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第三章 3.2 第二课时 空间向量与垂直关系


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3.2
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第二课时

空间向量与垂直关系

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直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面 的位置.因此,可用向量方法解决线面垂直关系的判断及 证明.

问题1:直线的方向向量与一平面的法向量平行,则
该直线与平面有什么关系? 提示:垂直. 问题2:若两平面的法向量垂直,则两平面垂直吗? 提示:垂直.
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证明垂直关系的向量方法 线线垂直 证明两直线的方 向向量垂直 线面垂直 面面垂直 证明两个平面的 法向量垂直

证明直线的方向
向量与平面的法 向量是平行向量

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用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系, 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系,

因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键.

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[例1]

在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,

F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:
A1F⊥C1E.

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[精解详析]

以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角

坐标系,则 A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设 AE=BF=x, 则 E(a,x,0),F(a-x,a,0). ∴ A1 F =(-x,a,-a),

C1 E =(a,x-a,-a).
∵ A1 F · (a,x-a,-a) C1 E =(-x,a,-a)· =-ax+ax-a2+a2=0, ∴ A1 F ⊥ C1 E ,即 A1F⊥C1E.
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[一点通]

利用向量法证明线线垂直往往转化为证

明直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向量的数 量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系,正 确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量.

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1.设直线l1的方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的方向向
量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m= A.1 C.-3 解析:l1⊥l2?a⊥b, ∴2×2+1×2+(-2)×m=0,∴m=3. 答案:D B.-2 D.3 ( )

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2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为 AC的中点.

证明: (1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
证明:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 设正方体的棱长为 1,则 B(1,1,0)、 1 1 D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E( , ,0),B1(1,1,1). 2 2
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(1) BD1 =(-1,-1,1), AC =(-1,1,0),
AC =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴ BD1 ·

∴ BD1 ⊥ AC ,∴BD1⊥AC. 1 1 (2) BD1 =(-1,-1,1), EB1 =(2,2,1), 1 1 ∴ BD1 · EB1 =(-1)×2+(-1)×2+1×1=0, ∴ BD1 ⊥ EB1 ,∴BD1⊥EB1.
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[例2] 如图所示,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的

中点.
求证:EF⊥平面B1AC.

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[精解详析] 法一:设 AB =a, AD =c, AA1 =b, 1 则 EF = EB1 + B1 F = ( BB1 + B1 D1 ) 2 1 1 = ( AA1 + BD )= ( AA1 + AD - AB ) 2 2 1 = (-a+b+c). 2 ∵ AB1 = AB + AA1 =a+b, 1 ∴ EF · (a+b) AB1 =2(-a+b+c)·
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1 2 = (b -a2+c· a+c· b) 2 1 2 = (|b| -|a|2+0+0)=0. 2 ∴ EF ⊥ AB1 ,即 EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面 B1AC. 法二:设正方体的棱长为 2,以 D 为原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分 别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系,
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则 A(2,0,0),C(0,2,0), B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2). ∴ EF =(1,1,2)-(2,2,1) =(-1,-1,1),

AB1 =(2,2,2)-(2,0,0)
=(0,2,2),
AC =(0,2,0)-(2,0,0)

=(-2,2,0).

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∴ EF · (0,2,2) AB1 =(-1,-1,1)· =(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,
AC =(-1,-1,1)· (-2,2,0)=2-2+0=0, EF ·

∴ EF ⊥ AB1 , EF ⊥ AC , ∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又 AB1∩AC=A, ∴EF⊥平面 B1AC.

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法三:同法二得 AB1 =(0,2,2), AC =(-2,2,0),

EF =(-1,-1,1).
设平面 B1AC 的法向量 n=(x,y,z), 则 AB1 · n=0, AC · n=0,
? ?2y+2z=0, 即? ? ?-2x+2y=0.

取 x=1,则 y=1,z=-1,

∴n=(1,1,-1), ∴ EF =-n, ∴ EF ∥n, ∴EF⊥平面 B1AC.
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[一点通]

法一选基底,将相关向量用基底表示出来,

然后利用向量的计算来证明.法二、法三建立空间直角坐 标系,利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算, 以达到证明的目的.

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3.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u= (1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z= ________. 解析:∵l⊥α,v∥α,∴u⊥v. ∴(1,3,z)· (3,-2,1)=0,即3-6+z=0,z=3.

答案:3

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4.如图所示,在正方体ABCD-

A1B1C1D1中,O为AC与BD的
交点,G为CC1的中点,求证: A1O⊥平面GBD.
证明:法一:设 A1 B 1 =a, A1 D 1 =b, A1 A =c, 则 a· b=0,b· c=0,a· c=0. 1 而 A1O = A1 A + AO = A1 A +2( AB + AD ) 1 =c+2(a+b),
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BD = AD - AB =b-a,
1 1 1 1 OG = OC + CG = ( AB + AD )+ CC1 = (a+b)- c, 2 2 2 2 1 1 ∴ A1O · (b-a) BD =(c+2a+2b)· 1 = c· (b-a)+2(a+b)· (b-a) 1 = c· b-c· a+2(b2-a2) 1 2 =2(|b| -|a|2)=0. ∴ A1O ⊥ BD ,∴A1O⊥BD.
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同理可证,A1O⊥OG. 又∵OG∩BD=O,

∴A1O⊥平面GBD.
法二:如图,取D为坐标原点,DA, DC,DD1所在的直线分别为x轴, y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2,

则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),
B(2,2,0),D(0,0,0),
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∴ OA1 =(1,-1,2), OB =(1,1,0), BG =(-2,0,1),
OB =1-1+0=0, 而 OA1 ·

BG =-2+0+2=0, OA1 ·

∴ OA1 ⊥ OB , OA1 ⊥ BG ,即 OA1⊥OB,OA1⊥BG. 而 OB∩BG=B, ∴OA1⊥平面 GBD.

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[例 3] 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右图所示,截面 为 A1B1C1,∠BAC=90° ,A1A⊥平面 ABC,A1A= 3,AB=AC=2A1C1=2, D 为 BC 的中点.证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. [思路点拨] 思路一: 证明BC⊥AD →
证明BC⊥AA1 → BC⊥平面A1AD → 平面A1AD⊥平面BCC1B1 思路二: 求平面A1AD的法向量n1 → 求平面BCC1B1的法向量n2 → 证明n1· n2=0 → 平面A1AD⊥平面BCC1B1
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[精解详析]

法一:如右图,建立空间直角坐标系,

则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0, 3),C1(0,1, 3). ∵D 为 BC 的中点, ∴D 点坐标为(1,1,0). ∴ AD =(1,1,0), AA1 =(0,0, 3), BC =(-2,2,0).
BC =1×(-2)+1×2+0×0=0, AA1 · BC ∴ AD ·

=0×(-2)+0×2+ 3×0=0.

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∴ AD ⊥ BC , AA1 ⊥ BC .∴BC⊥AD,BC⊥AA1. 又 A1A∩AD=A,∴BC⊥平面 A1AD. 又 BC?平面 BCC1B1,∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 法二: 同证法一建系后, 得 AA1 =(0,0, 3), AD =(1,1,0),
BC =(-2,2,0), CC1 =(0,-1, 3).设平面 A1AD 的法向

量为 n1=(x1,y1,z1),平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2,y2, z2).

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? ?n1· AA1 =0, ? 3z1=0, 由? 得? ? ?x1+y1=0. AD =0, ?n1·

令 y1=-1,则 x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).
? ?n2· BC =0, ?-2x2+2y2=0, 由? 得? ? CC1 =0, ?-y2+ 3z2=0. ?n2·

3 3 令 y2=1,则 x2=1,z2= 3 ,∴n2=(1,1, 3 ). ∵n1· n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.
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[一点通]

证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面

面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是 证明两个平面的法向量互相垂直.

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5.在正棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是 △PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶ EC=PF∶FB=1∶2. 求证:平面GEF⊥平面PBC. 证明:法一:如图,以三棱锥的顶点 P为原点,以PA,PB,PC所在直线分 别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3), E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),
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于是 PA=(3,0,0),
FG =(1,0,0),

故 PA=3 FG ,∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC,∴FG⊥平面 PBC, 又 FG?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PBC. 法二:同证法一,建立空间直角坐标系,则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0).

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∴ EF =(0,-1,-1), EG =(1,-1,-1). 设平面 EFG 的法向量是 n=(x, y, z), 则有 n⊥ EF , n⊥ EG .
? ?y+z=0, ∴? ? ?x-y-z=0.

令 y=1,得 z=-1,x=0,

即 n=(0,1,-1). 显然 PA=(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量. 又 n· PA=0,∴n⊥ PA,即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直,∴平面 EFG⊥平面 PBC.
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6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中 点,求证:平面AED⊥平面A1FD1.
证明:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz.

设正方体棱长为 1, 1 1 则 E(1,1, ),D1(0,0,1),F(0, ,0),A(1,0,0). 2 2 1 ∴ DA=(1,0,0)= D1 A1 , DE =(1,1, ), 2
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1 = (0 , ,-1). D1 F 2 设 m=(x1, y1, z1), n=(x2, y2, z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 的一个法向量. x =0, ? ?m· ? 1 DA=0, 由? ?? 1 x +y + z =0. DE =0 ?m· ? ? 1 1 21 令 y1=1,得 m=(0,1,-2).
x =0, ? ?n· D1 A1 =0, ? 2 又由? ??1 y -z =0. D1 F =0 ? ?n· ?2 2 2 令 z2=1,得 n=(0,2,1). ∵m· n=(0,1,-2)· (0,2,1)=0, ∴m⊥n,故平面 AED⊥平面 A1FD1.
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1.用向量法证明线面垂直的方法与步骤
①设出基向量,用基向量表示直线的方向向量 ? ? (1)基向量法?②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示 ? ?③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直

? ?①建立空间直角坐标系 ? ?②将直线的方向向量用坐标表示 ? ?方法一?③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示 ? ? ?④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直 (2)坐标法? ? ①建立空间坐标系 ? ? ? ?方法二?②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示 ? ? ?④证明平面的法向量与直线的方向向量平行 ?
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2.利用空间向量证明面面垂直,通常可以有两个途径, 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为 线面垂直,进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面 的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂 直.

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