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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题


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2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题
(考试时间:10 月 11 日上午 8∶00—9∶20)

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分.把答案填在横线上.
1.若函

数 f ( x ) =

x 1+ x
2

,且 f

(n)

f[f[f L f ( x ) = 14243 ( x)]] ,则 f (99) (1) =
n



2.已知直线 L : x + y ? 9 = 0 和圆 M : 2 x + 2 y ? 8 x ? 8 y ? 1 = 0 ,点 A 在直线 L 上, B 、 C
2 2

为 圆 M 上 两 点 , 在 △ ABC 中 , ∠BAC = 45° , AB 过 圆 心 M , 则 点 A 横 坐 标 范 围 为 .

?y ≥ 0 ? 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为: ? y ≤ x N 是随 t 变化的区域,它由不等式 ?y ≤ 2? x ?
t ≤ x ≤ t + 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤ 1 , 设 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 f (t ) , 则

f (t ) =
4.使不等式 为 5.椭圆 值为



1 1 1 1 + +L + < a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值 n +1 n + 2 2n + 1 3


x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )上任意两点 P , Q ,若 OP ⊥ OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小 a2 b2
. .

6.若方程 lg kx = 2 lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

7.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后 一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) . 8.某车站每天 8∶00—9∶00,9∶00—10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且 两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 概率 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50

1 6

1 2

1 3
(精确到分) .

一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为

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二、解答题:本大题共 3 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
1. (本小题满分 14 分)设直线 l : y = kx + m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 + = 1 交于不 16 12

同两点 A , B ,与双曲线

x2 y 2 ? = 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12

uuur uuu r r AC + BD = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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2

2. (本小题满分 15 分)已知 p , q ( q ≠ 0 )是实数,方程 x ? px + q = 0 有两个实根 α , β , . 数列 {an } 满足 a1 = p , a2 = p ? q , an = pan ?1 ? qan ? 2 ( n = 3,4,…)
2

(I)求数列 {an } 的通项公式(用 α , β 表示) ; (II)若 p = 1 , q =

1 ,求 {an } 的前 n 项和. 4

3. (本小题满分 15 分)求函数 y =

x + 27 + 13 ? x + x 的最大值和最小值.

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2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
(考试时间:10 月 11 日上午 9∶40—12∶10)

一、 如图,M ,N 分别为锐角三角形△ ABC( ∠A < ∠B ) 的外接圆 Γ 上弧 BC 、AC 的中点. 过 点 C 作 PC // MN 交圆 Γ 于 P 点, I 为△ ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 Γ 于 T . (I)求证:当 MP ? MT = NP ? NT ; ,记△ AQC ,△ QCB 的内心分 (II)在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) 别为 I1 , I 2 ,求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

P

C

N M

I

B A Q T

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二、求证不等式: ?1 <

∑k
k =1

n

2

k 1 ? ln n ≤ , n = 1,2,…. +1 2

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k

三、设 k , l 是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Cm 与 l 互素.

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四、在非负数构成 3 × 9 数表

? x11 ? P = ? x21 ?x ? 31

x12 x22 x32

x13 x23 x33

x14 x24 x34

x15 x25 x35

x16 x26 x36

x17 x27 x37

x18 x28 x38

x19 ? ? x29 ? ? x39 ?

中每行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 = x28 = x39 = 0 , x27 , x37 , x18 , x38 ,

x19 , x29 均大于 1.如果 P 的前三列构成的数表

? x11 ? S = ? x21 ?x ? 31

x12 x22 x32

x13 ? ? x23 ? ? x33 ?

? x1k ? ? ? 满足下面的性质(O) :对于数表 P 中的任意一列 x2 k ( k = 1,2,…,9)均存在某个 ? ? ?x ? ? 3k ?
i ∈ {1,2,3}使得 xik ≤ ui = min { xi1 , xi 2 , xi 3 }.
求证: (I)最小值 ui = min { xi1 , xi 2 , xi 3 }, i = 1,2,3 一定取自数表 S 的不同列.

? x1k * ? ? ? (II)存在数表 P 中的唯一的一列 x2 k * , k * ≠ 1,2,3 使得 3 × 3 数表 ? ? ?x ? ? 3k* ? ? x11 ? S ' = ? x21 ?x ? 31 x12 x22 x32 x1k * ? ? x2 k * ? ? x3k * ?

? x1k ? ? ? 仍然具有性质(O) ,即对于数表 P 中的任意一列 x2 k ( k = 1,2,…,9)均存在某个 ? ? ?x ? ? 3k ?
i ∈ {1,2,3}使得 xik ≤ ui = min { xi1 , xi 2 , xik * }.

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