 2; (Ⅱ)因 p 是 q 的充分条件,所以 A? B,且 A≠?,所以结合数轴可知, a+1≤1 或 a﹣1≥3,解得 a≤0,或 a≥4, 所以 p 是 q 的充分条件的实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]∪ 由 AA1=AC=CB=2, ,
2 2 2

得∠ACB=90°, , ,A1E=3,

故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以三菱锥 C﹣A1DE 的体积为: = =1.

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查三菱锥的体积的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意空间思维能力的培养.

21.已知圆 C 在 x 轴上的截距为﹣1 和 3,在 y 轴上的一个截距为 1. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若过点 的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4,求直线 l 的倾斜角.

【考点】直线和圆的方程的应用;直线的斜率;圆的标准方程. 【专题】计算题.

【分析】 (1)由圆心公式求得圆心应该在 x=1 这条直线上. 设:圆心为(1,y)进而根据到 (﹣1,0)的距离=到(0,1)的距离求得 y,则圆心可知,根据点与点之间的距离公式求得 圆的半径,则圆的方程可得. (2)先看直线斜率不存在时,求得弦长为 4 符合题意,此时倾斜角为 90°在看直线斜率存在 时,设出直线方程,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,进而求得斜率 k,则直线的 倾斜角可求. 【解答】解: (1)由圆心公式: (x1+x2)= (﹣1+3)=1 圆心应该在 x=1 这条直线上. 设:圆心为(1,y) ,到(﹣1,0)的距离=到(0,1)的距离: ∴(1+1) +y =1 +(y﹣1) 解得 y=﹣1 ∴圆心为(1,﹣1) ∴r =(1+1) +y =4+1=5 ∴圆的方程为: (x﹣1) +(y+1) =5 (2)当直线斜率不存在时即直线与 x 轴垂直时,把 x=2 代入圆方程求得 y=1 或﹣3, ∴|AB|=1+3=4 符合题意 当直线斜率存在时,设直线方程为 y﹣ +1=k(x﹣2) 可求得圆心到直线的距离为 =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

由直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4,圆的半径为

∵圆心到直线的距离 d=

=1 求得 k=

∴倾斜角的正切为

,倾斜角为 30°

【点评】本题主要考查了圆与直线方程的应用.考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式.

22.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且满足 2Sn+1=4Sn+1(n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 1≤i≤n,1≤j≤n(i,j,n 均为正整数)时,求 ai 和 aj 的所有可能的乘积 aiaj 之 和.

【考点】数列递推式. 【专题】综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 (Ⅰ)由 2Sn+1=4Sn+1,再写一式,两式相减,确定数列{an}是首项为 ,公比为 2 的等 比数列,即可求出 an. (Ⅱ) 由 ai 和 aj 的所有可能乘积 ai?aj=2i+j (1≤i≤j≤n) 可构成下表: 21+1﹣4, 21+2﹣4, 21+3﹣4, ?, 21+n﹣4,22+1﹣4,22+2﹣4,?,22+n﹣4,2n+1﹣4,2n+2﹣4,2n+3,?,2n+n﹣4,即可求 ai 和 aj 的所有可能的 乘积 aiaj 之和 Tn. 【解答】 解: (Ⅰ) ∵ , ∴ ,

两式相减得 an+1=2an,∴



由 2S2=4S1+1 得 2(a1+a2)=4a1+1,又

,∴



∴数列{an}是首项为 ,公比为 2 的等比数列, ∴ . (1≤i≤n,1≤j≤n)
1+n﹣4

(Ⅱ)由 ai 和 aj 的所有可能乘积 可构成下表:2 2
n+n﹣4 1+1﹣4

,2

1+2﹣4

,2

1+3﹣4

,?,2

,2

2+1﹣4

,2

2+2﹣4

,?,2

2+n﹣4

,2

n+1﹣4

,2

n+2﹣4

,2 ,?,

n+3



设上表第一行的和为 T1,则

于是

?+2n﹣1)=

=

【点评】考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识,考查推理论证能力 和运算求解能力和化归转化数学思想.


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