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排列组合问题的常见模型(详解)


排列组合问题的常见模型
一、相异元素不许重复的排列组合问题
这类问题有两个条件限制,一是给出的元素是不同的,即不允许有相同的元素;二是取出的元素也是 不同的,即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。 模型1: 从 n 个不同的元素中每次取出 m 个不同元素作排列或组合, 规定某 k 个元素都包含在内, 则:
m? k 组合数: N1 ?

Cn ?k m m? k 排列数: N2 ? Am Cn?k

例1.全组有 12 个同学,其中有3个女同学,现要选出5个,如果3个女同学都必须当选,试问在下 列情形中,各有多种不同的选法? (1)组成一个文娱小组; (2)分别担任不同的工作. 解: (1)由于要选出的5人中,3个女同学都必须当选,因此还需要选2人.这可从9个男同学中
5?3 选出,故不同的选法有: N1 ? C12 ?3 ? 36(种)

(2)在上述组合的基础上,因为还需要考虑选出5人的顺序关系,故不同的选法有:
5 5?3 5 2 N2 ? A5 C12?3 ? A5 C9 ? 120 ? 36 ? 4320(种)

模型2.从 n 个不同的元素中每次取出 m 个不同元素作排列或组合,规定某 k 个元素都不包含在内, 则:
m 组合数: N1 ? Cn ?k m m m 排列数: N2 ? Am Cn?k ? An ?k

例2.某青年突击队有 15 名成员,其中有5名女队员,现在选出7人,如果5名女队员都不当选,试 问下列情形中,各有多少种不同的选法? (1)组成一个抢修小组; (2)分别但任不同的抢修工作. 解: (1)由于5名女队员都不当选,因此只能从 10 名男同学选出,故不同的选法有:
7 7 3 N1 ? C15 ?5 ? C10 ? C10 ? 120 (种)

(2)由于还需考虑选出的7个人的顺序问题,故不同的选法有:
7 7 N2 ? A15 ?5 ? A 10 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 604800 (种)

模型3.从 n 个不同的元素中每次取出 m 个不同元素作排列或组合,规定每一个排列或组合,都只包
m? s 含某 k 个元素中的某 s 个元素。则组合数: N1 ? Cn ?k m m?s 排列数: N2 ? Am Cn?k

例 3.全组 12 个同学,其中有 3 个女同学,现要选出 5 人,如果 3 个女同学中,只有甲当选,试问在 下列情形中,各有多少种不同的选法? (1)组成一个数学小组; (2)分别担任不同的工作. 解: (1)由于女同学中只有甲当选,所以还需4人,这4人要从男同学中选,因此不同选法有:
5?1 4 N1 ? C12 ?3 ? C9 ? 126(种)

(2) 由于选出的人要分别担任不同的工作, 所以不同的选法有:N2 ? A5 C12?3 ? A5 C9 ? 15120(种) .
5 5 4

5?1

模型4.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列或组合,规定每一个排列或组合,都只包 含某 r 个元素中的 s 个元素。则:组合数: N1 ? Cr Cn?r
s k ?s

排列数: N2 ? Ak Cr Cn?r
k s

k ?s

例4.全组 12 个同学,其中有 3 个女同学,现要选出 5 人,如果 3 个女同学中,只有1人当选,试问 在下列情形中,各有多少种不同的选法? (1)组成一个数学小组; (2)分别担任不同的工作.
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解: (1)由于女同学中只有1人当选,所以从3个女同学中选1人,从9个男同学中选4人,不同
1 5?1 1 4 的选法有: N1 ? C3 C12?3 ? C3 C9 ? 378(种)

(2)由于选出的人要分别担任不同的工作,所以不同的选法有:
5 1 5?1 5 1 4 N2 ? A5 C3C12?3 ? A5 C3C9 ? 45360(种) .

模型5.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列或组合,规定每一个排列或组合,都至少 包含某 r 个元素中的 s 个元素.则:
k ?s s ?1 k ?s ?1 k ? s ?2 k ?r 组合数: N1 ? CrsCn ? Crs?2Cn ? ??? Crr Cn ?r ? Cr Cn?r ?r ?r k k ?s s ?1 k ?s ?1 k ? s ?2 k ?r 排列数: N2 ? Ak (CrsCn ? Crs?2Cn ???? Crr Cn ?r ? Cr Cn?r ?r ?r )

例5.全组 12 个同学,其中有 3 个女同学,现要选出 5 人,如果 3 个女同学中至少有1人当选,试问 在下列情形中,各有多少种不同的选法? (1)组成一个数学小组; (2)分别担任不同的工作.
1 4 2 3 3 2 解: N1 ? C3 C9 ? C3 C9 ? C3 C9 ? 666(种), 5 1 4 2 3 3 2 N2 ? A5 (C3 C9 ? C3 C9 ? C3 C9 ) ? 120 ? 666 ? 79920(种)

模型6.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列或组合,规定每一个排列或组合,都至多 包含某 r 个元素中的 s 个元素.则:
k 1 k ?1 2 k ?2 s k ?s 组合数: N1 ? Cr0Cn ?r ? Cr Cn?r ? Cr Cn?r ? ??? Cr Cn?r 5 k 1 k ?1 2 k ?2 s k ?s 排列数: N2 ? A5 (Cr0Cn ?r ? Cr Cn?r ? Cr Cn?r ? ??? Cr Cn?r )

例6.全组 12 个同学,其中有 3 个女同学,现要选出 5 人,如果 3 个女同学中至多有2人当选,试问 在下列情形中,各有多少种不同的选法? (1)组成一个数学小组; (2)分别担任不同的工作.
0 5 1 4 2 3 解: N1 ? C3 C9 ? C3 C9 ? C3 C9 ? 766(种), 5 0 5 1 4 2 3 N2 ? A5 (C3 C9 ? C3 C9 ? C3 C9 ) ? 120 ? 766 ? 91920(种)

模型7.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列,规定某 r 个元素都包含在内,并且分别
k ?r 占据指定的位置.则 N ? An ?r

例7.用 1;2;3;4;5 这五个数字,能组成多少个没有重复数字且能被 25 整除的四位数? 解:∵能被 25 整除的数的末两位能被 25 整除,又∵1;2;3;4;5 四个数字中没有 0 ∴要求四位数能被 25 整除,最后两位只能是 25.∴能组在被 25 整除的四位数只要选取前两位数 就可以,所以有
4? 2 2 . N ? A5 ?2 ? A 3 ? 6 (个)

模型 8.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列,规定某个元素不能占据某个位置. 则 N ? An ? An?1
k k ?1

例8.用 0;1;2;3;4;5 这六个数字,能组成多少个没有重复数字的四位数? 解:∵0不能排在首位,∴能组成四位数有 N ? A6 ? A5 ? 300 (个)
4 3

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模型9.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列,规定某 s 个位置的元素只能从某 r 个元
k ?s 中选取.则 N ? Ars An ?s

例 9.用 1;2;3;4;5 这五个数字,能组成多少个没有重复数字的四位偶数?
1 3 解:∵个位只能排 2 或 5,∴能组成四位偶数有 N ? A2 ? A4 ? 48 (个)

模型 10.从 n 个不同的元素中每次取出 k 个不同元素作排列,规定某 s 个位置的元素只能从某 r 个元
k ?s 中选取,而其余位置的元素只能从其余元素中选取.则 N ? Ars ? An ?s

例 10.用 1至9 这九个数字,能组成多少个没有重复数字并且奇数位(从右边起)是奇数,偶数位是 偶数的五位数? 解: ∵奇数位的个位, 百位和万位只能从 1;3;5;9 这四个数中选取, 偶数位的十位和千位只能从 2;4;6;8
3 2 这四个数中选取,∴能组成五位数共有 N ? A5 ? A4 ? 720(个) n ?r ?1 模型 11.把 n 个不同的元素作全排列,规定某 r 个元素连排在一起,则 N ? Arr ? An ?r ?1

例 11.用 1;2;3;4;5 这五个数字,能组成多少个没有重复数字并且两个偶数字连在一起的五位数? 解:先把两个偶数字看成一个整体,作为一个数字来参加排列,然后再考虑这两个数字的前后顺序关
2 4 系,因此能组面符合条件的五位数有 N ? A2 ? A4 ? 48(个)

模型 12.把 n 个不同的元素作全排列,规定某 r 个元素中的任意两个元素都不连排在一起, (r≤

n ?1 r n ?r ) 则 N ? An ?r ?1 ? A n?r 2

例 12.用 1;2;3;4;5;6 这六个数字,能组成多少个没有重复数字并且任意两个奇数字都不连在一起的 六位数? 解:先排好三个偶数字,然后在三个偶数字之间的四个空位中,任选三个来排奇数字,因此能组
3 3 成合条件的六位数有 N ? A4 ? A3 ? 24 ? 3 ? 72(个)

例 13.某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课,如果第一节不排体育,最后 一节不排数学,一共有多少不同的排法? 解法(一)把六门课看成元素,把课表节次看成位置,元素找位置. 由于数学体育这两个元素有附加条件,为此优先加以考虑,若以数学课排法进行分类;则
5 1 4 1 4 1 数学排在第一节, N1 ? A5 ;○ 2 数学排在第二节, N2 ? A4 3 数学排在第三节, N3 ? A4 A4 ;○ A4 ○ 1 4 1 4 4 数学排在第四节, N4 ? A4 5 数学排在第五节, N5 ? A4 A4 ;○ A4 ○

根据加法原理,共有 N1 +N2 +N3 +N4 +N5 ? 21? A4 ? 504(种) 不同排法.
4

解法(二)用位置分析法,先安排有约束条件的位置,位置选元素. 若以第一节排法进行分类:
5 1 4 1 4 1 第一节排数学, N1 ? A5 ;○ 2 第一节排语文; N2 ? A4 A4 ○ 3 第一节排英语, N3 ? A4 A4 ○ 1 4 1 4 4 第一节排物理, N4 ? A4 A4 ;○ 5 第一节排化学, N5 ? A4 A4 ○

根据加法原理,共有 N1 +N2 +N3 +N4 +N5 ? 21? A4 ? 504(种) 不同排法.
4

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6 解法(三)考虑用间接法.不考虑任何限制条件,共有 A6 种不同的排法,但其中所括 5 5 (1)数学排在最后一节的排法. A5 种; (2)体育排在第一节的排法. A5 种;这两种情况下, 5 都包含了数学排在最后一节, 体育排在第一节的情况, 这种情况共有 A5 种不同的排法. 因 6 5 4 此,不同的排法共有 N ? A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504(种)

说明(1)有约束条件的排列问题,应先排好有约束条件的元素或位置,然后再排没有约条件的元素或位 置.也可用间接法解 ,先排不考虑约束条件 ,求出所有的排列种数,然后减去不合题目要求的排 列种数. (2)本的一般模型是:把个不同的小球入入个有编号的盒中,每盒一个,但其中的甲球不能放入 A 盒,
n n?1 n ?2 乙球不能放入 B 盒,共有不同的放法 N ? An ? 2 An ?1 ? A n?2 种.

例 14.A、B、C、D、E五人站成一排, (1)如果A、B两人要站在两端,有多少种站法? (2)如果A、B两人不站在两端,有多少种站法? (3)如果A、B两人相邻,有多少种站法? (4)如果A、B两人不相邻,有多少种站法? (5)如果A在B的左边(可以不相邻) ,有多少种站法?
2 3 解(1)因为A、B排在两端的的不同方法有 A2 种方法,第二步排中间三人共有 A3 种不同的排法, 2 3 所以根据乘法原理不同的排法共有 A2 ? A3 ? 12 种不同的排法. 2 (2)第一步由 C、D、E 三人中任选两人排在两端的不同排法有 A3 种不同的排法,第二步由余下 3 3 2 的三人排中间位置共有不同的排法 A3 种。所以符合要求的不同排法总数为 A3 ? A3 ? 36 种. 4 2 (3)把 A、B 视为一个整体(AB) ,则(AB) ,C,C,D,E 的全排列数是 A4 种,再排 AB 则有 A2 种 4 2 方法.因此符合要求的排法共有 A4 ? A2 ? 48 种.

(4)A、B 两人不相邻,有两种思考:
5 4 2 1 用间接法, N ? A5 2 先排好 C、D、E,然后现让 A、B 站到 C、D、E 的 ? A4 A2 =72 种.○ ○ 3 2 空位(包括两端) ,即排 C、D、E 有 A3 种方法,排 A、B 插空位有 A4 种方法,所以共有 4 2 A4 ? A2 ? 48 种.

(5)由于 A 的位置确定后,B 的位置便可选择自已的位置。为此,可按 A 的位置进行分类: A 在左数第第一位置的站法有 A4 ? A3 种;A 在左数第第二位置的站法有 A3 ? A3 种;
1 3 1 3

A 在左数第第三位置的站法有 A2 ? A3 种;A 在左数第第四位置的站法有 A 1 ?A 3 种.
1 3 1 3

所以A在B的左边的不同站法共有N= A4 ? A3 + A3 ? A3 + A2 ? A3 + A 1 ?A 3 =60 种.
1 3 1 3 1 3 1 3

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