当前位置:首页 >> 数学 >>

函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)


函数与导数
1. 已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3tx2 ? 6tx ? t ?1, x ? R ,其中 t ? R . (Ⅰ)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的 t ? (0, ??), f ( x) 在区间 (0,1)

内均存在零点. 【解析】 (19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分 14 分。
3 2 2 (Ⅰ)解:当 t ? 1 时, f ( x) ? 4x ? 3x ? 6x, f (0) ? 0, f ?( x) ? 12 x ? 6 x ? 6

f ?(0) ? ?6. 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?6 x.
2 2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? 12x ? 6tx ? 6t ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?t或x ?

t . 2

因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论: (1)若 t ? 0, 则

t ? ?t , 当x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2

x

t? ? ? ??, ? 2? ?
+

?t ? ? , ?t ? ?2 ?
-

? ?t, ???
+

f ?( x)
f ( x)

所以, f ( x) 的单调递增区间是 ? ??, ? , ? ?t , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? , ?t ? 。 (2)若 t ? 0, 则 ? t ?

? ?

t? 2?

?t ?2

? ?

t ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2

x

? ??, t ?
+

t? ? ? ?t , ? 2? ?
-

?t ? ? , ?? ? ?2 ?
+

f ?( x) f ( x)

所以, f ( x) 的单调递增区间是 ? ??, ?t ? , ? , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? ?t , ? .

?t ?2

? ?

? ?

t? 2?

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当 t ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, ? 内的单调递减,在 ? 递增,以下分两种情况讨论: (1)当

? ?

t? 2?

?t ? , ?? ? 内单调 ?2 ?

t ? 1, 即t ? 2 时, f ( x) 在(0,1)内单调递减, 2

f (0) ? t ? 1 ? 0, f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0.
所以对任意 t ? [2, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 ( 2 )当 0 ?

t ? t? ?t ? ? 1,即 0 ? t ? 2 时, f ( x) 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,1? 内单调递增,若 2 ? 2? ?2 ?

7 7 ?1? t ? (0,1], f ? ? ? ? t 3 ? t ? 1 ? ? t 3 ? 0. 4 4 ?2?

f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?2t ? 3 ? 0.
所以 f ( x)在 ?

?t ? ,1? 内存在零点。 ?2 ?

若 t ? (1, 2), f ?

7 3 7 3 ?t? ? ? ? t ? ? t ? 1? ? ? t ? 1 ? 0. 4 4 ?2?

f (0) ? t ? 1 ? 0
所以 f ( x)在 ? 0, ? 内存在零点。 所以,对任意 t ? (0, 2), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意 t ? (0, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。
2 1 x ? , h( x) ? x . 3 2 (Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 lg[ f ( x ? 1) ? ] ? 2lg h(a ? x) ? 2lg h(4 ? x) ; 2 4 1 * (Ⅲ)设 n ? N ,证明: f (n)h(n) ? [h(1) ? h(2) ? ? h(n)] ? . 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解: (Ⅰ) F ( x) ? 18 f ( x) ? x2 [h( x)]2 ? ? x3 ? 12x ? 9( x ? 0) ,

? ?

t? 2?

2. 已知函数 f ( x) ?

? F ?( x) ? ?3x2 ? 12 .

令? F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?2 舍去) . 当 x ? (0, 2) 时. F ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, ??) 时, F ?( x) ? 0 , 故当 x ? [0, 2) 时, F ( x) 为增函数;当 x ? [2, ??) 时, F ( x) 为减函数. x ? 2 为 F ( x) 的极大值点,且 F (2) ? ?8 ? 24 ? 9 ? 25 . 3 3 (Ⅱ)方法一:原方程可化为 log4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x) , 2 4 a?x ? x ? a, 即为 log 4 ( x ? 1) ? log 2 a ? x ? log 2 4 ? x ? log 2 ,且 ? 4? x ?1 ? x ? 4, ①当 1 ? a ? 4 时, 1 ? x ? a ,则 x ? 1 ?
a?x ,即 x2 ? 6 x ? a ? 4 ? 0 , 4? x 6 ? 20 ? 4a ? 3 ? 5 ? a ,∵ 1 ? x ? a , ? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a ? 0 ,此时 x ? 2

此时方程仅有一解 x ? 3 ? 5 ? a .
a?x ,得 x2 ? 6 x ? a ? 4 ? 0 , ? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a , 4? x 若 4 ? a ? 5 ,则 ? ? 0 ,方程有两解 x ? 3 ? 5 ? a ; 若 a ? 5 时,则 ? ? 0 ,方程有一解 x ? 3 ; 若 a ? 1 或 a ? 5 ,原方程无解. 方法二:原方程可化为 log4 ( x ? 1) ? log2 h(4 ? x) ? log 2 h(a ? x) ,

②当 a ? 4 时, 1 ? x ? 4 ,由 x ? 1 ?

1 即 log2 ( x ? 1) ? log2 4 ? x ? log2 2

? x ? 1 ? 0, ?1 ? x ? 4 ?4 ? x ? 0, ? ? ? ? x ? a, a? x ,? ? a ? x ? 0, ? ? 2 ?a ? ?( x ? 3) ? 5. ? ( x ? 1)(4 ? x ) ? a ? x . ?

①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有二解 x ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a ? 5 时,原方程有一解 x ? 3 ; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解. (Ⅲ)由已知得 h(1) ? h(2) ? ? h(n)] ? 1 ? 2 ? ? n , 1 4n ? 3 1 f (n)h(n) ? ? n? . 6 6 6 1 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? f (n)h(n) ? ( n ? N* ) 6 4k ? 3 4k ? 1 从而有 a1 ? S1 ? 1 ,当 2 ? k ? 100 时, ak ? Sk ? Sk ?1 ? k? k ?1 . 6 6 1 (4k ? 3)2 k ? (4k ? 1) 2 (k ? 1) 1 又 ak ? k ? [(4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1] ? ? 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 6 1 1 ? ? ? 0. 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 即对任意 k ? 2 时,有 ak ? k ,又因为 a1 ? 1 ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? 则 Sn ? h(1) ? h(2) ?
? h(n) ,故原不等式成立.

? an ? 1 ? 2 ?

? n.

3. 设函数 f ( x) ? a 2 ln x ? x 2 ? ax , a ? 0 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 2 对 x ? [1, e] 恒成立. 注: e 为自然对数的底数. 【解析】 (21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象 概括、推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax.其中x ? 0 所以 f ?( x) ?

a2 ( x ? a)(2 x ? a) ? 2x ? a ? ? x x

由于 a ? 0 ,所以 f ( x) 的增区间为 (0, a ) ,减区间为 ( a, ??) (Ⅱ)证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即a ? c 由(Ⅰ)知 f ( x)在[1, e] 内单调递增, 要使 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对x ? [1, e] 恒成立, 只要 ?

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1,
2 2 2 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e

解得 a ? e.

4. 设 f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax2
4 时,求 f ( x) 的极值点; 3

(Ⅰ)当 a ?

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【解析】 (18) (本小题满分 13 分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变 化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
x 解:对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? e

1 ? ax2 ? ax . (1 ? ax2 ) 2



(I)当 a ? 综合①,可知

3 1 4 2 ,若 f ?( x) ? 0, 则4 x ? 8 x ? 3 ? 0, 解得 x1 ? , x 2 ? . 3 2 2

x
f ?( x)

1 (?? , ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
- ↘

3 2
0 极小值

3 ( , ?) 2
+ ↗

f ( x)

所以, x1 ?

3 1 是极小值点, x 2 ? 是极大值点. 2 2

( II )若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 f ?( x) 在 R 上不变号,结合①与条件 a>0 ,知

ax2 ? 2ax ? 1 ? 0
在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0, 由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1. 5. 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数 的底数) 。 (I)求实数 b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间; (III)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x) (x∈[

1 ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 e

M;若不存在,说明理由。 【解析】22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算 求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,满分 14 分。 解: (I)由 f (e) ? 2得b ? 2, (II)由(I)可得 f ( x) ? ?ax ? 2 ? ax ln x. 从而 f '( x) ? a ln x.

因为a ? 0 ,故:
(1)当 a ? 0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1; (2)当 a ? 0时,由f '( x) ? 0得0 ? x ? 1, 由f '( x) ? 0 得x ?1. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) , 单调递减区间为(0,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为(0,1) ,

单调递减区间为 (1, ??) 。 (III)当 a=1 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x, f '( x) ? ln x. 由(II)可得,当 x 在区间 ( , e) 内变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 e

x
f '( x)

1 e

1 ( ,1) e
-

1
0 极小值 1

(1, e)
+ 单调递增

e

f ( x)
又2?

2?

2 e

单调递减

2

2 1 ? 2, 所以函数f '( x) ? ( x ? [ , e]) 的值域为[1,2]。 e e

据经可得,若 ? 公共点。

?m ? 1, 1 ,则对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y=t 与曲线 y ? f ( x )( x ? [ , e]) 都有 e ?M ? 2
1 直线 y ? t 与曲线 y ? f ( x )( x ? [ , e]) 都没有公共点。 (M , ??) , e

并且对每一个 t ? (??, m)

综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y=t 与曲线 y ? f ( x )( x ? [ , e]) 都有公共点。
3 2 2 6. 设函数 f , gx ,其中 x ? R ,a、b 为常数,已知曲线 () x? x ? 2 a x ? b x ? a ( )? x ? 3 x ? 2

1 e

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。
(I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意 x ) ? gx ( )? m x 的 x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f 【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想, (满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3.
2

由于曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1.

由此得 ?

?8 ? 8a ? 2b ? a ? 0, ?a ? ?2, 解得 ? ?12 ? 8a ? b ? 1, ?b ? 5.

所以 a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ? 4 x2 ? 5x ? 2 ,所以 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x. 依题意,方程 x( x2 ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x2 , 故 x1 , x2 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根。 所以 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0, 即m ? ? . 又对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 成立, 特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立,得 m ? 0. 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? m ? 0, 故0 ? x1 ? x2 . 对任意的 x ? [ x1 , x2 ], 有x-x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0, 又f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 所以函数 f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? [ x1 , x2 ] 的最大值为 0。 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 ( ?

1 4

1 , 0). 4


相关文章:
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。函数与导数的高考压轴大题大全函数与导数 1. 已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3tx2 ? 6tx...
2015年高考数学函数与导数压轴题精练
2 n ? 1 16 2015 年高考数学导数压轴题精练详解答案 1.解: (1) f ?( x) ? 2 x ? 1 ?a, x f ( x) 在 (0,1) 上是增函数, ? 2x ? 2x ...
2015年高考压轴题:函数与导数
2015年高考压轴题:函数与导数_高考_高中教育_教育专区。高三二轮专题复习 8 ...n∈N ,不等式 * . 函数、导数与不等式参考答案 1.设 a 为实数,函数 f(...
2016高考导数压轴题
2016高考导数压轴题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。◇导数专题 目录一、导数...2 8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到 e 底指、对数,需要构造函数,证存在...
函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练
函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练_数学_高中教育_教育专区。函数与导数 2015 年高考数学压轴题真题训练 7.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 ...
2014年高考导数压轴题汇编
2014年高考导数压轴题汇编_数学_高中教育_教育专区。2014 年高考导数压轴题汇编 1.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 ...
_函数与导数大题(带答案)
高考数学习题函数导数不... 4页 1下载券 高考数学习题函数导数不... 21页 免费 2010-2012高考题-函数和... 117页 1下载券 函数导数压轴题答案 47页 2下...
2015年高考导数压轴题详解
2015年高考导数压轴题详解_数学_高中教育_教育专区。2015 年高考导数压轴题详解 例 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 在区间 [?11) ,,(1, 3] ...
高考压轴题:导数题型及解题方法
高考压轴题:导数题型及解题方法_数学_高中教育_教育专区。高考压轴题:导数题型及...(方法:分离 练习 用罗比达法则答案: ?? ?,1? ) 设函数 f ( x) ? x(...
更多相关标签:
导数经典例题 | 高中数学导数经典例题 | 高中导数经典例题 | 导数经典例题大题 | 导数经典例题大题ppt | 导数的经典例题 | 中考数学压轴题含答案 | 一次函数压轴题含答案 |