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山东省淄博市淄川第一中学2016届高三数学下学期第二次月考试题理(新)


山东省淄博市淄川第一中学 2016 届高三数学下学期第二次月考试题 理
第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分.共 50 分. 1 .已知全集 U ? R, A ? x x ? 1 , B ? x x ? 3 ,则CU ? A ? B ? 等于 A. x 1 ? x ? 3

?

?



?

?

?

?

B. x x ? 1或x ? 3

?

?

C. x 1 ? x ? 3

?

?

D.

? x x ? ?或x ? 3?

2.i 是虚数单位,则

4i 3 = 3 ?i
C. 2 ? 2 3i D. 2 ? 2 3i

A. 1 ? 3i

B. 1 ? 3i

3. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 析式是 (A)y ? cos 2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4

2 (B)y ? 2cos x (C)y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

(D)y ? 2sin x
2

4. 用反证法证明命题: “已知 a, b 为实数,则方程 x2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要 做的假设是 (A)方程 x2 ? ax ? b ? 0 没有实根(B)方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 (C)方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根(D)方程 x2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 5.设 a, b, c 是空间三条直线, ? , ? 是两个平面,则下列命题为真命题的是 A.若 a / /? , b / /? , 则a / /b C.若 b ? ? , b ? ? , 则? ? ? B.若 a ? c, b ? c, 则a / /b D.若 b ? ? , c / /? , 则b / / c

6. 设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对 称,则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 7.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 则判断框中应填入的结果是 A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 5 D. i ? ?

5 , 6

1

8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后 的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产 品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96, 98) ,[98, 100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品 净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克 并且小于 104 克的产品的个数是 (A)90 9. 设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为
2

频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 96 98 100 102 104 106 克 第 8 题图

(B)75

(C) 60

(D)45

(A)

5 4

(B) 5

(C)

5 2

(D) 5

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? x 10. 设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M,使函数 y=a (a>0,a ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 ( A ) [1,3] (D)[ 10 , 9] 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (B)[2,

10 ]

(C)[2,9]

a? ? 2 11. 设二项式 ? x ? ? ? a ? 0 ? 的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a ? x? ?
▲ . 12. 设函数 f(x)=ax +c(a≠0),若
2

6

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x0 ) ,0≤x0≤1,则 x0 的值为

. .

13. 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

??? ? ??? ?

?
6

时, ?ABC 的面积为

14. 如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形, 若直角三角形中较小的锐角 ? ?

?
6

, 现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖, 则飞镖落

在小正方形内的概率是_________.
2

15.已知函数 f ? x ? ? ? ①f

?1, x ? Q ,现有四个命题: ?0, x ? CRQ

? f ? x ?? ? 1 ;

② ?x ? R,总有f ? x ? ? f ? ? x ? ; ③ ?T ? Q,f ? x ? T ? ? f ? x ? 对于 x ? R 恒成立; ④不存在三个点 P 使得 ?PP 1 2P 3 为等边三角形. 1 x1 , f ? x1 ? , P 2 x2 , f ? x2 ? , p3 x3 , f ? x3 ? , 其中真命题的序号为_________.(请将所有真命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边为 a,b,c.已知 2c cos A ? a ? 2b . (I)求角 C 的值; (II)若 c ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 3 ,求 a , b . 17.(本小题满分 12 分) 2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、 迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数量如下表: 福娃名称 数量 贝贝 1 晶晶 1 欢欢 1 迎迎 2 妮妮 3

?

? ?

?

?

?

从中随机地选取 5 只. (Ⅰ)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (Ⅱ)若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分;若选出的 5 只中仅差一种记 8 分;差两种记 6 分;以此类推.设 ξ 表示所得的分数,求 ξ 的分布列及数学 期望. 18.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值 为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, 其前 n 项和为 Sn .满足 S5 ? 2a2 ? 25 , 且 a1 , a ,a 4 3 1 恰为等比数列 ?bn ? 的前三项.
3

(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 (II)设 Tn 是数列 ?

? 1 ? 1 ? ? 的前 n 项和.是否存在 k ? N ,使得等式 1 ? 2Tk ? 成立,若存 bk ? an an ?1 ?

在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ? ln x . x

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在区 间 ? t , t ?

? ?

1? ? ? t ? 0 ? 上不是单调函数,求实数 t 的取值范围; 2?
a 恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1

(III)如果当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 21.(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 ( a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

4

理科数学答案(2016.5) 11.-3 12.

3 3

13.

1 6

14.

2? 2

3

15.

1.2.3

1-10 DBBAC ADADC

16. 解: (Ⅰ)? , 2 c cos A ? a ? 2 b ,...........................2 分 ? 2 sin C cos A ? sin A ? 2 sin B

? ? ? 2 sin C cos A ? sin A ? 2 sin A ? C





, i s 2 s C c i A ? s o n A ? 2 i s s A c n i C ? 2 c o n A s C o s n 1 ,?cosC ? ? s i n A ? 2 s i n A c o s C 2 ? 又? C是三角形的内角, ? C ? ..................... .......6 分 3

S ? 3 (Ⅱ)? ? A B C
2 2 2

1 ? a b s i n ? 3 , ? a b ? 4 ,.................9 分 2 3
2

?

又? ,?4?(a?? c ? a ? b ? 2 ab cos C b)?2 a?b?4? a?b?2......12 分 17、解: (Ⅰ)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率 P? 分
1 1 C 6 3 2 ?C 3 ? ? .?4 5 56 28 C 8

的 取 值 为 1 0 , 8 , 6 ,4 (Ⅱ) ?
1 1 C2 ? C3 3 P(? ?10 )? ? ; 5 28 C 8 2 2 1 1 2 3 2 2 C3 (C2 ? C3 ?C2 ? C3 ) ?C3 ? (C2 ?C3 ) 31 P(? ?8) ? ? ; 5 56 C 8

P(? ? 6) ?

1 2 2 1 3 2 3 C3 (C2 ? C3 ?C2 ? C3 ) ?C3 ? C3 18 9 ? ? ; 5 56 28 C 8

2 3 C ?C 1 P ( ??4 )? 2 5 3 ? . 56 C 8

???8 分 8 6 4

ξ 的分布列为: ξ P ???12 分 18. (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点, 所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD, 因此 AE⊥AD.因为 PA⊥平面 ABCD, AE ? 平面 ABCD, 所以 PA⊥AE.而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE ⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD.(Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意
5

10

3 28

31 56

9 28

1 56

30 248 54 4 E ? ? ? ? ? ? 7 . 5 28 56 28 56

一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知

AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角.在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,
当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大.

所以 当 A H 最短时,∠EHA 最大,即 此时 tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , 因此 AH AH 2

AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°,所以

PA=2.
解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O, 则 EO⊥ 平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S, 连 ES, 则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 2

,AO=AE·cos30°=

3 ,又 F 是 PC 的中点, 2



Rt △ A

SO

中 , SO=AO · sin45 ° =

3 4

2

, 又

2 2 S E ?E O ? S O ?

39 3 0 ? ? , 48 4

SO 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= ? SE

3 2 4 ? 30 4

15 , 5

即所求二面角的余弦值为

15 . 5
解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 A( 0,0,0) , B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) , D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 , ,1 ) , 2 2

E ? (3 , 0 , 0 ) ,A F ? ( 所以 A

? ? ? ?

? ? ? ?

31 ?(x ,y ,z , , 1 ) . 设平面 AEF 的一法向量为 m 1 1 1), 22

???? ? 3 x1 ? 0, ? m ? ? ? A E ? 0, ? ? 1 , 则 m ? ( 0 , 2 , ? 1 ) , 则 ? ???? 因此 ? 3 取 z 1 1 m ? A F ? 0 , x ? y ? z ? 0. ? ? ? 1 1 1 ? 2 2
因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 故 BD⊥平面 AFC,

???? B D 为平面 AFC 的一法向量.又

???? , B D =(- 3 , 3 , 0 )
6

? ? ? ? ???? m ? B D 23 ? 1 5 ? ? ? ?? 所以 cos<m, B D >= ? . |mB || ?D | 5 ?1 2 5
因为 二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

5?4 ? ?a (5 a d) ?2 ? 1? 1 ?d??25 2 (19) 解: (Ⅰ) 设等差数列 ? a n ? 的公差为 d ?d ? 0?, 所以 ? , 2 ? ?a d? ?a a 12 d? 1 ?3 1? 1? ?
解 得

a 3 ,d?2 1?







an ? 2n?1

.

n . ......5 分 ? b ? a ? 3 , b ? a ? 9 ,? b ? 3 1 1 2 4 n

(Ⅱ)?, ???

1 ?? an?1?2n?1?3??

所以Tn???????? ?

1???? 2??35?7n?1?

1?1 1 ? ? ? ? ,...9 分 2 ? 3 2n ? 3 ?

所 以 1 ?2 T k? ?

2 1 2 13 ? 1 ? , ? , 而 T ? 单 调 递 减 , 得 ?1?2 k ? 3 2 k?3 ? 2 k ? 3 ? 3 15

1 1 1 ? k ? (0, ] , bk 3 3
所以不存在 k ?N ,使得等式 1 ? 2Tk ?
*

1 成立. ..........................12 分 bk

20.(1) f (x ) ??
'

lnx ' ;解 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ; (x?0 ),解 f ' ( x ) ? 0 ,得 0?x?1 2 x

所以 f

? x ? 在 ( 0 , 1 ) 上单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减.

?t ? 1 1 ? ? 1? (2)因为函数 f ? x ? 在区间?t,????0?上不是单调函数,所以 ? ,解得 ? t ? 1 . 1 2 ? 2? ?? t ? 2 ? 1
(3)不等式 f ? x ? ?

(x?1 )( 1?lnx) a ?a恒成立, 恒成立,即 x x ?1

( x ) ? 令g(x)?,则 g
'

(x?1)ln x

' [ ( x ?? 1 ) ( 1 l n x ) ] xx ? ( ?? 1 ) ( 1 l n x )x ? l n x ?2 2 x x

7

令 hx ( )?x? l nx,则 h ( x ) ? 1 ?
'

1 ' , ? ,? h ( x ) 在 [1, ? ? ) 上单调递增, x ? 1 , ? h () x ? 0 x

' ,从而 g ( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) ? h ( x ) 在 [1, ? ? ) 上单调递增,且 ? h () x h ( 1 ) ?? 10 m i n?

,所以 a ? 2 . gx () g ( 1 )? 2 m i n?

21. 解:(1)因为椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a2 b2

? ? ? 所以 ? ? ? ?

? ?? a b 解得 ? 6 1 ? ? 2 ? 1 2 ?? a b 4
2

?

2

2

? 1

1 ?a2 ? 8 x2 y2 a 8 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 1 1 8 4 b ? 4 ? ? b 2 4
2

1

?

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m解方程组 ? x 2 得x? , 2 ( k x ? m ) ? 8 O A ? O B y2 ? ? 1 ? 4 ? 8
即 =
2 2 2 ( 1 ? 2 kx )? 4 k m x ? 2 m ? 8 ? 0

,

则 ,

△ 即

2 2 2 2 2 2 1 6 k m ? 4 ( 1 ? 2 km ) ( 2 ? 8 ) ? 8 ( 8 k ? m ? 4 ) ? 0

4 km ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 2 2 , 8 k ? m ? 4 ? 0 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
22 2 2 2 2 k ( 2 m ? 8 ) 4 k m m ? 8 k 2 y y ? ( k x ?? m ) ( k x m ) ?? k x x k m ( x ? x ) ? m ? 2 ? ? m ?2 1 2 1 2 1 2 2 1 ? 2 k1 ? 2 k 1 ? 2 k 2 1 2 2

要使 O ,需使 xx ,即 A ? O B 1 2 ?yy 1 2 ?0

? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 2 m ? 8 m ? 8 k2 2 2 ? ?0,所以 3 , m ? 8 k ? 8 ? 0 2 2 1 ?2 k 1 ?2 k

? m 2 ? 2 3m2 ? 8 2 2 ?0又8 k? m ? 4 ? 0 所以 k ? , 所以 ? , 所以 m 2 8 ?3m ? 8
2

2

?

8 2 6 ,即 m ? 或 3 3

m ??

2 6 , 3

2 2 m m 8 2 6 ? ? ,r ? r?,r ? 因 为 直 线y ? kx ?m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 , 2 2 2 3 m ?8 3 1?k 3 1? k 1? 8 2

m

8

2 2 m m 8 2 6 , r ? ? ? ,r ? 2 2 3 m ?8 3 1?k 3 1? 8 2

所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m都满足 m ? 或m ? ? ,而当 3 3 3

切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y2 2 6 2 6 2 6 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? )或 8 4 3 3 3

(?

? ? ? ? ? ? ? ? 8 2 6 2 6 2 2 ,综上,存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该圆的任 A ? O B ,? ) 满足 O 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O . A ? O B

9


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