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2013年绵阳二诊数学试题第15题详解


2013 年绵阳二诊数学试题第 15 题详解 15.已知函数 f(x),若对给定的三角形 ABC,它的三边长为 a,b,c 均在函数 f(x)的定义域内,都有 f(a),f(b),f(c) 也为某三角形的三边长,则称 f(x)是△ABC 的“三角形函数” 。下面给出的四个命题: ①函数 x∈(0,+∞)是任意三角形的“三角形函数

②若定义在(0,+∞)的周期

函数 f2(x)的值域也是(0,+∞) ,则 f2(x)是任意三角形的“三角函数”

( ( ③若 f3(x)=x3-3x+m 在区间 , ) 上市某三角形的“三角形函数” ,则 m 的取值范围是

2 4 3 3

62 ,?) + 27

④若 a,b,c 是锐角△ABC 的三边长,且 a,b,c ? N ? ,则 f4 (x)=x2 +ln x,(x>0) 是△ABC 的“三角形函数” 以上命题正确的有 (写出所有正确命题的序号) 解:①任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c,不妨假设 a≤c,b≤c,由于

? ( a + b ) 2 =a +b+2 ab >a +b ? a + b > a +b ? a +b>c ? a + b > a +b > c
②设 T>0 为 g(x)的一个周期,由于其值域为(0,+∞) , 所以,存在 n>m>0,使得 g(m)=1,g(n)=2, 取正整数 λ,可知 λT+m,λT+m,n 这三个数可作为一个三角形的三边长, 但 g(λT+m)=1,g(λT+m)=1,g(n)=2 不能作为任何一个三角形的三边长. 故 g(x)不是“保三角形函数”. ③ ,

? f3? (x)=3 x 2 -3 ? f3 (x)在(-1,1)单调减,在( ,?)单调增。 1+ 2 4 2 4 ? x ? ,)且f 3 (1)<f 3 ( )<f 3 ( ) ( 3 3 3 3 ? 要某三角形的“三角形函数” ,思考等边三角形 即三边都相等的时候应该成立就可以了。 4 4 ? ( )3 -3 ? +m>0 3 3 44 ? m> 27
④a,b,c 是锐角△ABC 的三边长,

Bashuyueci

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不妨设a ? c,b ? c,则c<a +b ? 2c ? ln (a +b)> ln c ? ?ABC是锐角三角形 ? a 2 +b 2 -c 2 >0 ? a,b,c ? N ? 1 1 ?当a ? 2,且b ? 2,有0< + ? 1 a b 1 ? ?1 1 1 + a b 1 ? ln ?0 1 1 + a b ab ? ln ?0 a +b ? ln a + ln b ? ln (a +b)>lnc 当a=1时,b=2,,则c=2 当a=1时,b=1,则c=1 综上有,f (a )+f (b)>f (c )
在本题的基础上,还有类似的题型如下 (一)

(I)判断 不是,并说明理由;

,f2(x)=x,f3(x)=x2 中,哪些是“保三角形函数”,哪些

(II)如果 g(x)是定义在 R 上的周期函数,且值域为(0,+∞) ,证明 g(x) 不是“保三角形函数”; (III)若函数 F(x)=sinx,x∈(0,A)是“保三角形函数”,求 A 的最大值. (可以利用公式 )

解: (I)f1(x) 2(x)是“保三角形函数”,f3(x)不是“保三角形函数”. ,f 任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c,不妨假设 a≤c,b≤c, 由于 ,所以 f1(x) 2(x)是“保三角形函数”. ,f 对于 f3(x) ,3,3,5 可作为一个三角形的三边长,但 32+32<52, 所以不存在三角形以 32,32,52 为三边长,故 f3(x)不是“保三角形函数”. (II)设 T>0 为 g(x)的一个周期,由于其值域为(0,+∞) , 所以,存在 n>m>0,使得 g(m)=1,g(n)=2, 取正整数 ,可知 λT+m,λT+m,n 这三个数可作为一个三角形的三边长,

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但 g(λT+m)=1,g(λT+m)=1,g(n)=2 不能作为任何一个三角形的三边长. 故 g(x)不是“保三角形函数”. (III)A 的最大值为 ① 若 取 但 故 F(x)不是“保三角形函数”. ② 当 时,对任意三角形的三边 a,b,c,若 ,则分类讨论如下: , ,显然这三个数可作为一个三角形的三边长, 不能作为任何一个三角形的三边长,

(1)a+b+c≥2π, 此时 ∴ ,故 ,同理, , , .

同理可证其余两式. ∴ sina,sinb,sinc 可作为某个三角形的三边长. (2)a+b+c<2π 此时, 由 sinx 在 ,可得如下两种情况: 上的单调性可得 时,由于 a+b>c,所以, ; 时, .

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