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第三篇 3


第三篇
回归教材,纠错例析,帮你减少高考失分点

3.三角函数、解三角形、平面向量
要点回扣
易错警示 查缺补漏

要点回扣
1.α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)?α=θ +2kπ(k∈Z),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的 角不一定相等. 任意角的三角函数的

定义:设 α 是任意一个角, P(x,y)是 α 的终边上的任意一点 ( 异于原点 ) ,它与原点的距离是 r = y x y 2 2 x +y >0,那么 sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0),三角 r r x 函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关.

[ 问题 1] α

已知角α 的终边经过点 P(3,- 4),则 sin 1 - 5

+cos α的值为________.

2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:tan α= . cos α (3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限 -α π- α π+ α 2π-α

π -α 2
cos α
sin α

sin -sin α
cos

sin α

-sin α

-sin α
cos α

cos α -cos α -cos α

[ 问 题 2]
2 3 - 2 3 ________.

? 9π 7π? ? ? cos + tan ?- ? + sin 21π 的 值 为 4 6? ?

3.三角函数的图象与性质

(1)五点法作图;
π (2)对称轴:y=sin x,x=kπ+ ,k∈Z;y=cos x,x 2

=kπ,k∈Z; 对称中心: y= sin x , (kπ, 0), k∈Z; y = cos x ,
? ? π ? ? ?kπ+ , 0?, k∈ Z; y= tan 2 ? ? ?kπ ? ? ? x,? ,0 ?,k∈Z. ?2 ?

(3)单调区间:
? ? π π ? ? y=sin x 的增区间:?- +2kπ, +2kπ? 2 2 ? ? ?π ? 3π ? ? 减区间:? +2kπ, +2kπ? (k∈Z); 2 ?2 ?
? ? ? ? ? ? ? ?

(k∈Z),

y=cos x 的增区间: -π+2kπ,2kπ (k∈Z), 减区间:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); ? ? π π ? ? y=tan x 的增区间:?- +kπ, +kπ? (k∈Z). 2 2 ? ?

(4)周期性与奇偶性: y=sin x的最小正周期为2π,为奇函数;y=cos x的

最小正周期为2π,为偶函数;y=tan x的最小正周
期为π,为奇函数.

易错警示:求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,容易 出现以下错误: (1)不注意ω的符号,把单调性弄反,或把区间左右

的值弄反;
(2)忘掉写+2kπ,或+kπ等,忘掉写k∈Z;

(3) 书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起 . 如 ? ? π ? [0,90°]应写为?0, ? . ? 2? ?

[ 问 题 3] 函 数 ? π 5 ? ? ? k π - , k π + π ? ?(k∈ Z) ________________________. 12 12 ? ?

? π? ? ? y = sin ?-2x+ ? 的 递 减 区 间 是 3? ?

4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

令α=β sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β———→sin 2α=2sin αcos α. 令α=β cos(α± β)=cos αcos β? sin αsin β ———→cos 2α= cos2α- sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan α± tan β tan(α± β) = . 1?tan αtan β

1+cos 2α 1-cos 2α 2tan α 2 cos α= ,sin α= ,tan 2α= 2 . 2 2 1-tan α
2

在三角的恒等变形中,注意常见的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),
1 α= [(α+β)+(α-β)]. 2
? ? π π? π? π ? ? ? ? α+ =(α+β)-?β- ?,α=?α+ ?- . 4 4? 4? 4 ? ?

[ 问题 4]

已知

?3π ? 3 ? ? α, β∈ ? ,π?, sin(α + β)=- , 5 ? 4 ? ? π? - ? ? 65 cos?α+ ?=________. 4? ?

? π? 12 ? ? sin?β- ?= ,则 4 ? 13 ?

56

5.解三角形 a b c (1)正弦定理: = = =2R(R 为三角形外接 sin A sin B sin C 圆的半径 ).注意:①正弦定理的一些变式: (ⅰ)a∶b∶c a b =sin A∶sin B∶sin C; (ⅱ)sin A= , sin B = , sin C 2R 2R c = ;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已 2R

知三角形两边及一对角,求解三角形时,若运用正
弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况

进行取舍.在△ABC中A>B?sin A>sin B.
(2) 余 弦 定 理 : a2 = b2 + c2 - 2bccos A , cos A = b2+c2-a2 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 2bc

[问题 5]

在△ABC 中,a= 3,b= 2,A=60° ,

45° 则 B=________.

6.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b?b=
λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b (a≠0)?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 0 看成与任意向量平行,特别在书写时要注意,否 则有质的不同.

[ 问题 6]

下列四个命题:①若 |a|= 0 ,则 a = 0 ;

②若 |a| = |b| ,则 a = b 或 a =- b ;③若 a∥b ,则 |a|= |b|;④若 a= 0,则- a= 0.其中正确命题是 ④ ________.

7.向量的数量积 |a|2=a2=a· a, a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2, |a||b| x1+y1 x2+y2 a· b x1x2+y1y2 a 在 b 上的投影=|a|cos〈a,b〉= = . 2 2 |b| x2+y2

注意:〈a,b〉为锐角?a· b>0且a、b不同向;
〈a,b〉为直角?a· b=0且a、b≠0;

〈a,b〉为钝角?a· b<0且a、b不反向.
易错警示:投影不是“影”,投影是一个实数,可 以是正数、负数或零. [问题7] 已知|a|=3,|b|=5,且a· b=12,则向量a 12 在向量b上的投影为________. 5

8. 当 a· b = 0 时,不一定得到 a⊥b ,当 a⊥b 时, a· b=0;

a· b = c· b ,不能得到 a = c ,消去律不成立; (a· b)c 与
a(b· c)不一定相等,(a· b)c与c平行,而a(b· c)与a平行. [ 问题 8] 下列各命题:①若 a· b = 0 ,则 a、 b中至少 有一个为0;②若a≠0,a· b = a· c,则b=c;③对任意 向量a、b、c,有(a· b)c ≠ a(b · c);④对任一向量a,有 ④ a2=|a|2.其中正确命题是________.

9.几个向量常用结论: → → → ①PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心; → → → → → → ②PA· PB=PB· PC=PC· PA?P 为△ABC 的垂心; → → AB AC ③向量 λ( + ) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心; → → |AB| |AC| → → → ④|PA|=|PB|=|PC|?P 为△ABC 的外心.

易错警示
? 易错点1 ? 易错点2 ? 易错点3 图象变换方向或变换量把握不准致误 忽视隐含条件的挖掘致误 忽视向量共线致误

易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误

要得到y=sin(-3x)的图象,需将y= 2 (cos 3x 2 -sin 3x)的图象向______平移______个单位(写出其 例1

中的一种特例即可).
错解 右 π 或右 4 π 12

找准失分点
?π ? 2 ? y= (cos 3x-sin 3x)=sin?4-3x? ? 2 ? ? ? ? ? π? ? ? ?? =sin?-3?x-12??. ? ? ??

题目要求是由

? π? ? ? y=sin?-3x+ ?→y=sin(-3x). 4? ?

π π 右移 平移方向和平移量都错了;右移 平移方向错了 . 4 12

?π ? ? ? ? 2 π? ? ? ? ? ?? 正解 y= (cos 3x-sin 3x)=sin? -3x?=sin?-3?x- ??, 2 12?? ?4 ? ? ?
? ? ? π? π ? ? ?? 要由 y=sin?-3?x- ??得到 y=sin(-3x)只需对 x 加上 12?? 12 ? ?

即可,
2 π 因而是对 y= (cos 3x-sin 3x)向左平移 个单位. 2 12 π 答案 左 12

易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误
1 5 3 π π 例 2 已知 cos α= ,sin(α+β)= ,0<α< ,0<β< , 求 cos β. 7 14 2 2 π π 错解 由 0<α< ,0<β< ,得 0<α+β<π, 2 2 11 则 cos(α+β)=± . 14
1 π 4 3 由 cos α= ,0<α< ,得 sin α= . 7 2 7 故 cos β=cos[ (α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)· sin α

71 1 = 或 . 98 2

找准失分点

5 3 3 由 0<α+β<π,且 sin(α+β)= < , 14 2

π 2π 1 1 ∴0<α+β< 或 <α+β<π,又 cos α= < , 3 3 7 2
?2π ? π π ? ? ∴ <α< ,即 α+β∈? ,π?, 3 2 ? 3 ? 11 ∴cos(α+β)=- . 14

π 1 π 1 正解 ∵0<α< 且 cos α= <cos = , 2 7 3 2 π π π ∴ <α< ,又 0<β< , 3 2 2
π 5 3 3 ∴ <α+β<π,又 sin(α+β)= < , 3 14 2
2π ∴ <α+β<π. 3

11 ∴cos(α+β)=- 1-sin ?α+β?=- , 14
2

4 3 sin α= 1-cos α = . 7
2

∴cos β=cos[(α+β)-α]
1 =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= . 2

易错点3 忽视向量共线致误

例3

已知 a = (2,1) , b = (λ , 1) , λ∈R , a 与 b 的夹

角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________. 2λ+1 a· b 错解 ∵cos θ= = . 2 |a|· |b| 5· λ +1

因θ为锐角,有cos θ>0,
5· λ +1 ? ? 1 1 ? ? 得 λ>- ,λ 的取值范围是?- ,+∞?. 2 ? 2 ?
2



2λ+1

>0?2λ+1>0,

找准失分点

θ为锐角,故0<cos θ<1,错解中没有排除cos θ=1
即共线且同向的情况.

正解 由θ为锐角,有0<cos θ<1.
2λ+1 a· b 又∵cos θ= = , 2 |a|· |b| 5· λ +1
2λ+1 ∴0< ≠ 1, 2 5· λ +1

? 1 ? ?λ>- , ?2λ+1>0, 2 ∴? ,解得? 2 ? ?2λ+1≠ 5· λ +1 ?λ≠2. ?

∴λ

? ? ? 1 ? ? 的取值范围是?λ|λ>- 且λ≠2 ? . ? 2 ? ?
? ? ? 1 ? ?λ|λ>- 且 λ≠ 2 ? ? ? 2 ? ?

答案

查缺补漏
cos α=( D ) 4 A. 5 3 B. 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

1.(2014· 大纲全国)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则

3 C.- 5

4 D.- 5

解析

因为角α的终边经过点(-4,3),

所以x=-4,y=3,r=5, x 4 所以 cos α= =- . 5 r

查缺补漏
c=tan 35°,则( C ) A.a>b>c

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

2.(2014· 大纲全国)设a=sin 33°,b=cos 55°,

B.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b

解析 ∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°, sin 35° c=tan 35°= , cos 35° 又0<cos 35°<1,∴c>b>a.

查缺补漏

1

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3

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9 10

4 π 3.已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值 3 4 为( 2 A. 3 ) 2 B.- 3 1 C. 3 1 D.- 3

查缺补漏
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

16 7 ∴(sin θ+cos θ) =1+sin 2θ= ,∴sin 2θ= , 9 9 π 又 0<θ< ,∴sin θ<cos θ. 4
2

4 ∵sin θ+cos θ= , 3

∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2
2 =- 1-sin 2θ=- . 3 答案 B

查缺补漏

1

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3

4

5

6

7

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9 10

4.已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c- a-b|=1,则|c|的取值范围是( A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] ) B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

解析

∵ a· b=0,且a,b是单位向量,∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|2=c2-2c· (a+ b) + 2a· b+a2+b2=1,
∴2c· (a+b)=c2+1.

查缺补漏

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9 10

∵|a|=|b|=1且a· b=0,∴|a+b|= 2 ,
∴c2+1=2 2 |c|cos θ(θ是c与a+b的夹角). 又-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2 |c|, ∴c2-2 2 |c|+1≤0, ∴ 2 -1≤|c|≤ 2 +1. 答案 A

查缺补漏

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9 10

5.函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分 图象如图所示,那么 f(0)等于( 1 A.- 2 3 C.- 2 B.-1 D.- 3 )

查缺补漏

1

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3

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5

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9 10

解析 由题图可知,函数的最大值为2,因此A=2.
?π ? ? ? 又因为函数经过点? ,2?,则 ?3 ? ? ? π ? ? 2sin?2× +φ?=2, 3 ? ?

π π 即 2× +φ= +2kπ,k∈Z, 3 2 π 得 φ=- +2kπ,k∈Z. 6 ? ? π ? ? f(0)=2sin φ=2sin?- +2kπ?=-1. 6 ? ? 答案 B

查缺补漏

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9 10

6.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,
c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为( C ) 3 2 1 1 A. B. C. D.- 2 2 2 2 a2+b2-c2 c2 解析 ∵cos C= = , 2ab 2ab 又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2.
1 1 ∴cos C≥ .∴cos C 的最小值为 . 2 2

查缺补漏

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→ → 7.(2014· 山东)在△ABC 中, 已知AB· AC=tan A, 当A

1 π = 时,△ABC 的面积为________. 6 6 π 解析 已知 A= , 6 π π → → 2 → → 由题意得|AB||AC|cos =tan ,|AB||AC|= , 6 6 3 1→ → π 1 2 1 1 所以△ABC 的面积 S= |AB||AC|sin = × × = . 2 6 2 3 2 6

查缺补漏

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8.(2014· 江 苏 ) 已 知 函 数 y = cos x 与 y = sin(2x + π φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 3 π φ的值是________. 6
解析 由题意,得
? ? π ? ? sin?2× +φ?=cos 3 ? ?

π , 3

π 因为 0≤φ<π,所以 φ= . 6

查缺补漏

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9 10

9.已知函数f(x)=Asin(ω+φ),x∈R π π (其中A>0,ω>0,- <φ< ),其部分 2 2 图象如图所示.若横坐标分别为-1,1,5的三点M,N, P 都在函数 f(x) 的图象上,记 ∠MNP = θ ,则 cos 2θ 的

值是________.

查缺补漏
解析

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2

3

4

5

6

7

8

9 10

由图可知,A=1,f(x)的最小正周期T=8, 2π π 所以 T= =8,即 ω= . 4 ω π π π 又 f(1)=sin( +φ)=1,且- <φ< , 4 2 2 π π 3π 所以- <φ+ < , 4 4 4 π π π 即 φ+ = ,所以 φ= . 4 2 4 π 所以 f(x)=sin (x+1). 4

查缺补漏

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因为f(-1)=0,f(1)=1,f(5)=-1, 所以M(-1,0),N(1,1),P(5,-1). → → → → 所以NM=(-2, -1), NP=(4, -2), NM· NP=-6,
→ → |NM|= 5,|NP|=2 5,

→ → NM· NP 3 则 cos∠MNP= =- , 5 → → |NM|· |NP|

查缺补漏
3 即 cos θ=- . 5

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3

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9 10

7 于是 cos 2θ=2cos θ-1=- . 25 7 答案 - 25
2

查缺补漏

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π 10.(2014· 天津 )已知函数 f(x)= cos x · sin(x + )- 3cos2x 3 3 + ,x∈R. 4 (1)求 f(x)的最小正周期;
解 由已知,

1 3 3 2 有 f(x)=cos x· ( sin x+ cos x)- 3cos x+ 2 2 4

查缺补漏

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9 10

1 3 2 3 = sin x· cos x- cos x+ 2 2 4
1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4
1 3 1 π = sin 2x- cos 2x= sin(2x- ). 4 4 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

查缺补漏

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π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 π π 解 因为 f(x)在区间[- , - ]上是减函数, 在区间 4 12

π π [- , ]上是增函数, 12 4
π 1 π 1 π 1 f(- )=- ,f(- )=- ,f( )= , 4 4 12 2 4 4

查缺补漏

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π π 1 所以,函数 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最 4 4 4 1 小值为- . 2

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