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参数方程 (1)


个性化教案

参数方程
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
数学 新课标地区 参数方程 1、了解参数方程,了解参数的意义。 2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 3、了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

适用年级

高二

课时时长 (分钟) 60

教学重点 教学难点

参数方程的意义 直线、圆和圆锥曲线的参数方程

教学过程
一、复习预习
1、极坐标系 2、参数方程的概念 3、参数方程的意义 4、直线、圆锥曲线的参数方程

二、知识讲解
1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变量 t 的函数

?x=f?t?, ? 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式 ?y=g?t?.
为该曲线的参数方程,其中变量 t 称为参数.

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2.一些常见曲线的参数方程

(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为α 的直线的参数方程为?

?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

→ 设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量.

(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为

? ?x=a+rcos θ ? ? ?y=b+rsin θ

(θ 为参数).

(3)椭圆方程 2+

x2

y2

a

b

=1(a>b>0)的参数方程为? 2

? ?x=acos θ ?y=bsin θ ?

(θ 为参数).

(4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为?

? ?x=2pt2 ?y=2pt ?

(t 为参数).

三、例题精析
【例题 1】把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.

?x=1+2t, (1)? 3 ?y=2+ 2 t ?x=t+ t , (3)? 1 ?y= t -t
【答案】见解析 1

1

(t 为参数);

?x=1+t2, ? (2)? (t 为参数). ?y=2+t ?

(t 为参数);

?x=4sin θ, ? (4)? (θ 为参数). ? ?y=5cos θ

1 3 【解析】(1)由 x=1+ t 得 t=2x-2.∴y=2+ (2x-2). 2 2 ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线. (2)由 y=2+t 得 t=y-2,∴x=1+(y-2)2. 即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线.

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?x=t+ t , (3)由? 1 ?y= t -t, ?sin θ=4, 得? y ?cos θ=5,
x

1



? ?x=4sin θ, ∴①2-②2 得 x2-y2=4,此方程表示双曲线.(4)? ?y=5cos θ, ? ②

① ②

x2 y2 ①2+②2,得 + =1,此方程表示椭圆. 16 25
?x=1+cos θ, ? ?x=2+tcos α, ? 【例题 2】 已知圆 C: (θ 为参数)和直线 l: (其中 t 为参数, ? ? ?y=sin θ ?y= 3+tsin α

α 为直线 l 的倾斜角). 2π (1)当 α= 时,求圆上的点到直线 l 距离的最小值; 3 (2)当直线 l 与圆 C 有公共点时,求 α 的取值范围. π π 【答案】 3-1; ≤α≤ . 6 2 2π 【解析】 (1)当 α= 时, 直线 l 的直角坐标方程为 3x+y-3 3=0, 圆 C 的圆心坐标为(1,0), 3 2 3 圆心到直线的距离 d= = 3,圆的半径为 1,故圆上的点到直线 l 距离的最小值为 3-1. 2 (2)圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方 程,得 t2+2(cos α+ 3sin α)t+3=0,这个关于 t 的一元二次方程有解,故 Δ=4(cos α+ 3sin π? 3 3 3 ? π? ? π? α)2-12≥0,则 sin2? ?α+6?≥4,即 sin?α+6?≥ 2 或 sin?α+6?≤- 2 .又 0≤α<π,故只能 π? 3 π π 2π π π sin? ?α+6?≥ 2 ,即3≤α+6≤ 3 ,即6≤α≤2.
?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 【例题 3】已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ? ? ?y=tsin α ?y=sin θ

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线. 1 ? 1 1 3 【答案】(1,0),? ,- ?;圆心为? ?4,0?,半径为4的圆 2? ?2 π 【解析】 (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1), 3

?y= 3?x-1?, C2 的普通方程为 x2+y2=1. 联立方程组? 2 2 ?x +y =1,

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1 3 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2 (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=2sin α, ? 1 ?y=-2sin αcos α
2

1

1?2 2 1 (α 为参数),P 点轨迹的普通方程为? ?x-4? +y =16.

1 ? 1 故 P 点轨迹是圆心为? ?4,0?,半径为4的圆. 【例题 4】在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.
?x=1, π π ? 2, ?,?2,- ?;? 【答案】? (- 3≤t≤ 3). 3? ? ? 3? ? ?y=t

【解析】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
?ρ=2, ? π 由? 解得 ρ=2,θ=± , 3 ? ρ = 4cos θ , ? π? ? π? 故圆 C1 与 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?. 注:极坐标系下点的表示不唯一. ?x=ρcos θ, ? (2)由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?y=ρsin θ, ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t ? ? ?x=1, (或参数方程写成? (- 3≤y≤ 3) ?y=y ?

四、课堂运用
【基础】 1.将下列参数方程化为普通方程.

?x=1+k , (1)? 6k ?y=1+k
2 2 2

3k

(k 为参数);

? ?x=1-sin 2θ, (2)? (θ 为参数); ?y=sin θ+cos θ ?

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1-t ? ?x=1+t , (3)? t y= ? ? 1+t
2 2

2

(t 为参数).

【答案】见解析 y 3· 2x y 【解析】(1)两式相除,得 k= ,将其代入,得 x= , 2x y ?2 1+? ?2x? 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2].
2 ?1-t ?2+? 2t 2?2=1,得 x2+4y2=1, (3)由? 2? ?1+t ? ?1+t ?

1-t2 又 x= ≠-1,得所求的普通方程是 x2+4y2=1(x≠-1). 1+t2

?x= t- t, 2.已知曲线 C 的参数方程为? 1? ?y=3? ?t+ t ?
求曲线 C 的普通方程. 【答案】3x2-y+6=0

1

(t 为参数,t>0).

1 1 y 【解析】∵x2=t+ -2,∴x2+2=t+ = ,故曲线 C 的普通方程为 3x2-y+6=0. t t 3
?x=5cos φ, ? 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? (φ 为参数 ) 的右焦点,且与直线 ? ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ?

【答案】x-2y-4=0 【解析】由题设知,椭圆的长半轴长为 a=5,短半轴长为 b=3,从而 c= a2-b2=4,∴右 1 焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.故所求直线的斜率为 ,因 2 1 此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2

【巩固】

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1.过点 P?

10 ? 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于点 M、N,求 PM· PN 的最小值 ? 2 ,0?

及相应的 α 的值. 3 π 【答案】 ;α= 4 2

? ?x= 10+tcos α, 2 【解析】设直线的参数方程为? ? ?y=tsin α
3 sin2α)t2+( 10cos α)t+ =0, 2 设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2, 而由参数 t 的几何意义得 PM=|t1|,PN=|t2|, 3 2 则 PM· PN=|t1t2|= , 1+sin2α

(t 是参数),代入曲线方程并整理得(1+

π 3 π 所以,当 sin2α=1,即 α= 时,PM· PN 有最小值 ,此时 α= . 2 4 2

?x=3- 22t, 2.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t
程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数).在极坐标系(与直

角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方

(2)求圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 【答案】x2+(y- 5)2=5;3 2 【解析】解法一: (1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0,

即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得?3-

?

2 ?2 ? 2 ?2 2 t + t =5,即 t -3 2t+4=0. 2 ? ?2 ?

∴t1= 2或 t2=2 2,则 A(2,1+ 5),B(1,2+ 5) 又直线 l 过点 P(3, 5),故由上式及 t 的几何意义得, |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 解法二:(1)同法一. (2)因为圆 C 的圆心为 (0 , 5) ,半径 r = 5 ,直线 l 的普通方程为: y =- x + 3 + 5. 由

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?x +?y- 5? =5, ?x=1, ?x=2, 得 x2-3x+2=0.解得:? 或? ? ?y=2+ 5 ?y=1+ 5. ?y=-x+3+ 5
不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.

2

2

【拔高】
? ?x=cos θ, 1.已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐 ?y=sin θ ?

︵ π 标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧AP的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π? 【答案】? ?3,3?;

? ?x=1+? ?6-1?t, ? 3π ?y= 6 t

π

(t 为参数)

π π? π π 【解析】(1)由已知,点 M 的极角为 ,且点 M 的极径等于 ,故点 M 的极坐标为? ?3,3?. 3 3 π 3π? (2)点 M 的直角坐标为? , ,A(1,0), ?6 6 ? π ? x=1+? ?6-1?t, 故直线 AM 的参数方程为 (t 为参数). 3π y= t 6

? ? ?

?x=cos φ, ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,C1 的参数方程为? (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程 ?y=sin φ ? ?x=acos φ, ? 为? (a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 ? ?y=bsin φ

π 线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点的距离为 2,当 α= 时,这两 2 个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交点分别 4 4 为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 【答案】1; 2 5

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【解析】(1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离 为 2,所以 a=3. π 当 α= 时,射线 l 与 C,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所 2 以 b=1. x2 (2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和 +y2=1. 9 π 2 3 10 当 α= 时, 射线 l 与 C1 的交点 A1 的横坐标为 x= , 与 C2 的交点 B1 的横坐标为 x′= . 4 2 10 π 当 α=- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点,A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边 4 ?2x′+2x??x′-x? 2 形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为 = . 2 5

课程小结
一个复习指导 复习本讲时,应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立 以及各参数方程中参数的几何意义,同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.

课后作业
【基础】
? ? ?x=1+cos θ, ?x=1+2t, 1.P 为曲线 C1:? (θ 为参数)上一点,求它到直线 C2:? (t 为参 ? ? ?y=sin θ ?y=2

数)距离的最小值. 【答案】1 【解析】将曲线 C1 化成普通方程是(x-1)2+y2=1,圆心是(1,0), 直线 C2 化成普通方程是 y-2=0,则圆心到直线的距离为 2. 所以曲线 C1 上点到直线的最小距离为 1. x2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是椭圆 +y2=1 上的一个动点, 3 求 S=x+y 的最大值. 【答案】2

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?x= 3cos φ, x2 【解析】∵椭圆 +y2=1 的参数方程为? (φ 为参数),故可设动点 P 3 ?y=sin φ
的坐标为( 3cos φ,sin φ),其中 0≤φ<2π.因此 S=x+y= 3cos φ+sin φ= 2? π π 3 1 ? φ+ ?,∴当 φ= 时,S 取得最大值 2. cos φ+ sin φ =2sin? 3 ? ? 6 2 ?2 ?

? ?x=m+2cos α, 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),曲线 D 的 ?y=2sin α ? ? ?x=2-4t, 参数方程为? (t 为参数).若曲线 C、D 有公共点,求实数 m 的取值范围. ?y=3t-2 ?

8? 【答案】? ?-4,3? 【解析】曲线 C 的普通方程为(x-m)2+y2=4. 曲线 D 的普通方程为 3x+4y+2=0. |3m+2| 因为曲线 C、D 有公共点,所以 ≤2,|3m+2|≤10. 5 8? 8 解得-4≤m≤ ,即 m 的取值范围是? ?-4,3?. 3
?x=2cos θ, ? 4. 已知极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-1=0 的直线与 x 轴的交点为 P, 与椭圆? (θ ?y=sin θ ?

为参数)交于点 A,B,求 PA· PB 的值. 6 【答案】 5 【解析】由题意,直线经过点 P(1,0),

?x=1- 22t, 其参数方程为? 2 ?y= 2 t

(t 为参数),①

x2 又椭圆方程为 +y2=1,② 4

6 将①代入②,整理,得 5t2-2 2t-6=0;所以 PA· PB=|t1t2|= . 5 π? 5.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=4 2cos? ?θ-4?,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半
? ?x=t+1, 轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),求直线 l 被⊙C 截 ?y=t-1 ?

得的弦 AB 的长度. 【答案】2 6

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【解析】⊙C 的方程可化为 ρ=4cos θ+4sin θ,两边同乘 ρ,则 ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ. 由 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,得 x2+y2-4x-4y=0. 圆心 C 的坐标为(2,2),圆的半径 r=2 2. 又由题设知直线 l 的普通方程为 x-y-2=0, 故圆心 C 到直线 l 的距离 d= |-2| = 2. 2

∴弦 AB 长度等于 2 ?2 2?2-? 2?2=2 6.

【巩固】 1.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴

?x=2t, 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? 3 ?y= 2 t+1
被曲线 C 截得的线段长度. 【答案】4 2.

1

(t 为参数),求直线 l

【解析】将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-6y=0,即 x2+(y-3)2=9,它 表示以(0,3)为圆心,3 为半径的圆,直线方程 l 的普通方程为 y= 3x+1, 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d=1, 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 32-12=4 2.
?x=2cos θ, ?x=1+2t, ? ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,判断曲线 C:? (θ 为参数)与直线 l:? ?y=sin θ ?y=1-t ? ?

(t 为参数)是否有公共点,并证明你的结论. 【答案】没有公共点 【解析】直线 l 与曲线 C 没有公共点.证明如下: 直线 l 的普通方程为 x+2y-3=0, 把曲线 C 的参数方程代入 l 的方程 x+2y-3=0,得 π? 3 2cos θ+2sin θ-3=0,即 2sin? ?θ+4?=2. π 3 θ+ ?∈[- 2, 2],而 ?[- 2, 2], ∵ 2sin? 4 ? ? 2 π? 3 ∴方程 2sin? ?θ+4?=2无解,即曲线 C 与直线 l 没有公共点.

个性化教案 ? ?x=4-2t, x2 3.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上任意一点,求点 P 4 ?y=t-2 ?

到直线 l 的距离的最大值. 2 【答案】 10 5

? ?x=4-2t 【解析】将直线 l 的参数方程? (t 为参数)转化为普通方程为 x+2y=0, ?y=t-2 ?

x2 因为 P 为椭圆 +y2=1 上任意一点, 4 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离

? ?θ+π?? |2cos θ+2sin θ| 2 2?sin? 4?? d= = , 5 12+22
π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

?x=t+ t , 4.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30° 的直线和曲线? 1 ?y=t- t
线段 AB 的长.

1

(t 为参数)相交于 A、B 两点,求

?x= 23t-1, 【答案】? 1 ?y=2t

(t 为参数); 3

?x=-3+ 23s, 【解析】直线的参数方程为? 1 ?y=2s ?x=t+ t , 又曲线? 1 ?y=t- t
-6 3s+10=0, 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2. ∴s1+s2=6 3,s1s2=10 ∴|AB|=|s1-s2|= ?s1+s2?2-4s1s2=2 17. 1

(s 为参数),

(t 为参数)可以化为 x2-y2=4,将直线的参数方程代入上式,得 s2

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?x= 23t-1, 即? 1 ?y=2t

(t 为参数).

(2)直线 AF2 的斜率 k=- 3,倾斜角是 120° , 设 P(ρ,θ)是直线 AF2 上任一点, 则 ρ 1 = ,ρsin(120° -θ)=sin 60° , sin 60° sin?120° -θ?

则 ρsin θ+ 3ρcos θ= 3. 5.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的

?x=2 2cos α, 方程为 ρ2=8ρsin θ-15,曲线 C2 的方程为? (α 为参数). ?y= 2sin α
(1)将 C1 的方程化为直角坐标方程; 3π (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α= ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 4 【答案】x2+y2-8y+15=0; 13-1 【解析】(1)x2+y2-8y+15=0. 3π (2)当 α= 时,得 Q(-2,1),点 Q 到 C1 的圆心(0,4)的距离为 13, 4 所以 PQ 的最小值为 13-1.

【拔高】 1.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.
? ?x=4t , π θ+ ?=2 2与曲线 C2:? 曲线 C1:ρcos? (t 为参数,t∈R)交于两个不同 ? 4? ?y=4t ?
2

的点 A、B.求证:OA⊥OB. 【答案】见解析 【解析】曲线 C1 的直角坐标方程是 x-y=4, 曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y2=4x. 联立以上两个方程,消去 x,得 y2-4y-16=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1.2=2± 2 5. ∴A(6-2 5,2-2 5),B(6+2 5,2+2 5).

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2-2 5 2+2 5 4-20 ∵kOA· kOB= × = =-1,∴OA⊥OB. 6-2 5 6+2 5 36-20

?x=2cos θ, 2.已知圆锥曲线? (θ 是参数)和定点 A(0, 3),F1、F2 是圆锥曲线的 ?y= 3sin θ
左、右焦点. (1)求经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐 标方程.

?x= 23t-1, 【答案】? 1 ?y=2t

(t 为参数); 3

?x=2cos θ, x2 y2 【解析】(1)圆锥曲线? 化为普通方程 + =1, 4 3 ?y= 3sin θ
所以 F1(-1,0),F2(1,0),则直线 AF2 的斜率 k=- 3,于是经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的斜率 k′= 3 ,直线 l 的倾斜角是 30° , 3

? , ?x=-1+tcos 30° 所以直线 l 的参数方程是? (t 为参数), ?y=tsin 30° ?


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坐标系与参数方程1
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