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福建省福州八中2014届高三毕业班第三次质检考试数学(理)试题 Word版含答案


福州八中 2014 届高三毕业班第三次质检考试 数学(理)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2013.11.4

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.) 1.若集合 M ? x y ? 2 x , P ? x x ? 1 ,则 M ? P

? A.

?

?

?

?

?x x ? 0?

B. x x ? 1

?

?

C. y y ? 0

?

?

D.

?y y ? 1?

2. 已知复数 z1=cos 23° +isin 23° 和复数 z2=cos 37° +isin 37° ,则 z1· z2 为 1 3 3 1 1 3 3 1 A. + i B. + i C. - i D. - i 2 2 2 2 2 2 2 2

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ?
A.1 B. 2

3. 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 , BC ? 64 ,

2

C.4

D.8

4. 若函数 y=f(x)在 R 上可导,且满足不等式 xf ′(x)>-f(x)恒成立,且常数 a,b 满 足 a >b,则下列不等式一定成立的是 D.af(b)<bf(a) 1+sin2x 5. 已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f ?( x) =2f (x),f ?( x) 是 f(x)的导函数, 则 2 cos x-sin2x = 19 19 11 11 B. C. D.- 5 5 3 3 6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? a8 ? 20 ,那么 S13 的值是 A.- A.65 B.70 C.130 D.260 7. 已 知 向 量a, b , 那 么 “ a ?b ? 0 ”是 “向 量a, b 互相垂直”的 A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b)

C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 8. 设在函数 f(x)=xcosx-sinx 的图象上的点 ? x0 , y0 ? 的切线斜率为 k ,若 k ? f ?( x0 ) , 则函数 k ? f ?( x0 ) , x0 ? [?? , ? ] 的图象大致为
y
100

y
100
100

y
100

y
80

80

80
80

60

60
60
60

40

40

40

40

20

20

20

20

-150

-100

-50

50

100

150

-150

-100

-50

50

100

150

-150

-100

-50

50

100

150

-150

-100

-50

50

100

150

-20

-40

O

x

-20

-40

O

x

-20

-40

O

x

O
-20 -40 -60 -80 -100

-60

-60

-60

-80

-80

-80

-100

-100

-100

A

B

C

D

9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a n ?1 ? a n ? ln(1 ? )( n ? N ? ), 则 an ? A. 3 ln(n ? 1) B. 3 ? ln n C. 3 ? ln(n ? 1) D. 3 ? ln( ?

1 n

2 1

3 n ?? ) 2 n ?1

10.已知 f ? x ? 是 R 上的偶函数,若将 f ? x ? 的图象向右平移一个单位,则得到一个 奇函数的图象,若 f ? 2? ? ?1则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ???? ? f ? 2013? ? ( ) A.2013 B.1 C.0 D.-2013

二、填空题:5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应的位置上. a+i 11. a 为正实数,i 为虚数单位,| i |=2,则 a=____________. 12.已知函数 f(x)=x2(ax+b)(a,b∈ R)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与 直线 3x+y=0 平行,则函数 f(x)的单调减区间为__________________. 13.在等比数列 ? an ?中, a n ? 0 ,且 a5 ? a6 ? ?? a12 ? 81,则 a4 ? a13 的最小值为 ___ _______ . π 14.在△ OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈ (0,2],则当△ OAB 的 面积达到最大值时,θ 等于_________________.

? 2 x ?1 , x ? 2 ? 15. 函数 f ?x ? ? ? 1 ,实数 a, b, c 互不相同,若 ? x ? 3 , x ? 2 ? ? 2
f (a) ? f (b) ? f (c) ? d ,则 a ? b ? c ? d 的范围为


三、解答题:本大题六个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 16. (本小题 13 分) (Ⅰ ) 给定数列 {cn } , 如果存在实常数 p , q , 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N * 都

成立,我们称数列 {cn } 是 “ ? 族数列”.证明:若数列 ?bn ? 的前 n 项和为是 Sn ? n2 ? n , 证明数列 ?bn ? 是“ ? 族数列”, 并指出它对应的实常数 p , q . (Ⅱ )若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an?1 ? 2n (n ? N * ) ,求数列 {an } 前 2013 项的和.

17. (本小题 13 分) 已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). ⑴ 若|c|=2 5,且 c 与 a 方向相反,求 c 的坐标;

⑵ 若|b|=

5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

18. (本小题 13 分) 已 知 在 同 一 平 面 内 的 两 个 向 量 a ? ? 3 sin x ? cos(?x ?

? ?

?

? ), ? 1? , 3 ?

期为 ? . ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式;

? ? ? b ? ?1,1 ? cos(?x ? ) ? ,其中 ? ? 0, x ? R .函数 f ( x) ? a ? b ,且函数 f ( x) 的最小正周 3 ? ?
? 个单位, 得到函数 y =g( x) 的图象, 求函数 y =g( x) 6

? ⑵ 将函数 f ( x) 的图象向右平移 在 ?0,

? ?? 上的单调递增区间. ? 2? ?

19. (本小题 13 分) 已知 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,对于任意 a,b∈ R 且当 a ? b ? 0 时,都满足

f (a) ? f (b) ?0. a?b
⑴ 求证: f ( x) 在 R 上是的增函数; ⑵ 若对任意的 t ? R ,不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20.(本小题 14 分) 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠ ACB=120?,BC=AC=3,点 D 在线段 AB 上. ⑴ 若 CD ? 3 ,求 BD 的长; ⑵ 若点 E 在线段 DA 上, 且∠ DCE=30?, 问:当∠ DCB 取何值时, △ CDE 的面积最小? 并求出面积的最小值.
A E D

21.(本小题 14 分) 已知 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.

C

B

(1) 对一切的 x∈ (0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 2 (2) 求证:对一切 x∈ (0,+∞),都有 ln x>ex-ex.

福州八中 2013—2014 高三毕业班第三次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准

所以数列 ?bn ? 是“ ? 族数列”, 对应的实常数分别为 1,2……………………7 分 (Ⅱ ) ? an ? an?1 ? 2n (n ? N * ) 则 有 a2 ? a3 ? 22 , a4 ? a5 ? 24 , …… , ………………………………9 分

a2010 ? a2011 ? 22010 , a2012 ? a2013 ? 22012 .

∴S2013 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2012 ? a2013 ? 2 ? 22 ? 24 ? ?? 22012

S 2013 ? 2 ?

4(1 ? 41006 ) 22014 ? 2 ? 1? 4 3 2 2014 ? 2 ………………………………13 分 3

故数列 {an } 前 2013 项的和 S 2013 ?

17. (本小题 13 分)解:(1)设 c=(x,y),由 c∥ a 和|c|=2 5可得
?1· ?x=2 ?x=-2 y-2· x=0 ? ? ? ? 2 ? ,∴ 或? ,……………………4 分 2 ?x +y =20 ? ?y=-4 ? ?y=4 ?

又 c 与 a 方向相反,∴ c=(-2,-4).……………………5 分 (2)∵ (a+2b)⊥ (2a-b),∴ (a+2b)· (2a-b)=0, 即 2a2+3a· b-2b2=0.…………………………8 分 ∴ 2|a|2+3a· b-2|b|2=0.

∴ 2× 5+3a· b-2× =0,∴ a· b= ?

5 4

5 .…………………………11 分 2

1 a· b ∴ cos θ= =? . |a||b| 2
∵ θ∈ [0,π],∴ θ=

2? .……………………13 分 3

⑵ 将函数的图象向右平移

? 个单位后,得到函数 y =g( x) 的解析式为 6

? ?? ? ? g ( x ) ? 2sin ?2(x ? ) ? ? ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 …………………………8 分 6 6? 6 ?
由题意,得 2k? ? 即 k? ?

?
2

? x ? 2k? ?

?
2

,k ? Z ,

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z ,…………………………11 分

∴ 函数 y =g( x) 在 ? 0,

? ?? ? ?? 上的单调递增区间是 ?0, ? ……………………13 分 ? ? 2? ? 6?
f (a) ? f (b) ? 0 ,得 a?b

19. (本小题 12 分)解析:⑴ 不妨设 x1 ? x 2 ,由

f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 ,……………………2 分 x1 ? (? x2 )
又 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,∴ ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在 R 上是增函数………………………………5 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,而 x1 ? x2 ? 0 x1 ? x2

? f ( x) 是奇函数 ⑵

? 不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 ? f (mt 2 ? 1) ? f (mt ? 1) ………………7 分
? f ( x) 在 R 上是增函数

∴ 对任意的 t ? R ,不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 恒成立 即 mt 2 ? 1 ? mt ? 1 对任意的 t ? R 恒成立 即 mt 2 ? mt ? 2 ? 0 对任意的 t ? R 恒成立…………………………9 分 当 m ? 0 时,不等式即为 2 ? 0 恒成立,合题意; ……………………10 分
?m ? 0 当 m ? 0 时,有 ? 即0? m ?8 2 ?? ? m ? 8m ? 0

综上:实数 m 的取值范围为 0 ? m ? 8 …………………………13 分 20.解: (本小题 14 分)⑴ 在△ CDB 中,∠ CBD=30?,BC=3,CD ? 3 ,由余弦定理, 得 CD ? BC ? BD ? 2CB ? BD ? cos30? ,……………………2 分
2 2 2

即 BD ? 3 3BD ? 6 ? 0 ,解得, BD ?
2

3或2 3 .……………………5 分

⑵设 ∠ DCB =

? , 0? ? ? ? 90? , 在 △ CDB 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

CD BC ? , sin ?CBD sin ?CDB
即 CD ?

BC ? sin 30? BC ? sin 30? ,同理 CE ? ,……………………8 分 sin(150? ? ? ) sin(120? ? ? ) 1 9 CE ? CD ? sin 30? ? 2 16sin(150? ? ? ) sin(120? ? ? )

所以, S ?CDE ?

?

9 8 3 sin (120? ? ? ) ? 8 sin(120? ? ? ) cos(120? ? ? )
2

?

4 3 ? 8 sin?(240? ? 2? ) ? 60??

9

?

9 4 3 ? 8 sin 2?

…………………………12 分

∵0? ? ? ? 90? ,∴0? ? 2? ? 180 ? . ∴ 当 ? ? 45? 时, S ?CDE 的最小值为

9 4( 3 ? 2)

?

9(2 ? 3 ) .…………14 分 4

21. (本小题 14 分)解析: (1)由条件知 2f(x)≥g(x),即 2xln x≥-x2+ax-3, 3 则 a≤2ln x+x+ . x ……………………………………2 分

3 设 h(x)=2ln x+x+ (x>0), x h′(x)=

?x+3??x-1? . x2

………………………………4 分

当 x∈ (0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当 x∈ (1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以[h(x)]min=h(1)=4. 因为对一切 x∈ (0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以 a≤[h(x)]min=4. 故实数 a 的取值范围是(-∞,4].…………………………6 分

x 2 x 2 (2) 证明:问题等价于证明 xln x> x- ,x∈ (0,+∞).即 f(x) > x- e e e e ∵ f′(x)=ln x+1. …………………………7 分

?0,1?时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈ ? e? ?1,+∞?时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 当 x∈ ?e ?
1 1 所以,[f(x)]min=f( )=- .……………………………………10 分 e e 1-x x 2 设 m(x)= x- ,x∈ (0,+∞),则 m′(x)= x ,……………………12 分 e e e 1 易得[m(x)]max=m(1)=- . e 1 2 从而对一切 x∈ (0,+∞),都有 ln x> x- 成立.…………………………14 分 e ex


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