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海南省文昌中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015—2016 学年度第一学期高二年级数学(理科)期考试题
(完成时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( A.-2 B.- )

5 3



C.2 )

D.3

2.原命题“若 x ? ?3 ,则 x ? 0 ”的逆否命题 是( .... A.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 C.若 x ? 0 ,则 x ? ?3

B.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 D.若 x ? 0 ,则 x ? ?3 )

3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ,那么命题 ? p 为( A. ?x ? R, x ? 2 C. ?x ? R, x ? ?2

B. ?x0 ? R, x0 ? 2 D. ?x0 ? R, x0 ? ?2 )

4.若平面 α 、β 的法向量分别为 n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( A.α ∥β C.α ,β 相交但不垂直 5.抛物线 y ? ?4 x 2 的焦点坐标是( A. (-1,0) B. (0,-1)
2 2

B.α ⊥β D.以上均有可能 ) C. (?

1 ,0) 16


D. (0, ?

1 ) 16

6.“a>0,b>0”是“方程 ax +by =1 表示椭圆”的( A.充要条件 C.必要非充分条件

B.充分非必要条件 D.既不充分也不必要条件 )[来源:学.科网ZXK] 6 3 2 2 D.- 3

7.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=( A. 6 3
2

2 2 B. 3

C.-

8.已知抛物线 x =2py(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐 标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.y=-1 C.y=-2 B.y=1 D.y=2 )[来源:学科网Z-XK]

9.如下图所示,点 F 1 (0, ? 2) , F 2 (0, 2) ,动点 M 到 点 F2 的距离是 4,线段 MF1 的中垂线交 MF2 于点 P . 当点 M 变化时,则动点 P 的轨迹方程为( )

y

F2

x
P
F1

1

y A. x ?
2

2

4

2

?1

B.

y 2 x2 ? ?1 4 2
2

C. x ?

y

2

?1

y D.

2

4

?x

2

2

?1

10.中心在原点,一焦点为 F1(0,c)的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标是 为( A. ) B.
2

1 ,则此椭圆的离心率 2

1 2

6 3

C.

5 3

D.

2 3
x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 a

11.已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线

A ,若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 等于(
A.
1 2

) D.
1 9

B.

1 3

C.

1 4

x2 y2 12.设直线 x-3y+t=0(t≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B. 若点 M(t,0) a b
满足|MA|=|MB|,则双曲线的渐近线方程为( A.y = ? 4x B. )

y = ? 2x

C.y = ?

1 x 2

D.y = ?

1 x 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.抛物线的顶点为原点,焦点在 x 轴上。直线 2 x ? y ? 0 与抛物线交于 A、 B 两点,P(1,2)为线段

AB 的中点,则抛物线的方程为
14.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 15.已知双曲线 双曲线上,则 的左右焦点分别为 =___________. . )在该

,其一条渐近线方程为 y = x ,点 P(

16.中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆经过点 P (3,4) ,椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,若 PF 1 ? PF 2, 则椭圆的方程为________.

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列. (Ⅰ)求{ an }的公比 q ;
2

(Ⅱ)求 a1 - a3 =3,求 s n .

18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 c ? 3, b ? 1, B ? 300 . (Ⅰ)求角 C 和 A ; (Ⅱ)求△ABC 的面积 S.

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P - ABC 中,PA = PB = AB = 2 ,BC = 3 ,∠ABC=90°,平面 PAB⊥ 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB⊥PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. A D E P

[来源:Z-xk.Com]

B C 20. (本小题满分 12 分)如图,弧 ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD ? AB ,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持 |PA|+|PB| 的值不变. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的 方程; (Ⅱ)过点 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若 EM ? ?1 MB, EN ? ?2 NB, 求证 : ?1 ? ?2 为定值.

???? ?

???? ??? ?

??? ?

[来源:学科网Z-XK] 21. (本小题满分 12 分)如右图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的 角为 30°,AE 垂直 BD 于 E,F 为 A1B1 的中点. (1)求异面直线 AE 与 BF 所成的角的余弦; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的余弦; (3)求点 A 到平面 BDF 的距离.

22. (本小题满分 12 分)已知动点 P 与双曲线 x - =1 的两焦点 F1、F2 的距离之和为 3 → → 大于 4 的定值,且|PF1|?|PF2|的最大值为 9. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;
3

2

y2

→ → (2)若 A、B 是曲线 E 上相异两点,点 M(0,-2)满足AM=λ MB,求实数 λ 的取值范围. 2015—2016 学年度第一学期 高二年级数学(理科)期考试题参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 A 9 B 10 B 11 D 12 C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

y2=8x

14.

1 4

15.

0

16.

x2 y2 ? ?1 45 20

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.解:(Ⅰ) 依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

??????????2 分

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

????????????????4 分

1 2 1 2

????????????????5 分

2 ( ) ?3 (Ⅱ) 由已知可得 a1 ? a 1 ?

??????????6 分

故 a1 ? 4

????????????????????7 分

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? 9分 ? ( 1? ( ? ?????????????? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2 1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 ??????????????10 分 Sn ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
18.解: (Ⅰ)∵

sin C c 3 ? , sin C ? , sin B b 2

??????????????2 分[来源:学+科网ZXK] ??????????????4 分 ?????????6 分 ?????????9 分

∵ c > b , ∴C>B,

0 0 0 0 ∴ C ? 60 , A ? 90 或 C ? 120 , A ? 30

(Ⅱ)当 A ? 90 时, S ? bc sin A ? ; 2 2
0

1

3

4

当 A ? 300 时, S ?

1 3 3 3 ,所以 S= ?????12 分 bc sin A ? 或 2 4 2 4

19.解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ? DE∥BC .? DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC ???????????????3 分

(Ⅱ)连结 PD,? PA=PB,? PD ⊥ AB. ????????????4 分 DE∥BC,BC ⊥ AB, ∴ DE ⊥ AB. ??????????????????5 分

又? PD ? DE ? D ,? AB⊥平面 PDE. ? PE? 平面 PDE,

? AB⊥PE . ? PD ? 平面 ABC.

??????????????????7 分

(Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB, ??????????????????8 分 P z

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2
??? ? ??? ? 3 , ? 3) .?9 分 ∴ PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0,

2

A D B x E C y

, y, x ,y , zz ) ), 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x
? x ? 3 z ? 0, ? ? ?3 ? y ? 3 z ? 0, ?2

令 z ? 3 得 n1 ? (3 , 2 , (3 , 2 , 3) 3) .

???????????????10 分

(0, 1 , 0) . ? DE⊥平面 PAB,? 平面 PAB 的法向量为 n2 ?(0,1,0)
设二面角的 A-PB-E 大小为 ? ,由图知, 所以 ? = 60? ,即二面角的 A-PB-E 的大小为 60 ? .?????? 12 分 ,

20. (Ⅰ)解:以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ???????????1 分 ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ???????2 分 ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a, 短半轴为 b, 半焦距为 c, 则 2a=2 5 , ∴a= 5 , c=2, b=1. ∴曲线 C 的方程为 ?????????????4 分 ?????????????5 分
5

x2 2 +y =1. 5

(Ⅱ)证:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E(0, y0 ) , 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内, 故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM ? ?1 MB , ∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ?

???? ?

????

y0 2?1 , y1 ? . 1 ? ?1 1 ? ?1

?????????????7 分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (
2

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1, 5 1 ? ?1 1 ? ?1
2

去分母整理,得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0 .?????????9 分 同理,由 EN ? ?2 NB 可得: ?2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 ? 0 .???11 分
2 2

??? ?

??? ?

∴ ∴

?1 , ?2 是方程 x 2 ? 10x ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 的两个根,

?1 ? ?2 ? ?10 .

????????????????12 分

21.解:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标[来源:学科网] 系如右图. ??????1 分 由已知 AB=2,AA1=1, 可得 A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).??2 分 又 AD⊥平面 AA1B1B,从而 BD 与平面 AA1B1B 所成的角即为∠DBA=30°, 2 3 又 AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD= , 3 1 3 2 3 从而易得 E( , ,0),D(0, ,0). 2 2 3 (1)∵ 1 3 =( , ,0), BF =(-1,0,1). 2 2 1 - 2 2 = =- . 4 2 2 . 4 ??????????4 分 ????????5 分[来源:学+科网ZXK] ??????????3 分

cos(AE, BF)

即异面直线 AE、BF 所成的角的余弦为

(2)易知平面 AA1B 的一个法向量 m=(0,1,0), 设 n=(x,y,z)是平面 BDF 的一个法向量. 2 3 =(-2, ,0). 3 -x+z=0 由 2 3 2x- y=0 3

x=z,
3x=y.

????6 分

取 n=(1, 3,1),∴cos〈m,n〉=

m?n 3 15 = = . |m||n| 1? 5 5

6

即平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的余弦值为 (3)点 A 到平面 BDF 的距离, 即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值. 所以距离 2 5 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 . 5

15 .???8 分 5

??????9 分

????????????12 分

22. 解: (1)双曲线 x - =1 的两焦点 F1(-2,0)、F2(2,0). ?????1 分 3 → → 设已知定值为 2a,则|PF1|+|PF2|=2a, 因 此 , 动 点 P 的 轨 迹 E 是 以 F1( - 2 , 0) , F2(2 , 0) 为 焦 点 , 长 轴 长 为 2a 的 椭 圆. 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). → ?2 → → ? → 2 ∵|PF1|?|PF2|≤?|PF1|+|PF2|? =a , ? ? 2 ? ? → → 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立, ∴a =9,b =a -c =5. ∴动点 P 的轨迹 E 的方程是 + =1 9 5 → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由AM=λ MB, 得 且 M、A、B 三点共线,设直线为 l, ①当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx-2,
2 2 2 2

2

y2

??????2 分

x2 y2 a b

??????????3 分

??????????4 分

x2 y2

??????????5 分 -x1=λ x2, -2-y1=λ (y2+2).

??6 分

y=kx-2,


x2 y2
9

+ =1, 5
2

得(5+9k )x -36kx-9=0.
2

2

2

?????????7 分

Δ =(-36k) -4(5+9k )(-9)>0 恒成立.

x1+x2=
由韦达定理,得

36k 2, 5+9k

-9 x1x2= 2. 5+9k
2

????????????8 分

(1-λ ) 144k 将 x1=-λ x2 代入,消去 x2 得 = 2. λ 5+9k 当 k=0 时,得 λ =1; ??????????????????9 分

2

7

(1-λ ) 144 2 当 k≠0 时, = ,由 k >0,得 λ 5 2+9

2

k

(1-λ ) 0< <16,得 9-4 5<λ <9+4 5,且 λ ≠1. λ ②当直线 l 的斜率不存在时,A、B 分别为椭圆短轴端点, -2-y1 此时 λ = =9±4 5. 2+y2

2

?????10 分

??????????11 分 ??????12 分

综上所述,λ 的取值范围是[9-4 5,9+4 5].

8


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