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3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题


3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题

某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品, 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h,每生产

一件乙产品使用4个B配件耗时2 h,该厂每天最多
可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工

作8 h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

设甲、乙两种产品分别生产x,y件,由已知条
件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有
坐标为整数的点 P ( x, y ) 时 ,安排生产任务 x, y 都

是有意义的.

y 4
y =3

3
O 4
x?4

x 8
x ? 2y ? 8

上节课我们研究了二元一次不等式(组)与平面区域,
本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.

探究点1

简单线性规划问题及有关概念

进一步,若生产一件甲种产品获利2万元,生产 一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最 大? 设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得 的利润为z,则z=2x+3y.

上述问题就转化为:当x,y满足不等式组并且
为非负整数时,z的最大值是多少?

2 z 2 把z ? 2 x ? 3 y变形为y ? ? x ? ,这是斜率为 ? , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当z变化时,可以得到一组互相平行的直线.
2 故可先作出过原点的直线l 0 : y ? ? x,再作l 0的平行线. 3

当点P在可允许的取值范围内变化时, z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3

y
2 l0 : y ? ? x 3

4 3
y =3
M (4, 2)

由图可知

2 z 当直线y ? ? x ? 4 8 O x ? 2y ? 8 3 3 x?4 经过直线x ? 4与直线x ? 2 y ? 8 14 z 的交点 M (4, 2) 时,截距 的值最大,最大值为3 . 3

x

即 z 的最大值为z ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 14.
所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工 厂可获得最大利润14万元.

1.线性约束条件
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? 上述问题中,不等式组 ? 4 y ? 12, 是一组对变量 ? x ? 0, ? ? ?y? 0

x,y的约束条件,这组约束条件都是关于x,y
的一次不等式,所以又称为线性约束条件.

2.线性目标函数

我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标
函数.又因为z=2x+3y是关于变量x,y的一次解析

式,所以又称为线性目标函数.
3.线性规划 一般的,在线性约束条件下求线性目标函数 的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.

4.可行解、可行域、最优解
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大值或最小值的可行解
叫做这个问题的最优解.

线性规划中的基本概念

线性约束条件 可行解 可行解

最大值

最小值

(1)在上述问题中,如果每生产一件甲

产品获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元,
又当如何安排生产才能获得最大利润?

(2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间
的关系吗? 设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利 润为z,则z=3x+2y.

3 z 3 把z ? 3 x ? 2 y变形为y ? ? x ? ,这是斜率为 ? , 2 2 2 z 在y轴上的截距为 的直线. 2
l0 : y ? ? 3 x 2

y

4 3
y =3
M (4, 2)

由图可知 3 z O 当直线y ? ? x ? 2 2 经过直线x ? 4与x ? 2 y ? 8
4
x?4

x
8
x ? 2y ? 8

最大值为 8. 的交点 M (4, 2) 时,截距的值最大,

即 z 的最大值为 z ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 16.
所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,

工厂获得最大利润16万元.

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

练习:求利润z=x+3y的最大值 . y
4 N(2,3) 3

4

0

1 z y? ? x? 3 3

8 1 x y ? ? x?4 2

zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 11

【提升总结】 在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用 图解法求最优解的步骤为: (1)在平面直角坐标系内画出可行域;
a z (2)将目标函数 z ? ax ? by(b ? 0) 变形为 y ? ? x ? , b b 将求z的最值问题转化为求直线 y ? ? a x ? z 在 y b b

z 轴上的截距 的最值问题; b

平移过程中最先 (3)画出直线 ax ? by =0 并平行移动,
或最后经过的点为最优解; (4)求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函

数的最值.

[练习]解下列线性规划问题:
1、求z=2x+y的最值,使式中的x、y满足约束条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

目标函数:
y

x+y=1
A

Z=2x+y y=x

Zmin=-3

O B C

x

y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)

2x+y=0

Zmax=3

【提升总结】 解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;

(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线
中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案 . 最优解一般在可行域的顶点处取得.

? y ? x ? 1, ? 例已知 x, y 满足 ? x ? 5 y ? 3, 求 z ? x ? 2 y 的 ?5 x ? 3 y ? 15. ?

最大值和最小值. 解:作出如图所示的可行域,
1 z 由z ? x ? 2 y得y ? x ? . 2 2

作l0 : x ? 2 y ? 0, 并平行移动,

y

当直线l经过点B时,对应 的z最小,当直线l经过点

5

y ? x ?1
B(1.5,2.5)

C时,对应的z最大.
所以z最小值=1.5-2×2.5
x ? 2y ? 0

=-3.5,
z最大值=3-0=3.
A(-2,-1)

1 o 3

x ? 5y ? 3
x

C(3,0)

5 x ? 3 y ? 15

【拓展提升】求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型 (1)目标函数z=Ax+By+C,当B>0时,z的值随直线在y轴上截 距的增大而增大. (2)目标函数z=Ax+By+C,当B<0时,z的值随直线在y轴上截 距的增大而减小.

练习.(2013·陕西高考)若点(x,y)位于曲线

y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x-y的最
小值为 ( A ) A.-6 B.-2 C.0 D.2

? x ? 4 y ? ?3, ? 例2 已知x , y满足 ? 3 x ? 5 y ? 25, 设z ? ax ? y(a ? 0), ? x ? 1. ? 若z取得最大值时,对应点有无数个,求a的值.

分析:对应无数个点,即直线与边界线重合. 作出可行域,结合图形,看直线 l : y ? ? ax ? z 与哪条边界线重合时,可取得最大值.

解:当直线 l : y ? ?ax ? z 与边界线重合时,有无
数个点使函数值取得最大值, 此时有 kl ? k AC .
因为k AC 3 即a ? . 5 3 3 ? ? , 所以k l ? ? a ? ? . 5 5
3 x ? 5 y ? 25

y C A x

x ? 4 y ? ?3

O

B
x?1

说明:
一、先定可行域和平移方向,再找最优解。

二、最优解一般在可行域的顶点或边界处
取得. 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关,

而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 1. 已知 x,y满足 ? x ? 3, ? x ? y ? k ? 0, ?
且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k等于( D )
A. 2 B. 9 C. 3 10 D. 0

2.(2013·四川高考)若变量 x, y ? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, 满足约束条件 ? 且 z ? 5y ? x 的 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0, 最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b

的值是( C ) A.48 B.30 C.24 D.16

【变式】已知向量a=(x-z,1),b=(2,y-z),且a⊥b.

?x ? 2y ? 2 ? 0, 若x,y满足不等式组 ? ?x ? 2y ? 2 ? 0, ?x ? 2, 则z的取值范围是____.?
2x ? y , 3 作出不等式组对应的平面区域如图,当

【解析】由a⊥b得2(x-z)+y-z=0? z ?

y=-2x+3z经过点(0,1)时,z取得最小
1 值 ,经过点(2,2)时,z取得最大值2, 3 1 所以 ≤z≤2. 3 1 答案:[ ,2] 3

求非线性目标函数的最值
?x ? 0, ? y ? x, ? 1.(2013·成都高二检测)已知实数x,y满足条件 ?3x ? 4y ? 12, ? x ? 2y ? 3 则 的最大值是( ) x ?1
A.9 12 B. 7 C.3 3 D. ? 4

【解析】1.选A.作出可行域.

x ? 2y ? 3 x ? 1 ? 2y ? 2 2(y ? 1) y ? 1 ? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
可以看成点B(-1,-1)与点(x,y)连线的斜率, 当然点(x,y)在可行域之内.

结合图形可知,点B(-1,-1)与可行域内的点A(0,3)连
线的斜率最大,即

y ?1 最大,最大值为 y ? 1 ? 3 ? 1 ? 4, x ?1 x ?1 0 ?1

所以zmax= 1 ? 2(y ? 1) ? 9.

x ?1

? x ? y ? 1 ? 0, y ?1 练习.已知实数x,y满足不等式组 ? 则 z? ? x ? y ? 1 ? 0, x ?1 ? y ? 3x ? 3, ? 的最大值为_______.
【解析】作出实数x,y满足的可行 域,易知在x-y+1=0与y=3x-3的交 点(2,3)处,z取得最大值.所以 zmax= 3 ? 1 ? 2 . 2 ?1 3 答案: 2 3

?x ? 2y ? 4 ? 0, 2.(2013·浏阳高二检测)已知变量x,y满足 ? ?x ? 2, ?x ? y ? 8 ? 0, 2 2 ? 则x +y 的取值范围为______.

2.作出可行域.

x2+y2可以看成点(0,0)与点(x,y)距离的平方,结合图形可

知,点(0,0)与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小,即
x2+y2最小,最小值为13;点(0,0)与可行域内的点B(2,6)

连线的距离最大,即x2+y2最大,最大值为40.所以x2+y2的取
值范围为[13,40]. 答案:[13,40]

【拓展提升】两种常见的非线性目标函数 (1)距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2. 形如z=|Ax+By+C|.
y?b (2)斜率型:形如 z ? x ? a .

注意转化的等价性及几何意义.

x ? y ? 2 ? 0, 【变式训练】已知实数x,y满足: ? 则 ? ?x ? y ? 4 ? 0, ?2x ? y ? 5 ? 0, z=|x+2y-4|的最大值为( ) ?
A.18 B.19 C.20 D.21
12 ? 22
【解析】选D. z ? x ? 2y ? 4 ? 5 x ? 2y ? 4 , 可以看成是

? x ? y ? 2 ? 0, 对应的平面区域内的点 ? ? x ? y ? 4 ? 0, ?2x ? y ? 5 ? 0 ?

到直线x+2y-4=0的距离的 5 倍,结合
图形可知|x+2y-4|的最大值是

z? 5

7 ? 2?9 ? 4 5

? 21.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 练习:已知x,y满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? (1)求Z=x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2的最小值 (2)求Z= x ? 2 y ? 4 的最大值

(1)8;(2)21

类型 三

已知目标函数的最值求参数问题

1.(2013·浙江高考)设z=kx+y,其中实数x,y满足 ?x ? 2, ? ?x ? 2y ? 4 ? 0,若z的最大值为12,则实数k=______. ?2x ? y ? 4 ? 0, ?

【解析】1.作出可行域.

考虑z=kx+y,将它变形为y=-kx+z,这是斜率为-k,随z变化 的一族平行直线,z是直线在y轴上的截距.

结合图形可知,当-k≥0时,在y轴上的截距z≤4,与题 意不符,故-k<0.所以直线y=-kx+z过点A(4,4)时,z取 最大值12,即4k+4=12,所以k=2. 答案:2

? y ? x, ? 2.设m>1,在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数z=x+5y ?x ? y ? 1 ?
的最大值为4,则m的值为_______.

2.作出可行域.

把目标函数化为 y ? ? 1 x ? z , 显然只有 y ? ? 1 x ? z 在y轴 5 5 5 5 上的截距最大时z值最大,根据图形,目标函数在点A处 取得最大值,由 ? y ? mx, 得A( 1 , m ),代入目标 ? 1? m 1? m ? x ? y ? 1, 函数,即
1 5m ? ? 4, 解得m=3. 1? m 1? m

答案:3

【变式训练】(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a>0,

?x ? 1, x,y满足约束条件 ?x ? y ? 3, 若z=2x+y的最小值为1, ? ?y ? a x ? 3 , ? ? ? 则a=( )
1 A. 4 1 B. 2

C.1

D.2

【解析】选B.画出可行域如图所示:

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而
点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a= ,故选B.

1 2

【易错误区】目标函数及边界对应直线斜率分析不当致误

【典例】(2012·石家庄高二检测)已知动点P(x,y)在正六
边形的阴影部分(含边界)内运动,如图,正六边形边长为2, 若使目标函数z=kx+y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个, 则k值为( )

A. 3

3 B. 2

C. 2

D.4

【解析】选A.由题可知,要使目标函数z=kx+y(k>0)取得最大

值且有无穷多个最优解,则相应直线经过题中的平面区域的
边界.

结合图形分析可知,当目标函数线为l2时,取得最 大值,直线kx+y=0的倾斜角为120°,① 于是有-k=tan 120°= ? 3 ,k= 3 ,选A.

?x ? y ? 6 ? 0, 【类题试解】已知实数x,y满足 ? ?x ? y ? 0, 若z=ax+y ?x ? 3, ? 的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则实数a的取值范围
为( A.a≥1 C.-1≤a≤1 ) B.a≤-1 D.a≥1或a≤-1

【解析】选C.作出x,y满足的可行域,如图阴影部分所示,

则z在点A处取得最大值,在点C处取得最小值.又kBC=-1,
kAB=1,

所以-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.

? ? y ? x ?1 2、在坐标平面上画出不等式 ? , ? ?y ? ? x ?3 所表示的平面区域并求出其面积

答案:4

1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可 行解等基本概念的理解;

2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.
最优解在可行域的顶点或边界取得.

把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域
边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.


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