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数学必修一第二章2.2对数函数


数学必修一第二章 2.2 对数函数
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.函数 y ? 3 ? log3 x 的定义域为( A. (??,9] B. (0,9] )

) C. (0, 27] D. (??, 27]

2.函数 f ( x) ? log2 x 的图象 ( A

. 关于直线 y=-x 对称 C. 关于 y 轴对称
b 3..若 log 2 a ? 0, ( ) ? 1 ,则

B. 关于原点对称 D. 关于直线 y=x 对称 ( C. 0 ? a ? 1, b ? 0 )

1 2

A. a ? 1, b ? 0

B. a ? 1, b ? 0

D. 0 ? a ? 1, b ? 0

4.函数 y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x, y ? log d x 的图像 如图所示,则 a, b, c, d 的大小顺序( A. c ? d ? 1 ? b ? a C. 1 ? d ? c ? a ? b )
O

y

y ? loga x

y ? logb x
1
(第 4 题)

B. d ? c ? 1 ? a ? b D. c ? d ? 1 ? a ? b

x y ? logc x y ? logd x

5.若函数 y ? f ( x) 的定义域是[2,4],则 y ? f (log 1 x) 的定义域是(
2

)

1 A.[2,1]

1 1 B.[16,4]

C.[4,16]

D.[2,4]

x x 6.若 x log 2 3 ? 1,则 3 ? 9 的值为(

) C.

A.6

B.3

5 2

D.

1 2


7.已知 f ? x ? ? loga (6 ? 3ax) 在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (1,2) C. (1.2)

D. (1,+∞) )

8.函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1) 在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值( A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

9.已知函数 f ( x) ? ? A.-2 10.若函数 f ( x) ? ? A. 9 11.设 f(x)= lg

?log 2 x, x>0 ,则 f (?10) 的值是( ? f ( x+3), x ? 0
B.-1 C.0

) D.1 ( )

?log3 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是 x 9 ( x ? 0) ? 2 1 1 B. C. D.4 9 4


2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?

A. (-4,0)∪(0,4)

B. (-4,-1)∪(1,4)

C. (-2,-1)∪(1,2)

D. (-4,-2)∪(2,4) )

12.函数 f ? x ? ? lg(kx2 ? 4kx ? 3) 的为定义域为 R ,则 k 的取值范围是( A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

B. ?0, ?

? 3? ? 4?

C. ?0, ? 4

? 3? ? ?


D ?? ?,0? ? ? ,? ? ?

?3 ?4

? ?

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)

13.函数 y ? 2 ? log2 x 的定义域是

14.函数 y=lg(4+3x-x2)的单调增区间为________. 15.设函数 f ( x) ? f ( ) ? lg x ? 1 ,则 f (10) ?

1 x

.

16.已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x ? 3), ? a ? 1? 在 [2, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,写出必要的解题步骤)

17(本小题满分 10 分) 解方程: (1) log4 (3 ? x) ? log0.25 (3 ? x) ? log4 (1 ? x) ? log0.25 (2x ? 1)

(2) 10(lg x ) ? xlg x ? 20

2

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x ) .
2 2

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间;

(2) 求函数 f ( x) 的值域.

19.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x 2 ? 3) ? lg

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x) 的解析式及其定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性及其单调性。

20.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)求 f (

1 1 1 1 )? f ( ) ? f (? ) ? f (? ) 的值. 2014 2015 2014 2015

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(3x ? 3) ,(1)求函数 f ( x)的定义域和值域; (2)设函数 h ? x ? ? f ( x ) ? lg 3x ? 3 ,若不等式 h ? x ? ? t 无解,求实数 t 的取值范围.

?

?

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求实数 k 的值;(4 分)

2 x ? a) ,若 f ( x ) ? g ( x) 有且只有一个实数解,求实数 (2)设 g ( x) ? log4 (a?

参考答案
一、选择题: C CDDB ACBDC BB

二、填空题: 13. ?0,4?

14. ? ? 1, ? 2

? ?

3? ?

15. 1

16.

1 1 ?a? 16 8

三、解答题:

17.解: (1) log4 (3 ? x) ? log0.25 (3 ? x) ? log4 (1 ? x) ? log0.25 (2x ? 1)

log 4

3? x 2x ?1 x?3 ? log 0.25 ? log 4 , 1? x 3? x 2x ?1 3? x x ?3 ? ,得 x ? 7 或 x ? 0 ,经检验 x ? 0 为所求。 1? x 2x ?1
2

(2) 10(lg x) ? xlg x ? 20,(10lg x )lg x ? xlg x ? 20
g xl gx ? x l x ?2 0 , x lx g 2 ? 10, (l xg ? )

1, x? l g?

1,

x ? 1 0或 ,

1 1 ,经检验 x ? 10, 或 为所求。 10 10

18.解: f ( x) 的定义域为 ? ?1,3? ……………2 分 (1)增区间为 ? ?1,1? ;减区间为 ?1,3? ……………8 分 (2)函数 f ( x) 的值域为 ? ?2, ?? ? ……………12 分
19.解:

(1)∵

x 2 ? 3? ? 3 ? x2 f ( x ? 3) ? lg 2 ? lg 2 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

f ( x) ? lg
,∴

x?3 x ? 3 ,……………3 分

x2 ?0 2 2 又由 x ? 6 得 x ?3 ? 3,

? 3, ?? ? 。…………………5 分 ∴ f ( x) 的定义域为

(2)∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数。……………7 分

f ( x) ? lg


x?3 x?3 6 ? 1? x ? 3 ,与 y ? lg u 复合得到 x ? 3 是由函数 u= x ? 3

∴复合函数的单调性判断原则可知, f ( x) 在区间 ? 3, ?? ? 上单调递减. …………10 分

20 解: (1)由题意得 ?

?1 ? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , ?1 ? x ? 0
--------3 分

所以函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) 。 (2)因为在 f ( x) 的定义域 (?1,1) 内恒有

f (? x) ? log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) ? ? f ( x) ,
所以 f ( x) 为奇函数,即 f (? x)+f ( x)=0 , 所以 f (

1 1 1 1 )? f ( ) ? f (? ) ? f (? )?0 2014 2015 2014 2015 --------8 分

21 解:(1)由 3x ? 3 ? 0 得 x ? 1 ,所以定义域为 ?1, ?? ? ,………………………3 分 因为 (3x ? 3) ? (0, ??) ,所以值域为 R。…………………………………………6 分
x x (2)因为 h ? x ? ? lg 3 ? 3 ? lg 3 ? 3 ? lg ?

?

?

?

?

? 3x ? 3 ? ? x ?3 ?3?

= lg ?1 ?

? ?

6 ? ? 的定义域为 ?1, ?? ? ,且在 ?1, ?? ? 上是增函数,………………8 分 3 ?3?
x

所以函数的值域为 ? ??,0 ? …………………………10 分 若不等式 h ? x ? ? t 无解,则 t 的取值范围为 t ? 0 。…………………………12 分 22 解:(1)由函数 f ( x) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x) , ∴ log4 (4x ? 1) ? kx ? log4 (4? x ? 1) ? kx 化简得 log 4
4x ? 1 ? ?2kx , 4? x ? 1

………1 分

1 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立,∴ k ? ? . ………………………4 分 2 (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,

1 即方程 log4 (4 x ? 1) ? x ? log4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根…………5 分 2 1 化简得:方程 2 x ? x ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根, 2
且 a ? 2 x ? a ? 0 成立, 则 a ? 0 令 t ? 2 x ? 0 ,则 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根…………………7 分 设 g (t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,注意到 g (0) ? ?1 ? 0 ,所以 ①当 a ? 1 时, 有 t ? 1 , 合题意; ②当 0 ? a ? 1 时, g (t ) 图象开口向下,且 g (0) ? ?1 ? 0 ,则需满足

a ? ?0 ?t对称轴 ? ? 2( a ? 1) ,此时有 a ? ?2+2 2 ; a ? ?2 ? 2 2 (舍去) ? ?? ? 0 ?

③当 a ? 1 时,又 g (0) ? ?1 ,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知, a 的取值范围是{ ?2+2 2 }∪[1,+∞).………………………12 分


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