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湖南省蓝山二中高二数学上学期期末考试试题 理


湖南省蓝山二中高二数学上学期期末考试试题 理
总分:100 分 一、选择题(每题 3 分,共 45 分) 1.x>2 是 x ? 4 的 (
2

时量:120 分钟

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 既充分又必要条件 2.抛物线 y ? x 2 在点 M( A.30° B.45°

1 1 , )处的切线的倾斜角是( 2 4
C.60° D.90° )



3.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是(

a ?1 b?3 a ? a?b b ? a ?b
PRINT a , b A. 1,3
1

B. 4,1 )
1

C. 0, 0

D. 6, 0
1

4.下列值等于 1 的是( A.
?

?

0

xd x

B.
?

? ( x ? 1)dx
0
?

C.

? 1d x
0
? ?

D.

?

1

0

1 dx 2


5.若 a =(2,-3,1), b =(2,0,3), c =(0,2,2),则 a ? ( b + c )=( A. 4 B. 15 C. 7 D. 3

?

6.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由 此求出的平均数与实际平均数的差是 A.3.5 B.-3 ( C.3 ) D.-0.5

7.在空间直角坐标系中,若向量 a = ( -2,1,3 ), b = (1,-1,1 ), c = ( 1,- 2 ,- 2 ) 则它们之间的关系是 A. a ? b 且 a // c ( ) B. a ? b 且 a ? c D. a // b 且 a // c

?

?

?

1

3

?

?

?

?

?

?

?

?

C. a // b 且 a ? c

?

?

?

?

?

?

?

?
( )

8. 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 A. ( x ? 1) ? 3( x ? 1)
3

B. 2( x ? 1)

2

C. 2( x ? 1)

D. x ? 1 )
0

9.抛物线 y ? 4 x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.
17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.

10. 在第 1、 3、 4、 5、 8 路公共汽车都要停靠的一个站 (假定这个站一次只能停靠一辆汽车) ,
用心 爱心 专心 1

有一位乘客在等候第 4 路或第 8 路公共汽车.假定当时各路汽车首先到此站的可能性相 等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 5

D.

2 5

11.有一个由奇数组成的数列 1,3,5,7,9,┅,现在进行如下分组:第一组含一个数 ? 1? ,第 二组含两个数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11 ?,第四组含四个数 ?13,15,17,19?,┅,经观 察,可以猜想每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为( A.等于 n
2



B.等于 n

3

C.等于 n

4

D.等于 (n ? 1)n )

12. 已知 a ? (2, ?1,2), b ? (2,2,1), 则以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为( A. 65 B.

65 2

C.4

D.8 ⑵

13.给出以下命题: ⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

?

2? 0

sin x dx ? 4 ;
a ?T T

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( A、1 14.已知双曲线 B、2 ) C、3 D、0

?

a 0

f ( x)dx ? ?

f ( x)dx ;

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60? 的直线与双曲线的右支
( ) D. ?2,??? ) D.

有且仅有一个交点,则此双曲线离心率的范围是 A .

?1,2?

B. ?1,2 ?

C. ?2,?? ?

15.内接于半径为 R 的半圆且周长最大的矩形的边长为( A.

R 3R 和 2 2

B.

4R 7R 和 5 5

C.

R 16 R 和 5 5

5 R 4 5R 和 5 5

二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 16.甲乙两人下棋比赛,两人下成和棋的概率是 是 17. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M、N 分别是 BB1 、 AC 的中点,设 AB ? a , AC ? b ,

1 1 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率 2 3

AA1 ? c ,则 NM 等于
18. 已知函数 y ? x ? 3x ,则它的单调递增区间是
3

19.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,

用心

爱心

专心

2

按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示截面面积,那么你类比得到的 结论是

20. P 是 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的 右 支 上 一 动 点 , M 、 N 分 别 是 圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 9 16

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 PM ? PN 的最大值为

三、解答题(每题 8 分,共 40 分) 21. (本小题满分 8 分) 已知动点 P 到定点 A(5,0)的距离与到定直线 x ? 程,并画出轨迹示意图。

16 5 的距离的比是 ,求 P 点的轨迹方 5 4

22. (本小题满分 8 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,E 是 BC 的中点, F 是 DD ? 的中点 (1) 求证:CF∥平面 A?DE (2) 求二面角 E ? A?D ? A 的平面角的余弦值。
A A'

D' B' F D

C'

C E B

23.(本小题满分 8 分) 已知:椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 8,且经过点(0,3) (1) 求此椭圆的方程 (2) 若已知直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 问: 椭圆 C 上是否存在一点,使它到直线 l 的距离最小? 最小距离是多少?
用心 爱心 专心 3

24.(本小题满分 8 分) 一艘小船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。 已知在速度为每小时 10 公里时的燃 料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元。问:此船以多大的速度航行 时,能使每公里的费用最少?

25. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

m ( x ? 0) 在 (1, ??) 上为增函数,函数 g ( x) ? ln x ? mx ( x ? 0) 在 x

(1, ??) 上为减函数.
(1)分别求出函数 f ( x ) 和 g ( x) 的导函数; (2)求实数 m 的值; (3)求证:当 x ? 0 时, x ln(1 ?

1 1 ) ? 1 ? ( x ? 1) ln(1 ? ) x x

用心

爱心

专心

4

高二数学(理)参考答案 一、选择题(每题 3 分,共 45 分) 1.x>2 是 x ? 4 的 (
2

A ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 既充分又必要条件 2.抛物线 y ? x 2 在点 M( A.30° B.45°

1 1 , )处的切线的倾斜角是( B ) 2 4
C.60° D.90°

3.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是( B )

a ?1 b?3 a ? a?b b ? a ?b
PRINT a , b A. 1,3
1

B. 4,1
1

C. 0, 0

D. 6, 0 (C )
1

4.下列值等于 1 的是 A.
?

?

0

xdx

B.
?

? ( x ? 1)dx
0
?

C.

? 1d x
0
?

D.
?

?

1

0

1 dx 2
?

5.若 a =(2,-3,1), b =(2,0,3), c =(0,2,2),则 a ? ( b + c )=( D ) A. 4 B. 15 C. 7 ( B C.3 D. 3 ) D.-0.5
1 2

6.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由 此求出的平均数与实际平均数的差是 A.3.5 B.-3

? ? ? 7.在空间直角坐标系中,若向量 a = ( -2,1,3 ), b = (1,-1,1 ), c = ( 1,? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b 且 a // c B. a ? b 且 a ? c ? ? ? ? ? ? ? ? C. a // b 且 a ? c D. a // b 且 a // c 8. 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为
A.(x-1) +3(x-1)
3

,- 3 ) 2

则它们之间的关系是

( A )

( A )

B.2(x-1)

2

C.2(x-1)

D.x-1

9.抛物线 y ? 4 x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B ) A.
17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.

0

10. 在第 1、 3、 4、 5、 8 路公共汽车都要停靠的一个站 (假定这个站一次只能停靠一辆汽车) , 有一位乘客在等候第 4 路或第 8 路公共汽车.假定当时各路汽车首先到此站的可能性相 等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( D ) A.

11.有一个由奇数组成的数列 1,3,5,7,9,┅,现在进行如下分组:第一组含一个数 ? 1? ,第

1 2

B.

2 3

C.

3 5

D.

2 5

用心

爱心

专心

5

二组含两个数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11 ?,第四组含四个数 ?13,15,17,19?,┅,经观 察,可以猜想每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为( B A.等于 n
2



B.等于 n

3

C.等于 n

4

D.等于 (n ? 1)n

12. 已知 a ? (2, ?1,2), b ? (2,2,1), 则以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A. 65 B.

65 2

C.4

D.8 ⑵

13.给出以下命题: ⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

?

2? 0

sin x dx ? 4 ;
a ?T T

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( B ) A、1 14.已知双曲线
x2 a
2

?

a 0

f ( x)dx ? ?

f ( x)dx ;

B、2
? y2 b2

C、3

D、0

? 1 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60? 的直线与双曲线的右支

有且仅有一个交点,则此双曲线离心率的范围是 A .



C )

?1,2?
R 3R 和 2 2

B. ?1,2 ?

C. ?2,?? ?

D. ?2,???

15.内接于半径为 R 的半圆且周长最大的矩形的边长为( D ) A. B.

4R 7R 和 5 5

C.

R 16 R 和 5 5

D.

5 R 4 5R 和 5 5

二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 16.甲乙两人下棋比赛,两人下成和棋的概率是

1 1 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率 2 3



5 6

17. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M、N 分别是 BB1 、 AC 的中点,设 AB ? a , AC ? b ,

AA1 ? c ,则 NM 等于 a ?

1 (c ? b ) 2

18. 已知函数 y ? x 3 ? 3x ,则它的单调递增区间是 (??,?1) 和 (1,??) 19.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直 的三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示截面面积,那么你类比得
2 2 2 到的结论是 S12 ? S 2 ? S3 ? S4

b
c a
用心 爱心 专心

O
M

M N

L

6

20. P 是 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的 右 支 上 一 动 点 , M 、 N 分 别 是 圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 9 16
9

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 PM ? PN 的最大值为
三、解答题(每题 8 分,共 40 分) 21. (本小题满分 8 分) 已知动点 P 到定点 A(5,0)的距离与到定直线 x ? 程,并画出轨迹示意图。 解:轨迹方程是 图略 22. (本小题满分 8 分)

16 5 的距离的比是 ,求 P 点的轨迹方 5 4

x2 y 2 ? ? 1 ………………6 分 16 9
………………8 分

在边长为 2 的正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD ? 的中点 (1) 求证:CF∥平面 A?DE (2) 求二面角 E ? A?D ? A 的平面角的余弦值。 解:分别以 DA , DC , DD ? 为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系, 则 A? (2,0,2),E(1,2,0), D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), ………2 分 则 DA? ? ? 2,0, 2 ? , DE ? ?1, 2,0 ? , 设平面 A?DE 的法向量是 n ? ? a, b, c ? , 则?
A A' F D E B C D' B' C'

? ?n ? DA? ? 2a ? 2c ? 0 ? ? n ? DE ? a ? 2b ? 0



取 n ? ? ?2,1, 2 ? , ………4 分

CF ? ? 0, ?2,1? , CF ? n ? ?2 ? 2 ? 0,?CF ? n ,所以,CF∥平面 A?DE 。…6 分
(2) DC ? ? 0, 2,0 ? 是面 AA?D 的法向量

cos ? ?

DC ? n DC n

?

1 3

………………8 分

23.(本小题满分 8 分) 已知:椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 8,且经过点(0,3) (1) 求此椭圆的方程 (2) 若已知直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,问:椭圆 C 上是否存在一点,使它到直线 l 的距离 最小?最小距离是多少?
用心 爱心 专心

7

x2 y 2 ? ?1 ……………4 分 25 9 (2)由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道,直线 l 与椭圆不相交 设直线 m 平行于直线 l ,则直线 m 的方程可以写成 4 x ? 5 y ? k ? 0 (1)
解:(1)

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 由方程组 ? x 2 y2 ?1 ? ? ? 25 9
消去 y ,得 25x ? 8kx ? k ? 225 ? 0
2 2

(2) (3)

令方程(2)的根的判别式 ? ? 0 ,得 64k 2 ? 4 ? 25(k 2 ? 225) ? 0 解方程(3)得 k1 ? 25 或 k2 ? ?25 ,

由图可知,当 k1 ? 25 时,直线 m 与椭圆交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为

4 x ? 5 y ? 25 ? 0
直线 m 与直线 l 间的距离 d ? 所以,最小距离是

40 ? 25 4 ?5
2 2

?

15 41 41
………………8 分

15 41 . 41

24.(本小题满分 8 分) 一艘小船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比, 已知在速度为每小时 10 公里时的燃 料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问:此船以多大的速度航行 时,能使每公里的费用最少? 解:设船速度为 x 公里/小时(x>0)时,燃料费用 Q 为元,则 Q ? kx
3

由6 ? k ? 10 3 可得 k ?

3 3 3 ,? Q ? x 500 500 3 3 1 3 2 96 ? 总费用 y ? ( x ? 96) ? x ? 500 x 500 x 3 96 ? y' ? x ? 2 , 令y ' ? 0得x ? 20 250 x
; 当x ? (0,20)时,y' ? 0,此时函数单调递减

………………2 分 ………………4 分

当x ? (20,??)时,y' ? 0,此时函数单调递增。
∴当 x=20 时,y 取得最小值。 ∴此轮船以 20 公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小。………8 分 25. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

m ( x ? 0) 在 (1, ??) 上为增函数,函数 g ( x) ? ln x ? mx ( x ? 0) 在 x

(1, ??) 上为减函数.

用心

爱心

专心

8

(1)分别求出函数 f ( x ) 和 g ( x) 的导函数; (2)求实数 m 的值; (3)求证:当 x ? 0 时, x ln(1 ?

1 1 ) ? 1 ? ( x ? 1) ln(1 ? ) x x

当 x>0 时, 1+

1 >1, x 1 1 x 1 )>f(1),即:ln(1+ )+ >1,化简得:(1+x)ln(1+ )>1 x x x+1 x

所以由(1)知:f(1+ g(1+

1 1 1 1 )<g(1), 即:ln(1+ )-(1+ )<-1,化简得:xln(1+ )<1. x x x x 1 1 )<1<(x+1)ln(1+ ). ………………8 分 x x

所以当 x>0 时,xln(1+

用心

爱心

专心

9


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