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参数方程 (1)


个性化教案

参数方程
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
数学 新课标地区 参数方程 1、了解参数方程,了解参数的意义。 2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 3、了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

适用年级

高二

课时时长 (

分钟) 60

教学重点 教学难点

参数方程的意义 直线、圆和圆锥曲线的参数方程

教学过程
一、复习预习
1、极坐标系 2、参数方程的概念 3、参数方程的意义 4、直线、圆锥曲线的参数方程

二、知识讲解
1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变量 t 的函数

?x=f?t?, ? 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式 ?y=g?t?.
为该曲线的参数方程,其中变量 t 称为参数.

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2.一些常见曲线的参数方程

(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为α 的直线的参数方程为?

?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

→ 设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量.

(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为

? ?x=a+rcos θ ? ? ?y=b+rsin θ

(θ 为参数).

(3)椭圆方程 2+

x2

y2

a

b

=1(a>b>0)的参数方程为? 2

? ?x=acos θ ?y=bsin θ ?

(θ 为参数).

(4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为?

? ?x=2pt2 ?y=2pt ?

(t 为参数).

三、例题精析
【例题 1】把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.

?x=1+2t, (1)? 3 ?y=2+ 2 t ?x=t+ t , (3)? 1 ?y= t -t
【答案】见解析 1

1

(t 为参数);

?x=1+t2, ? (2)? (t 为参数). ?y=2+t ?

(t 为参数);

?x=4sin θ, ? (4)? (θ 为参数). ? ?y=5cos θ

1 3 【解析】(1)由 x=1+ t 得 t=2x-2.∴y=2+ (2x-2). 2 2 ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线. (2)由 y=2+t 得 t=y-2,∴x=1+(y-2)2. 即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线.

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?x=t+ t , (3)由? 1 ?y= t -t, ?sin θ=4, 得? y ?cos θ=5,
x

1



? ?x=4sin θ, ∴①2-②2 得 x2-y2=4,此方程表示双曲线.(4)? ?y=5cos θ, ? ②

① ②

x2 y2 ①2+②2,得 + =1,此方程表示椭圆. 16 25
?x=1+cos θ, ? ?x=2+tcos α, ? 【例题 2】 已知圆 C: (θ 为参数)和直线 l: (其中 t 为参数, ? ? ?y=sin θ ?y= 3+tsin α

α 为直线 l 的倾斜角). 2π (1)当 α= 时,求圆上的点到直线 l 距离的最小值; 3 (2)当直线 l 与圆 C 有公共点时,求 α 的取值范围. π π 【答案】 3-1; ≤α≤ . 6 2 2π 【解析】 (1)当 α= 时, 直线 l 的直角坐标方程为 3x+y-3 3=0, 圆 C 的圆心坐标为(1,0), 3 2 3 圆心到直线的距离 d= = 3,圆的半径为 1,故圆上的点到直线 l 距离的最小值为 3-1. 2 (2)圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方 程,得 t2+2(cos α+ 3sin α)t+3=0,这个关于 t 的一元二次方程有解,故 Δ=4(cos α+ 3sin π? 3 3 3 ? π? ? π? α)2-12≥0,则 sin2? ?α+6?≥4,即 sin?α+6?≥ 2 或 sin?α+6?≤- 2 .又 0≤α<π,故只能 π? 3 π π 2π π π sin? ?α+6?≥ 2 ,即3≤α+6≤ 3 ,即6≤α≤2.
?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 【例题 3】已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ? ? ?y=tsin α ?y=sin θ

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线. 1 ? 1 1 3 【答案】(1,0),? ,- ?;圆心为? ?4,0?,半径为4的圆 2? ?2 π 【解析】 (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1), 3

?y= 3?x-1?, C2 的普通方程为 x2+y2=1. 联立方程组? 2 2 ?x +y =1,

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1 3 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2 (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=2sin α, ? 1 ?y=-2sin αcos α
2

1

1?2 2 1 (α 为参数),P 点轨迹的普通方程为? ?x-4? +y =16.

1 ? 1 故 P 点轨迹是圆心为? ?4,0?,半径为4的圆. 【例题 4】在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.
?x=1, π π ? 2, ?,?2,- ?;? 【答案】? (- 3≤t≤ 3). 3? ? ? 3? ? ?y=t

【解析】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
?ρ=2, ? π 由? 解得 ρ=2,θ=± , 3 ? ρ = 4cos θ , ? π? ? π? 故圆 C1 与 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?. 注:极坐标系下点的表示不唯一. ?x=ρcos θ, ? (2)由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?y=ρsin θ, ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t ? ? ?x=1, (或参数方程写成? (- 3≤y≤ 3) ?y=y ?

四、课堂运用
【基础】 1.将下列参数方程化为普通方程.

?x=1+k , (1)? 6k ?y=1+k
2 2 2

3k

(k 为参数);

? ?x=1-sin 2θ, (2)? (θ 为参数); ?y=sin θ+cos θ ?

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1-t ? ?x=1+t , (3)? t y= ? ? 1+t
2 2

2

(t 为参数).

【答案】见解析 y 3· 2x y 【解析】(1)两式相除,得 k= ,将其代入,得 x= , 2x y ?2 1+? ?2x? 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2].
2 ?1-t ?2+? 2t 2?2=1,得 x2+4y2=1, (3)由? 2? ?1+t ? ?1+t ?

1-t2 又 x= ≠-1,得所求的普通方程是 x2+4y2=1(x≠-1). 1+t2

?x= t- t, 2.已知曲线 C 的参数方程为? 1? ?y=3? ?t+ t ?
求曲线 C 的普通方程. 【答案】3x2-y+6=0

1

(t 为参数,t>0).

1 1 y 【解析】∵x2=t+ -2,∴x2+2=t+ = ,故曲线 C 的普通方程为 3x2-y+6=0. t t 3
?x=5cos φ, ? 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? (φ 为参数 ) 的右焦点,且与直线 ? ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ?

【答案】x-2y-4=0 【解析】由题设知,椭圆的长半轴长为 a=5,短半轴长为 b=3,从而 c= a2-b2=4,∴右 1 焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.故所求直线的斜率为 ,因 2 1 此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2

【巩固】

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1.过点 P?

10 ? 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于点 M、N,求 PM· PN 的最小值 ? 2 ,0?

及相应的 α 的值. 3 π 【答案】 ;α= 4 2

? ?x= 10+tcos α, 2 【解析】设直线的参数方程为? ? ?y=tsin α
3 sin2α)t2+( 10cos α)t+ =0, 2 设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2, 而由参数 t 的几何意义得 PM=|t1|,PN=|t2|, 3 2 则 PM· PN=|t1t2|= , 1+sin2α

(t 是参数),代入曲线方程并整理得(1+

π 3 π 所以,当 sin2α=1,即 α= 时,PM· PN 有最小值 ,此时 α= . 2 4 2

?x=3- 22t, 2.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t
程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数).在极坐标系(与直

角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方

(2)求圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 【答案】x2+(y- 5)2=5;3 2 【解析】解法一: (1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0,

即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得?3-

?

2 ?2 ? 2 ?2 2 t + t =5,即 t -3 2t+4=0. 2 ? ?2 ?

∴t1= 2或 t2=2 2,则 A(2,1+ 5),B(1,2+ 5) 又直线 l 过点 P(3, 5),故由上式及 t 的几何意义得, |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 解法二:(1)同法一. (2)因为圆 C 的圆心为 (0 , 5) ,半径 r = 5 ,直线 l 的普通方程为: y =- x + 3 + 5. 由

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?x +?y- 5? =5, ?x=1, ?x=2, 得 x2-3x+2=0.解得:? 或? ? ?y=2+ 5 ?y=1+ 5. ?y=-x+3+ 5
不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.

2

2

【拔高】
? ?x=cos θ, 1.已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐 ?y=sin θ ?

︵ π 标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧AP的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π? 【答案】? ?3,3?;

? ?x=1+? ?6-1?t, ? 3π ?y= 6 t

π

(t 为参数)

π π? π π 【解析】(1)由已知,点 M 的极角为 ,且点 M 的极径等于 ,故点 M 的极坐标为? ?3,3?. 3 3 π 3π? (2)点 M 的直角坐标为? , ,A(1,0), ?6 6 ? π ? x=1+? ?6-1?t, 故直线 AM 的参数方程为 (t 为参数). 3π y= t 6

? ? ?

?x=cos φ, ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,C1 的参数方程为? (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程 ?y=sin φ ? ?x=acos φ, ? 为? (a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 ? ?y=bsin φ

π 线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点的距离为 2,当 α= 时,这两 2 个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交点分别 4 4 为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 【答案】1; 2 5

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【解析】(1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离 为 2,所以 a=3. π 当 α= 时,射线 l 与 C,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所 2 以 b=1. x2 (2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和 +y2=1. 9 π 2 3 10 当 α= 时, 射线 l 与 C1 的交点 A1 的横坐标为 x= , 与 C2 的交点 B1 的横坐标为 x′= . 4 2 10 π 当 α=- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点,A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边 4 ?2x′+2x??x′-x? 2 形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为 = . 2 5

课程小结
一个复习指导 复习本讲时,应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立 以及各参数方程中参数的几何意义,同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.

课后作业
【基础】
? ? ?x=1+cos θ, ?x=1+2t, 1.P 为曲线 C1:? (θ 为参数)上一点,求它到直线 C2:? (t 为参 ? ? ?y=sin θ ?y=2

数)距离的最小值. 【答案】1 【解析】将曲线 C1 化成普通方程是(x-1)2+y2=1,圆心是(1,0), 直线 C2 化成普通方程是 y-2=0,则圆心到直线的距离为 2. 所以曲线 C1 上点到直线的最小距离为 1. x2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是椭圆 +y2=1 上的一个动点, 3 求 S=x+y 的最大值. 【答案】2

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?x= 3cos φ, x2 【解析】∵椭圆 +y2=1 的参数方程为? (φ 为参数),故可设动点 P 3 ?y=sin φ
的坐标为( 3cos φ,sin φ),其中 0≤φ<2π.因此 S=x+y= 3cos φ+sin φ= 2? π π 3 1 ? φ+ ?,∴当 φ= 时,S 取得最大值 2. cos φ+ sin φ =2sin? 3 ? ? 6 2 ?2 ?

? ?x=m+2cos α, 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),曲线 D 的 ?y=2sin α ? ? ?x=2-4t, 参数方程为? (t 为参数).若曲线 C、D 有公共点,求实数 m 的取值范围. ?y=3t-2 ?

8? 【答案】? ?-4,3? 【解析】曲线 C 的普通方程为(x-m)2+y2=4. 曲线 D 的普通方程为 3x+4y+2=0. |3m+2| 因为曲线 C、D 有公共点,所以 ≤2,|3m+2|≤10. 5 8? 8 解得-4≤m≤ ,即 m 的取值范围是? ?-4,3?. 3
?x=2cos θ, ? 4. 已知极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-1=0 的直线与 x 轴的交点为 P, 与椭圆? (θ ?y=sin θ ?

为参数)交于点 A,B,求 PA· PB 的值. 6 【答案】 5 【解析】由题意,直线经过点 P(1,0),

?x=1- 22t, 其参数方程为? 2 ?y= 2 t

(t 为参数),①

x2 又椭圆方程为 +y2=1,② 4

6 将①代入②,整理,得 5t2-2 2t-6=0;所以 PA· PB=|t1t2|= . 5 π? 5.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=4 2cos? ?θ-4?,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半
? ?x=t+1, 轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),求直线 l 被⊙C 截 ?y=t-1 ?

得的弦 AB 的长度. 【答案】2 6

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【解析】⊙C 的方程可化为 ρ=4cos θ+4sin θ,两边同乘 ρ,则 ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ. 由 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,得 x2+y2-4x-4y=0. 圆心 C 的坐标为(2,2),圆的半径 r=2 2. 又由题设知直线 l 的普通方程为 x-y-2=0, 故圆心 C 到直线 l 的距离 d= |-2| = 2. 2

∴弦 AB 长度等于 2 ?2 2?2-? 2?2=2 6.

【巩固】 1.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴

?x=2t, 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? 3 ?y= 2 t+1
被曲线 C 截得的线段长度. 【答案】4 2.

1

(t 为参数),求直线 l

【解析】将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-6y=0,即 x2+(y-3)2=9,它 表示以(0,3)为圆心,3 为半径的圆,直线方程 l 的普通方程为 y= 3x+1, 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d=1, 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 32-12=4 2.
?x=2cos θ, ?x=1+2t, ? ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,判断曲线 C:? (θ 为参数)与直线 l:? ?y=sin θ ?y=1-t ? ?

(t 为参数)是否有公共点,并证明你的结论. 【答案】没有公共点 【解析】直线 l 与曲线 C 没有公共点.证明如下: 直线 l 的普通方程为 x+2y-3=0, 把曲线 C 的参数方程代入 l 的方程 x+2y-3=0,得 π? 3 2cos θ+2sin θ-3=0,即 2sin? ?θ+4?=2. π 3 θ+ ?∈[- 2, 2],而 ?[- 2, 2], ∵ 2sin? 4 ? ? 2 π? 3 ∴方程 2sin? ?θ+4?=2无解,即曲线 C 与直线 l 没有公共点.

个性化教案 ? ?x=4-2t, x2 3.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上任意一点,求点 P 4 ?y=t-2 ?

到直线 l 的距离的最大值. 2 【答案】 10 5

? ?x=4-2t 【解析】将直线 l 的参数方程? (t 为参数)转化为普通方程为 x+2y=0, ?y=t-2 ?

x2 因为 P 为椭圆 +y2=1 上任意一点, 4 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离

? ?θ+π?? |2cos θ+2sin θ| 2 2?sin? 4?? d= = , 5 12+22
π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

?x=t+ t , 4.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30° 的直线和曲线? 1 ?y=t- t
线段 AB 的长.

1

(t 为参数)相交于 A、B 两点,求

?x= 23t-1, 【答案】? 1 ?y=2t

(t 为参数); 3

?x=-3+ 23s, 【解析】直线的参数方程为? 1 ?y=2s ?x=t+ t , 又曲线? 1 ?y=t- t
-6 3s+10=0, 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2. ∴s1+s2=6 3,s1s2=10 ∴|AB|=|s1-s2|= ?s1+s2?2-4s1s2=2 17. 1

(s 为参数),

(t 为参数)可以化为 x2-y2=4,将直线的参数方程代入上式,得 s2

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?x= 23t-1, 即? 1 ?y=2t

(t 为参数).

(2)直线 AF2 的斜率 k=- 3,倾斜角是 120° , 设 P(ρ,θ)是直线 AF2 上任一点, 则 ρ 1 = ,ρsin(120° -θ)=sin 60° , sin 60° sin?120° -θ?

则 ρsin θ+ 3ρcos θ= 3. 5.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的

?x=2 2cos α, 方程为 ρ2=8ρsin θ-15,曲线 C2 的方程为? (α 为参数). ?y= 2sin α
(1)将 C1 的方程化为直角坐标方程; 3π (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α= ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 4 【答案】x2+y2-8y+15=0; 13-1 【解析】(1)x2+y2-8y+15=0. 3π (2)当 α= 时,得 Q(-2,1),点 Q 到 C1 的圆心(0,4)的距离为 13, 4 所以 PQ 的最小值为 13-1.

【拔高】 1.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.
? ?x=4t , π θ+ ?=2 2与曲线 C2:? 曲线 C1:ρcos? (t 为参数,t∈R)交于两个不同 ? 4? ?y=4t ?
2

的点 A、B.求证:OA⊥OB. 【答案】见解析 【解析】曲线 C1 的直角坐标方程是 x-y=4, 曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y2=4x. 联立以上两个方程,消去 x,得 y2-4y-16=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1.2=2± 2 5. ∴A(6-2 5,2-2 5),B(6+2 5,2+2 5).

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2-2 5 2+2 5 4-20 ∵kOA· kOB= × = =-1,∴OA⊥OB. 6-2 5 6+2 5 36-20

?x=2cos θ, 2.已知圆锥曲线? (θ 是参数)和定点 A(0, 3),F1、F2 是圆锥曲线的 ?y= 3sin θ
左、右焦点. (1)求经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐 标方程.

?x= 23t-1, 【答案】? 1 ?y=2t

(t 为参数); 3

?x=2cos θ, x2 y2 【解析】(1)圆锥曲线? 化为普通方程 + =1, 4 3 ?y= 3sin θ
所以 F1(-1,0),F2(1,0),则直线 AF2 的斜率 k=- 3,于是经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的斜率 k′= 3 ,直线 l 的倾斜角是 30° , 3

? , ?x=-1+tcos 30° 所以直线 l 的参数方程是? (t 为参数), ?y=tsin 30° ?


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