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2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第9讲 函数模型及其应用]


第二章 第9讲
一、必记 2 个知识点 1. 几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型

函数、导数及其应用 函数模型及其应用

函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,

c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)

2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞)上 的单调性 增长速度 图像的变化 增函数 越来越快 随 x 值增大,图像 与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大,图像 与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

二、必明 2 个易误区 1.易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域. 2.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 三、必会 1 个方法 解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

考点一

一次函数与二次函数模型

1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个 月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两 种方式电话费相差( A.10 元 ) B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3

解析:选 A 依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100),∴100k+20=100m,得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.(2013· 北京西城区抽检)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若 该商品每个涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( A.115 元 B.105 元 C.95 元 D.85 元 )

解析:选 C 设售价定为(90+x)元,卖出商品后获得利润为:y=(90+x-80)(400-20x) =20(10+x)(20-x)=20(-x2+10x+200)=-20(x2-10x-200)=-20,∴当 x=5 时,y 取得 最大值,即售价应定为:90+5=95(元),选 C. 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 1 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= 2 x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损? 解:设该单位每月获利为 S, 1 2 1 2 1 2 ? 则 S=100x-y=100x-? ?2x -200x+80 000?=-2x +300x-80 000=-2 (x-300) -35 000, 因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损.

求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义 域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;

(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 考点二 分段函数模型

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流 速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;
?200a+b=0, ? 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.由已知得? 解得 ? ?20a+b=60,

?a=-3, ? 200 ?b= 3 ,

1

60,0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?200-x ? ? 3 ,20<x≤200. (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?x?200-x? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值 ,20<x≤200. ? 3 ? 为 60×20=1 200; 1 1 x+200-x?2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上, 当 x=100 时, f(x)在区间上取得最大值 f(x)max= 10 000 ≈3 333, 即当车流密度为 100 3

辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构 成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).

某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根 据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果 如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上 市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上 市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有, 请说明是上市后 的第几天;若没有,请说明理由.
?2t,0≤t≤30, ? 解:(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,得 f(t)=? ? ?-6t+240,30<t≤40.

3 图②是一个二次函数的部分图像,故 g(t)=- t2+6t(0≤t≤40). 20
? ?3t,0≤t≤20, (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)=? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为

? ? 3 ? F(t)=?60? ?-20t +8t?,20<t≤30, 3 ? t +240?,30<t≤40. ?60??-20 ?
2 2

3 2 ? 3t? ?-20t +8t?,0≤t≤20,

3 2 9 3 2 ? 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t? ?-20t +8t?=-20t +24t , 27 ? 27 ∴F′(t)=- t2+48t=t? ?48-20t?≥0,∴F(t)在上是增函数, 20 3 2 ? ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300.当 20<t≤30 时,F(t)=60? ?-20t +8t?. 70 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0,解得 t= (舍去)或 t=30. 3 3 2 ? 当 30<t≤40 时,F(t)=60? ?-20t +240?. 由 F(t)在 (30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天. 考点三 指数函数模型

一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐 到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至

1 2 少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 1? 1 1 1 (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1). 则 a(1-x)10= a, 即(1-x)10= , 解得 x=1-? ?2?10. 2 2 1? 10 ?1? 2 m 1 2 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m= a,即? ?2? =?2? ,10=2, 2 2 解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年,则 n 年后剩余面积为
n m

1

2 a(1-x)n. 2



2 1 2 1? 10 ?1? 2 n 3 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ ,? ≥?2? , ≤ ,解得 n≤15.故今后最多还能砍 2 4 4 ?2? 10 2

3

伐 15 年.

应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决. (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验 证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 提醒:解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性.

(2013· 长春联合测试)某位股民购进某支股票, 在接下来的交易时间内, 他的这支股票先经 历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏 情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

解析:选 B 设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n =a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n= 0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.

课后作业
(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴 影部分),则其边长 x 为________(m).

解析:设矩形花园的宽为 y m,则

x 40-y = ,即 y=40-x,矩形花园的面积 S=x(40-x) 40 40

=-x2+40x=-(x-20)2+400,当 x=20 m 时,面积最大.答案:20

据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存车 费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费总 收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) ) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)

解析:选 D y=0.2x+(4000-x)×0.3=-0.1x+1 200.(0≤x≤4 000) 做一做 1.(2014· 南昌质检)往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而不 超过 40 g, 付邮费 1.60 元, 依此类推, 每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内). 如 果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,则他应付邮费( A.3.20 元 B.2.90 元 ) C.2.80 元 D.2.40 元

解析:选 A 由题意得 20×3<72.5<20×4,则应付邮费 0.80×4=3.20(元).故选 A. 2.(2014· 广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 ) B.y=x2-1 D.y=log2x 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

解析:选 D 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98, 代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 3.一种产品的成本原为 a 元,在今后的 m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低 p%, 成本 y 是关于经过年数 x(0<x≤m)的函数,其关系式 y=f(x)可写成__________________. 解析:依题意有 y=a(1-p%)x(0<x≤m).答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m) 4.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x2 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000, 已知此生产线年产量最大为 210 5 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最 大利润是多少?

y y x 8 000 解:(1)每吨平均成本为 (万元).则 = + -48≥2 x x 5 x

x 8 000 · -48=32, 5 x

x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号.∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低,最 5 x 低为 32 万元. (2)设可获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x) = 40x - y = 40x - 680(0≤x≤210). 1 ∵R(x)在上是增函数,∴x=210 时,R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660. 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润是 1 660 万元. 5.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟,在 乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地 所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( ) x2 x2 1 + 48x - 8 000 = - + 88x - 8 000 = - (x - 220)2 + 1 5 5 5

解析: 选 D 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移, 用定性分 析法不难得到答案为 D. 6.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之 间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x ) B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100

解析:选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 7.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水,则一定正确的是( A.① C.①③ ) B.①② D.①②③

1 解析:选 A 由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的 ,所以 0 点到 3 点不出水,3 点 2 到 4 点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个进 水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①. 8 某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图像,当血 液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效, 则第二次服药最迟的时间应为( A.上午 10:00 C.下午 4:00 ) B.中午 12:00 D.下午 6:00

解析:选 C 当 x∈时,设 y=k1x,把(4,320)代入,得 k1=80,
? ?4k2+b=320, ∴ y = 80x. 当 x ∈ 时 , 设 y = k2x + b. 把 (4,320) , (20,0) 代 入 得 ? 解得 ?20k2+b=0. ? ? ?k2=-20, ? ?b=400. ? ?80x,0≤x≤4, ?0≤x≤4, ? ? ∴ y = 400 - 20x. ∴ y = f(x) = ? 由 y≥240 , 得 ? 或 ? ? ?400-20x,4<x≤20. ?80x≥240, ? ?4<x≤20, ? ?400-20x≥240. ?

解得 3≤x≤4 或 4<x≤8,∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C. 9.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸水从洞中 流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像可能是图中的________.

H 解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时,体 2 H H 积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢.答案:② 2 2 10.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方 都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b -2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S =486 cm2.答案:30 cm,20 cm 11.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、
最大

八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份到十月 份的销售总额是 3 860+500+2 ,根据题意有 3 860+500+2≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去),故 1+x%≥ ,解得 x≥20.答案:20 5 5 5 12.(2013· 昆明质检)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计 费方法,具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的,超 出 4 吨的部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过 12 元的 家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 月用水量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例. 2x,0≤x≤4, ? ? 解:(1)y 关于 x 的函数关系式为 y=?4x-8,4<x≤6, ? ?6x-20,x>6. (2)由(1)知:当 x=3 时,y=6;当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 (6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). 12 (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5, 所以“ 节约用水家庭” 的频率为 77%. 14.已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是 θ=m· 2t+21
t


77 = 77%,据此估计该地 “ 节约用水家庭” 的比例为 100

(t≥0,并且 m>0).

(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. 1? 1 5 - t t 解:(1)若 m=2,则 θ=2· 2t+21 t=2? ?2 +2t?,当 θ=5 时,2 +2t=2, 1 5 1 令 2t=x(x≥1),则 x+ = 即 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1. x 2 2 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. 2 (2) 物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立,亦 m· 2t + t ≥2 恒成立,亦即 2 1 1? m≥2? ?2t-22t?恒成立. 1 1 1 令 t=y,则 0<y≤1,∴m≥2(y-y2)恒成立,由于 y-y2≤ ,∴m≥ . 2 4 2 1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是? ?2,+∞?. 15.(2014· 威海高三期末)对于函数 f(x),如果存在锐角 θ,使得 f(x)的图像绕坐标原点逆时 π 针旋转角 θ,所得曲线仍是一函数,则称函数 f(x)具备角 θ 的旋转性,下列函数具备角 的旋转 4 性的是( ) B. y=ln x 1?x C. y=? ?2? D. y

A. y= x =x2

π 解析:选 C 函数 f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角 ,相当于 x 轴、y 轴绕坐标原点顺 4 π 时针旋转角 ,问题转化为直线 y=x+k 与函数 f(x)的图像不能有两个交点,结合图像可知 y= 4

?1?x 与直线 y=x+k 没有两个交点,故选 C. ?2?


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