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积分不等式经典习题


积分不等式 ∫ 1 1 1 1. 证明: < sin x2 dx < . 5 3 0 ∫ 2π 1 esin x dx < 2πe 4 . 2. 证明: ∫ 3. 证明:
2003 0 2004

sin t2 dt < 16 < 9 ∫
π 2

1 (tid=2211) 2003

x 418 dx < (tid=14926), (tid=14858) sin x 225 0 ∫ π 2 sin x π π3 5. 证明: 0 < ? dx < (tid=21007) 2 x 144 0 ∫ ∞ a π sin x 6. 证明: dx √ ,(a 2) (tid=22254) x 2a 0 4. 试证: 7. 对于 n ∈ N? , n 2, 求证: ∫
0
π 2

2 + ln n sin(2n + 1)t dt < π sin t 2

(tid=24721), (tid=16140), (tid=24846), (tid=21007) ( )4 ∫ π 2 sin nt π 2 n2 t 8. 证明: dt < (tid=16140), (tid=24846), (tid=21007) sin t 4 0 9. 设 A > 0, b > a 0, 证明: ∫
a b

sin(nt ? (tid=22671) 10. 已知 c 为常数, 且 |ai | 1, 求证: ∫
0 π

A 2 )dt < t2 n

k ∑ ai sin(i + 1 )x 2 dx 1 2 sin 2 x i=0

c(k + 1)

(tid=16054) 11. 设 f (x),g (x) 是 [0, 1] ?→ [0, 1] 的连续函数, 且 f (x) 单调递增, 求证: ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 f (g (x))dx f (x)dx + g (x)dx.
0 0 0

(tid=22825) 12. 已知 f (x) ∈ C 2 [?l, l],f (0) = 0 证明: (∫ l f (x) dx
?l

)2

l5 10

∫l
?l

(f ′′ (x)) dx
2

(thread-271), (tid=23028)

2 13. 若 f (x) 在 (a, b) 上可微, 且 |f ′ (x)| ∫
a b

M , 则: (b ? a)2 M (f (a) ? f (b))2 ? 4 4M

f (x)dx ? (1797960483)

b?a (f (a) + f (b)) 2

14. 函数f (x) 在[0, 2] 连续、可导, 且f (0) = f (2) = 1. 如果|f ′ | ∫ 1
0 2

1, 求证:

f (x)dx

3.

(tid=24, (1309040327) 15. 函数 f (x) 在 [a, b] 上连续可导, 且满足 p k= 则 ∫
a

f ′ (x)

q. 记

f (a) ? f (b) a?b (p ? k )(q ? k ) (b ? a)2 p?q

b

f (x) dx ? (tid=54)

b?a [f (a) + f (b)] 2

∫ 16. 设函数f 在[?1, 1] 上可导,M = sup |f |. 若存在a ∈ (0, 1), 使得


a

f (x)dx = 0, 求证:

?a



1

f (x)dx
?1

M (1 ? a2 ).

(tid=25) 17. 已知 φ : (0, +∞) → (0, +∞) 是一个严格单调递减的连续函数, 满足
t→0+

lim φ(t) = +∞. ∫
+∞




0

+∞

φ(t)dt =
0

φ?1 (t)dt = a < +∞,

其中 φ?1 表示 φ 的反函数. 求证: ∫ +∞ ∫ 2 [φ(t)] dt +
0 0

+∞

[φ?1 (t)]2 dt

1 2 3 a 2

(tid=21706) 18. 设 x > 0, 令 R(x) = e
x2 2


x

+∞

e dt, 证明: 当 x R(x)

t2 2



2 时, 有 π+2

2x √ x4 + 6x2 + 1 + x2 ? 1

(tid=3188)

3 19. 设函数 f 在区间 [a, b] 上处处大于 0, 且对于 L > 0 满足 Lipschitz 条件 |f (x1 ) ? f (x2 )| L|x1 ? x2 |, 又已知对于 a c ∫
c

d
d

b有 dx = α, f (x) ∫
a b

dx =β f (x) ∫
c d

证明下列积分不等式:


a

b

f (x)dx (tid=3588), (tid=23950)

e2Lβ ? 1 2Lα

f (x)dx

20. 设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上具有连续导数, 证明: (a) 对任意的 x ∈ [a, b], 有 |f (x)| 1 b?a ∫
a b

∫ f (x)dx +
a

b

|f ′ (x)|dx.

(b) 当 f (a) ?= f (b) 时,(a) 中成立严格不等式. (tid=14747) 21. 若存在正整数 a, 使得连续函数 f : [0, +∞) → [0, +∞) 满足 f [f (x)] = xa ,?x ∈ [0, +∞). 求证: ∫
0 1

[f (x)]2 dx (tid=13892), (tid=21151), 1940822007

a2

2a ? 1 . + 6a ? 3

22. 设 f (x),g (x) 在 [0, 1] 上单调, 导函数连续, 且 f (0) = 0, 证明: 对任意的 α ∈ [0, 1], 有 ∫ 1 ∫ α f (x)g ′ (x)dx f (α)g (1) g (x)f ′ (x)dx +
0 0

(tid=4031) 23. 设函数 f (x) 在 [0, 1] 上有连续导数, 且 f (0) = f (1) = 0, 证明: ∫ 1 1 ′ |f (x)|2 dx. (tid=15287) (a) 对于任意的 ξ ∈ (0, 1) 有 |f (ξ )|2 4 0 ∫ 1 ∫ 1 1 ′ 2 |f (x)| dx |f (x)|2 dx. (tid=21433) (b) 4 0 0 24. f 定义在 (0, 1) 上,f 的二阶导数连续,f (0) = f (1) = 0, 证明: ∫ 1 |f ′′ |dx 4 max |f |
0

(tid=22541) 25. 已知 f 在 [0, T ] 内二阶连续可导, 设 M = max f ,m = min f , 证明: ∫ T M ?m T |f ′′ |dx
0

(tid=21705), (tid=23145), (tid=22044)

4 ∫ 26. 已知恒正且单调增, 设
0 1

∫ xf (x)dx = s
0

1

f (x)dx, 求证: ∫
1


0

s

f (x)dx
s

f (x)dx

(tid=15651) 27. 设椭圆 x2 y 2 + 2 = 1(a > 0, b > 0) 的周长为 s, 证明: a2 b √ π (a + b) s π 2a2 + 2b2

(tid=22091) 28. f (x) 在区间 [0, 1] 上二阶连续可微, 求证: ∫
0 1

|f ′ (x)|dx

∫ 9
0

1

∫ |f (x)|dx +
0

1

|f ′′ (x)|dx

(tid=22148), (tid=22694) 29. 设 f : R → R 满足 ∫
R

0

f

M1 , M2 ,

f (x)x2 dx 则 ∫ f (x)dx
R

(πM1 )2/3 (3M2 )1/3 .

(tid=20620) ∫ 30. 设 f (x) 是任意的实系数 n 次多项式且满足
?1 1

[f (x)]2 dx = 1, 求证:

|f (x)| (tid=22530) ∫ 31. 设函数在 [a, b] 上可微,|f (x)|
′ b

√ 2(n + 1) 2 ∫ f (x)dx = 0, 对 F (x) =
a a

x

M. 且 |F (x)|

f (t)dt, 证明:

M (b ? a)2 . 8

(tid=22703) 32. 函数 f (x) 为 [0, π ] 上的 Riemann 可积函数 2 (∫ π )2 ∫ π 2 2 1 f (x)dx [f (x)]2 sin xdx 4 0 0

(tid=22747

5 ∫ 33. 设 f (x) 是定义在 R 上的连续可微函数, 且周期为 T > 0,
0 T

f (x) dx = 0, 证明:


0

T

[f ′ (x)]2 dx

4π 2 T2


0

T

f 2 (x)dx

(tid=22930) 34. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续可导, 则当 x ∈ [0, 1] 时, 有 1 |f ( ) | 2 (tid=23196) ∫ 35. 已知 f (x) 0,f ∈ C [a, b],
a b


0

1

|f (x)|dx +

1 2


0

1

|f ′ (x)|dx

f (x)dx = 1, 求证: )2 (∫ +
a b

(∫
a

b

)2 f (x) sin kxdx 1

f (x) cos kxdx (tid=23126)

∫ 36. 设函数 f 在 [a, b] 上可微,|f ′ (x)| (a) 证明:|F (x)| M (b ? a)2 ; 8 M, 且
a

b

∫ f (x)dx = 0. 对于函数 F (x) =
a

x

f (t)dt,

(b) 在增加条件 f (a) = f (b) = 0 时证明:|F (x)| (tid=23869), (tid=23870) 37. 设 f 在 [a, b] 上二阶可微,f (a) = f (b) = 0,|f ′′ (x)| ∫
a b

M (b ? a)2 . 16

M , 证明:

f (x)dx (tid=23869), vtid=23870 38. 设 f ∈ C 1 [a, b] 且 f (a) = 0, 证明: ∫
a b

M (b ? a)3 12

f 2 (x)dx (tid=23923)

(b ? a)2 2


a

b

(f ′ (x))2 dx ?

1 2


a

b

(f ′ (x))2 (x ? a)2 dx

39. 已知 f (x) 在 [0, 1] 上连续且递减, 证明: ∫
1

∫ xf 2 (x)dx

1

f 2 (x)dx
0 ∫ 1

0 ∫ 1

xf (x)dx
0 0

f (x)dx

(tid=22400)

6 40. 已知函数 f 在 [0,1] 上连续可导, 且 f (0) = f (1) = 0, 求证: ∫ 1 ∫ 1 1 ′ ′ |f (x)f (x)|dx [f (x)]2 dx 4 0 0 (tid=14237) 41. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续, 且 1 2. 证明: ∫ 1 ∫ 1 1 f (x)dx dx f ( x) 0 0 f (x)

9 8

(tid=24780), (tid=21591) 42. 设 f 在 [a, b] 上为上凸可微函数,f (a) = f (b) = 0,f ′ (a) = α > 0,f ′ (b) = β < 0, 证明: ∫
a b

f (x)dx (tid=24325) 43. 设 Γ 为 Gamma 函数 Γ(x) =
0

1 (b ? a)2 αβ · 2 β?α





e?s sx?1 ds, x > 0

证明: (a) 若 0 x 1, y > 0, 则 Γ(x + y ) (b) 若 x 1, y > 0, 则 Γ(x + y ) (tid=24754) 44. f (x) 在 [0, 1] 上二阶连续可导, 证明: max |f (x)|


Γ(y )y x .

Γ(y )y x .

∫ |f (1) ? f (0)| +
0

1

x∈[0,1]

|f ′′ (x)|dx.

(tid=23611) ∫ 45. 已知 f (x),g (x),h(x) 均为连续的非负函数,g (t) < f (t) + ∫ ∞ g (x)dx = A, 证明:
0 0 t

g (x)h(x)dx, f ′ (x) > 0 且

g (x) < eA f (x). ∫ ∫ f (x)dx = 0,
0 0

(tid=22958)
1 1

46. f (x) 在 [0, 1] 上连续, 并且有 得 |f (ξ )| > 4. (tid=21452) 以下习题来自西西 (tian27546)

xf (x)dx = 1, 证明: 存在 ξ ∈ [0, 1] 使

7 47. 设 f (x) 是在 [0, 1] 上非负的连续凹函数, 且 f (0) = 1, 证明: [∫ 1 ]2 ∫ 1 1 f (x)dx . 2 x2 f (x)dx + 12 0 0 (tid=23024) 48. 设 f 是一般二次函数形式, 证明: ∫ 1 2 (1 ? x2 ) [f ′ (x)] dx
?1

∫ 6

1

[f (x)] dx.
?1

2

(tid=23024) ∫ 49. 设 f : [0, 1] ?→ R 的可积函数, 且 |f (x)| 0, 证明: ∫
0 1 1

∫ xf (x)dx = 0, 设 F (x) =
0

x

1,
0

f (y )dy

∫ f (x)dx + 5
0 2

1

∫ F (x)dx
2

1

6
0

f (x)F (x)dx.

(tid=23883) ∫ 50. 设 f : [0, 1] ?→ R 的连续函数,
0 1

f 3 (x)dx = 0, 求证:
4


0

1

f (x)dx (tid=23883)

27 4

(∫
0

1

)4 f (x)dx .

1 51. 设 f : [0, 1] ?→ R 的可导函数, 且 f (0) = f (1) = ? , 求证: 6 ∫ 1 ∫ 1 1 2 ′ f (x)dx + (f (x)) dx 2 4 0 0 (tid=23883) 52. 设 f : [a, b] ?→ R 有二阶导数, 且 f ′ (x),f ′′ (x) 都是连续函数, 若 m = min f ′′ (x),M =
x∈[a,b] x∈[a,b]

max f ′′ (x), 证明: m (b2 ? a2 ) 2 bf ′ (b) ? af ′ (a) ? f (b) + f (a) ∫

M (b2 ? a2 ) . 2

(tid=23883)
1

53. 设 f 是在 [0, 1] 上的可积实函数, 且 证明:
0

f (x)dx = 0, m = min f (x),M = max f (x),
x∈[0,1] x∈[0,1]


0

1

(∫
0

x

)2 f (y )dy dx ∫ ?

( ) mM 3M 2 ? 8mM + 3m2 . 2 6(M ? m)

(tid=23883) 54. 设 f 在 [0, 1] 上连续可导, 且
1 3 2 3

f (x)dx = 1, 求证: (∫ 27
0 2 1


0

1

(f ′ (x)) dx

)2 f (x)dx .

(1945551092)

8 ∫ 55. 设 f : [0, 1] ?→ R 的连续可微函数,
0
1 2

f (x)dx = 0, 求证: (∫
1


0

1

(f (x)) dx (1944866386)



2

12
0

)2 f (x)dx .

网友 Tesla35 编辑于 2012 年 10 月 29 日 修改建议请发送至 yunan8735@yahoo.com.cn


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