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2016年山西省吕梁市高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年山西省吕梁市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 是复数 z 的共轭复数,且满足(1﹣z) (1+ )=2i,则 z=( ) A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i 2.函数 f(x)=ex+x﹣4 的零点所在的区间为( ) A. B. (﹣1,0) (0,1) C. (1,2) D. (2,3)

2 2 2 3.过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =r 的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A.2x+y﹣5=0 B.2x+y﹣7=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.x﹣2y﹣7=0 4.5 个数依次组成等比数列,且公比为﹣2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.﹣ B.﹣2 C.﹣ D.﹣

5. 某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关, 于是随机抽取 1000 名成年人调查是否吸烟 是否患有肺病,得到 2×2 列联表,经计算的 K2=5.231.已知在假设吸烟与患肺病无关的前 提条件下,P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则该研究所可以( ) A.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” D.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 6. m 为空间内一条直线, 已知直线 l 与平面 α 相交但不垂直, 则下列结论可能成立的是 ( ) A.m∥l,m⊥α B.m∥l,m∥α C.m⊥l,m⊥α D.m⊥l,m∥α 7.某次知识竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是 100 分,在答题过程中,各小组每答对 1 题都可以使自己小队的积分增加 5 分,若答题过程中四个小队答对的题数分别是 4 道,7 道,7 道,2 道,则四个小组积分的方差为( ) A.50 B.75.5 C.112.5 D.225 8.已知函数 f(x)=cos(4x﹣ )+2cos2(2x) ,将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐 个单位,得到函数 y=g

标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移 (x)的图象,则函数 y=g(x)的一个单调递增区间为( A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[ , ] D.[ =1, ) ,

] |的取值范围为

9.已知平面向量 , , 满足 = = ( ) A.[0,+∞) B.[2 ,+∞) C.[2

=2,则|

,+∞) D.[4,+∞)

10.多次执行如图所示的程序框图,输出的 的值会稳定在某个常数附近,则这个常数为 ( )

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A.

B.

C.

D.

11.已知某几何体的三视图如图所示(其中正视图为等腰直角三角形) ,则该几何体的外接

球的表面积为(



A.12π B.8π

C.4π

D.2π ,若不等式 ) + +… + <n+λ 对任何正整数 n

12.数列{an}满足 a1= ,an+1= 恒成立,则实数 λ 的最小值为( A. B. C. D.

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二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 ,B={x|a<x<a+1},若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围

为 . 14. f x) 2], f lgx) 若不等式 ( ≤0 (x∈R) 的解集为[﹣1, 则不等式 ( >0 的解集为 . 2 15.M 为抛物线 y =8x 上一点,过点 M 作 MN 垂直该抛物线的准线于点 N,F 为抛物线的 焦点,O 为坐标原点,若四边形 OFMN 的四个顶点在同一个圆上,则该圆的面积 为 . 16. 已知函数 有两个极值, 则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知△ABC 的面积为 , (1)求 AC 的长; (2)设 ,若 ,求 sinA. .

18.某人经营一个抽奖游戏,顾客花费 3 元钱可购买一次游戏机会,每次游戏中,顾客从标 有黑 1、黑 2、黑 3、黑 4、红 1、红 3 的 6 张卡片中随机抽取 2 张,并根据摸出的卡片的情 况进行兑奖,经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别:A:同花顺,即卡片颜色相同且 号码相邻;B:同花,即卡片颜色相同,但号码不相邻;C:顺子,即卡片号码相邻,但颜 D: E: B, C, D 以外的所有可能情况. 色不同; 对子, 即两张卡片号码相同; 其他, 即 A, 若 经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖, 最容易发生的一 种类别对应顾客中二等奖,其他类别对应顾客中三等奖. (1)一、二等奖分别对应哪一种类别?(写出字母即可) (2)若经营者规定:中一、二、三等奖,分别可获得价值 9 元、3 元、1 元的奖品,假设某 天参与游戏的顾客为 300 人次,试估计经营者这一天的盈利. 19.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M 为 CD 的中点,BD⊥PM. (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)若∠APD=90°,四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ,求三棱锥 A﹣PBM 的高.

20. 已知椭圆

的右焦点为 F, 过 F 作互相垂直的两条直线分别与 E 相交于 A,

C 和 B,D 四点. (1)四边形 ABCD 能否成为平行四边形,请说明理由; (2)求四边形 ABCD 面积的最小值.

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21.已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当 x∈[﹣2,0)时,f(x)=﹣ax2﹣ln(﹣ x)+1,a∈R. (1)当 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;

(2)若对于(0,2]上任意的 x,都有|f(x)+x|≥1 成立,求实数 a 的最大值. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.已知,△ABC 内接于圆,延长 AB 到 D 点,使得 DC=2DB,DC 交圆于 E 点. (1)求证:AD=2DE; (2)若 AC=DC,求证:DB=BE.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,已知曲线 C:ρcos(θ+ )=1,过极点 O 作射线与曲线 C 交于点 Q,

在射线 OQ 上取一点 P,使|OP|?|OQ|= . (1)求点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程; (2)以极点 O 为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy,若直线

l:y=﹣

x 与(1)中的曲线 C1 相交于点 E(异于点 O) ,与曲线 C2:

(t

为参数)相交于点 F,求|EF|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣1|+|x+1|, (x∈R) (1)求证:f(x)≥2; (2)若不等式 f(x)≥ 对任意非零实数 b 恒成立,求 x 的取值范围.

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2016 年山西省吕梁市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 是复数 z 的共轭复数,且满足(1﹣z) (1+ )=2i,则 z=( A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用回代验证法求解即可. 【解答】解:如果 z=i,则(1﹣i) (1﹣i)=﹣2i,不满足题意; 若 z=﹣i,则(1+i) (1+i)=2i,满足题意. 故选:B. 2.函数 f(x)=ex+x﹣4 的零点所在的区间为( ) A. B. (﹣1,0) (0,1) C. (1,2) D. (2,3)



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论. 【解答】解:∵f(1)=e﹣3<0,f(2)=e2﹣2>0,∴f(1)f(2)<0, ∴有一个零点 x0∈(1,2) . 又函数 f(x)单调递增,因此只有一个零点. 故选:C. 3.过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线的方程为( A.2x+y﹣5=0 B.2x+y﹣7=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.x﹣2y﹣7=0 )

【考点】圆的切线方程. 【分析】由题意画出图形,可得点(3,1)在圆(x﹣1)2+y2=r2 上,求出圆心与切点连线 的斜率,再由直线方程的点斜式得答案. 【解答】解:如图,

∵过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=r2 的切线有且只有一条, ∴点(3,1)在圆(x﹣1)2+y2=r2 上, 连接圆心与切点连线的斜率为 k= ,

∴切线的斜率为﹣2, 则圆的切线方程为 y﹣1=﹣2(x﹣3) ,即 2x+y﹣7=0. 故选:B.
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4.5 个数依次组成等比数列,且公比为﹣2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( A.﹣ B.﹣2 C.﹣ D.﹣



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由题意可设这 5 个数分别为 a,﹣2a,4a,﹣8a,16a,由题意计算可得. 【解答】解:由题意可设这 5 个数分别为 a,﹣2a,4a,﹣8a,16a, 故奇数项和与偶数项和的比值为 故选:C 5. 某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关, 于是随机抽取 1000 名成年人调查是否吸烟 是否患有肺病,得到 2×2 列联表,经计算的 K2=5.231.已知在假设吸烟与患肺病无关的前 提条件下,P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则该研究所可以( ) A.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” D.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 【考点】独立性检验的应用. 【分析】根据条件中所给的计算出的观测值,把观测值同临界值进行比较,看出有 1﹣ 0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关,得到结论. 【解答】解:∵计算得 K2=5.231, 经查对临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05, ∴有 1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关 故选:A. 6. m 为空间内一条直线, 已知直线 l 与平面 α 相交但不垂直, 则下列结论可能成立的是 ( A.m∥l,m⊥α B.m∥l,m∥α C.m⊥l,m⊥α D.m⊥l,m∥α ) =﹣

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据平移不改变夹角的大小可知 A,B 错误.由 m⊥α,l 为 α 的斜线可知 m 与 l 的夹角小于 90°,故 C 错误. 【解答】解:若 m∥l,则 m 与平面 α 所成的夹角与 l 与平面 α 所成的夹角相等,即 m 与平 面 α 斜交,故 A,B 错误. 若 m⊥α,设 l 与 m 所成的角为 θ,则 0<θ< .即 m 与 l 不可能垂直,故 C 错误.

设过 l 和 l 在平面 α 内的射影的平面为 β,则当 m⊥β 且 m?α 时,有 m⊥l,m∥α,故 D 正 确. 故选:D. 7.某次知识竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是 100 分,在答题过程中,各小组每答对 1 题都可以使自己小队的积分增加 5 分,若答题过程中四个小队答对的题数分别是 4 道,7 道,7 道,2 道,则四个小组积分的方差为( ) A.50 B.75.5 C.112.5 D.225 【考点】极差、方差与标准差.
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【分析】先求四个小组积分的平均值,再求四个小组积分的方差. 【解答】解:由已知得四个小组积分分别为:120,135,135,110, ∴四个小组积分的平均值为 = =125, ∴四个小组积分的方差为: S2= [2+2+2+2]=112.5.

故选:C. )+2cos2(2x) ,将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐 个单位,得到函数 y=g

8.已知函数 f(x)=cos(4x﹣

标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移 (x)的图象,则函数 y=g(x)的一个单调递增区间为( A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[ , ] D.[ ) ,

]

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先利用和差角公式和降次升角公式,化简函数 f(x)的解析式,再根据函数图象 的周期变换及相位变换法则,求出函数 y=g(x)的解析式,结合正弦型函数的图象和性质, 可得答案. 【解答】解:函数 f(x)=cos(4x﹣ =cos(4x﹣ = cos4x+ = = )+cos4x+1 sin4x+cos4x+1 )+2cos2(2x)

sin4x+ cos4x+1 sin(4x+ )+1,

将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变, 可得:y= sin(2x+ )+1 的图象, 个单位,得到函数 y=g(x)= +kπ, sin(2x)+1 的图象, +kπ],k∈Z,

再将所得函数图象向右平移 由 2x∈[﹣ +2kπ, ,

+2kπ],k∈Z 得:x∈[﹣

当 k=0 时,[﹣ 故选:B.

]是函数 y=g(x)的一个单凋递增区间,

9.已知平面向量 , , 满足 = = ( ) A.[0,+∞) B.[2 ,+∞) C.[2

=1,

=2,则|

|的取值范围为

,+∞) D.[4,+∞)

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【考点】平面向量数量积的运算. = = =1, 【分析】由 得: =m=1, =p=2,

=2,不妨设 =(1,0) , =(m,n) , =(p,q) .可 =mp+nq=2+nq=1,n=﹣ .由

=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+

,利用基本不等式的性质可得最小值.利用|

|=

=

,即可得出.

= = =1, =2, 【解答】解:∵ 不妨设 =(1,0) , =(m,n) , =(p,q) . =m=1, =p=2, 则 =mp+nq=2+nq=1, ∴n=﹣ . =m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+



≥5+2

=7,当且仅当 q=±1 时取等号.

∴| = 故选:D.

|= ≥ =4,

=

10.多次执行如图所示的程序框图,输出的 的值会稳定在某个常数附近,则这个常数为 ( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】 根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取 [0,1]上的两个数 a,b,求(a﹣ )2+(b﹣ )2< 的概率,然后利用几何概型的概率 公式解之即可. 【解答】解:根据已知中的流程图我们可以得到: 该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0,1]上的两个数 a,b, 求(2a﹣1)2+(2b﹣1)2<1,即: (a﹣ )2+(b﹣ )2< 的概率, 由于,a∈[0,1],b∈[0,1], (a﹣ )2+(b﹣ )2< 对应的平面区域的面积为图形中

阴影部分面积:

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故 P= 故选:A.

=



11.已知某几何体的三视图如图所示(其中正视图为等腰直角三角形) ,则该几何体的外接

球的表面积为(



A.12π B.8π

C.4π

D.2π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是侧面垂直于底面,且底面是直角三角形的三 棱锥,求出该三棱锥外接球的直径,即可求出外接球的表面积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得;

该几何体是如图所示的三棱锥,

且侧面 PAC⊥底面 ABC,AC⊥BC, PA=PC= PB2=PC2+BC2=22+22=8, AB= =2 , =2,AC=2 ,BC=2;

∴PA2+PB2=AB2, ∴PA⊥PB, ∴AB 是该三棱锥外接球的直径, ∴该外接球的表面积为 S=4πR2=π? =12π.
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故选:A.

12.数列{an}满足 a1= ,an+1= 恒成立,则实数 λ 的最小值为( A. B. C. D. )

,若不等式

+

+… +

<n+λ 对任何正整数 n

【考点】数列与不等式的综合. 【分析】通过计算出数列{an}的前几项可知 an= ) ,并项相加、放缩即得结论. ,进而变形可知 =1+ ( ﹣

【解答】解:∵数列{an}满足 a1= ,an+1=



∴a2=

= = ,

a3=

= ,

a4=

= =



a5=

=



a6= …

= =



由此可知:an=





=

=

=1+

=1+ ( ﹣

) ,



+

+…+

=n+1+ (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣

+





=n+1+ (1+ ﹣




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=n+ ﹣ (

+

) ,

又∵不等式

+

+…+

<n+λ 对任何正整数 n 恒成立,

∴实数 λ 的最小值为 , 故选:D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 ,B={x|a<x<a+1},若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围为

[﹣2,1] . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】解根式不等式化简集合 A,又 A∩B=B 得到 B? A,列出不等式组,求解即可得答 案. 【解答】解:集合 又 A∩B=B,∴B? A, ∴ , ={x|﹣2≤x≤2},B={x|a<x<a+1},

解得:﹣2≤a≤1. 故答案为:[﹣2,1]. 14.若不等式 f(x)≤0(x∈R)的解集为[﹣1,2],则不等式 f(lgx)>0 的解集为 (0, )∪ . 【考点】其他不等式的解法. 【分析】由题意可得 lgx<﹣1 或 lgx>2,解得即可. 【解答】解:∵不等式 f(x)≤0(x∈R)的解集为[﹣1,2], ∴不等式 f(x)>0(x∈R)的解集为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) , ∵f(lgx)>0, ∴lgx<﹣1 或 lgx>2, 解得 0<x< ,或 x>100, )∪.

∴不等式 f(lgx)>0 的解集为(0, 故答案为: (0, )∪.

15.M 为抛物线 y2=8x 上一点,过点 M 作 MN 垂直该抛物线的准线于点 N,F 为抛物线的 O 为坐标原点, 焦点, 若四边形 OFMN 的四个顶点在同一个圆上, 则该圆的面积为 【考点】抛物线的简单性质.
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π



【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,设 M(m,n) ,可得 N(﹣2,n) ,由四边形 OFMN 的四个顶点在同一个圆上, 可得∠NMF+∠NOF=180°,即有 kMF+kON=0,运用直线的斜率公式,求得 M,N 的坐标, 再由正弦定理计算可得半径 R,即可得到所求圆的面积. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0) ,准线方程为 x=﹣2, 设 M(m,n) ,可得 N(﹣2,n) , 由四边形 OFMN 的四个顶点在同一个圆上, 可得∠NMF+∠NOF=180°, 即有 kMF+kON=0, 即为 + =0,

解得 m=4,n=±4 , 可设 M(4,4 ) ,N(﹣2,4 可得 sin∠NOF= |NF|= , =4

) ,



由正弦定理可得,

=

=2R(R 为圆的半径) ,

解得 R= 故答案为:

,则该圆的面积为 S=πR2= π.

π.

16.已知函数

有两个极值,则实数 a 的取值范围为 a≤﹣2 .

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】由原函数有两个极值,可知其导函数有两个不同的实数根,转化为直线 y=﹣ax﹣a 与曲线 y=2ex 有两个不同交点求解. 【解答】解:由 得 f′(x)=2ex+ax+a, 要使 有两个极值, ,

则方程 2ex+ax+a=0 有两个不同的实数根, 即 2ex=﹣ax﹣a 有两个不同的实数根,
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令 y=2ex,y=﹣ax﹣a, 直线 y=﹣a(x+1)过点(﹣1,0) ,设直线 y=﹣a(x+1)与 y=2ex 的切点为( 则 y′= , , ,解得:x0=0. , ) ,

则切线方程为 代入(﹣1,0) ,得

∴切点为(0,2) ,则过(﹣1,0) , (0,2)切线的斜率为 k= 由﹣a≥2,得 a≤﹣2. ∴实数 a 的取值范围为 a≤﹣2. 故答案为:a≤﹣2. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知△ABC 的面积为 , (1)求 AC 的长; (2)设 ,若 .

,求 sinA.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【分析】 (1)由三角形面积公式可以得到 sinB= (2)由三角恒等变换及等式得到 B= ,由余弦定理即可得到 AC 的长. . .

.由正弦定理得到 sinA=

【解答】解: (1)∵△ABC 的面积为 = AB?BC?sinB, ∴sinB= , 或

∵0<B<π,∴B=

由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AC?BC?cosB, 即 AC2=1 或 5, ∴当 B= 当 B= 时 AC=1; 时 AC= . sinxcosx﹣sin2x=cos2x+ +2B)=﹣ . . sin2x=2sin( +2x) .

(Ⅱ)化简得 f(x)=cos2x+2 由 f(B)=﹣ 由(Ⅰ)知 B= ,得 sin( 或

,代入上式验证可得 B=

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,得



解得 sinA=



18.某人经营一个抽奖游戏,顾客花费 3 元钱可购买一次游戏机会,每次游戏中,顾客从标 有黑 1、黑 2、黑 3、黑 4、红 1、红 3 的 6 张卡片中随机抽取 2 张,并根据摸出的卡片的情 况进行兑奖,经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别:A:同花顺,即卡片颜色相同且 号码相邻;B:同花,即卡片颜色相同,但号码不相邻;C:顺子,即卡片号码相邻,但颜 D: E: B, C, D 以外的所有可能情况. 色不同; 对子, 即两张卡片号码相同; 其他, 即 A, 若 经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖, 最容易发生的一 种类别对应顾客中二等奖,其他类别对应顾客中三等奖. (1)一、二等奖分别对应哪一种类别?(写出字母即可) (2)若经营者规定:中一、二、三等奖,分别可获得价值 9 元、3 元、1 元的奖品,假设某 天参与游戏的顾客为 300 人次,试估计经营者这一天的盈利. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)分别用 A1,A2,A3,A4,B1,B3 表求标有黑 1、黑 2,黑 3,红苕,红 3 的 卡片,从 6 张卡片中任取 2 张,共有 15 种取法,分别求出 A 类别、B 类别、C 类别、D 类 别、E 类别的概率,由此能求出一等奖、二等奖对应的类别. (2)顾客获一、二、三等奖的人数分别为 40,80,180,由此能估计经营者这一天的盈利. 【解答】解: (1)分别用 A1,A2,A3,A4,B1,B3 表求标有黑 1、黑 2,黑 3,红苕,红 3 的卡片, 从 6 张卡片中任取 2 张,共有 15 种取法, 共中 A 类别包括 A1A2,A2A3,A2A4,即 P(A)= B 类别包括 A1A3,A1A4,A2A4,B1B3,则 P(B)= C 类别包括 A2B1,A2B3,A4B3,则 P(C)= D 类别包括 A1B1,A3B3,则 P(D)= ∴P(E)=1﹣ = , , , ; ,

∵最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖,最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖, 其他类别对应顾客中三等奖, ∴一等奖对应的类别是 D,二等奖对应的类别是 B. (2)∵顾客获一、二、三等奖的人数分别为 40,80,180, ∴可估计经营者这一天的盈利为 300×3﹣40×9﹣80×3﹣180×1=120 元. 19.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M 为 CD 的中点,BD⊥PM. (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD;

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(2)若∠APD=90°,四棱锥 P﹣ABCD 的体积为

,求三棱锥 A﹣PBM 的高.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由题意取 AD 的中点 E,连接 PE,EM,AC,证明 PE⊥AD,BD⊥PE,再由 线面垂直的判定证得 PE⊥平面 ABCD,最后由面面垂直的判定得答案; (2)利用四棱锥 P﹣ABCD 的体积为
ABM,求三棱锥

,求出

,AD=2,利用 VA﹣PBM=VP﹣

A﹣PBM 的高. 【解答】 (1)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,EM,AC. ∵PA=PD,∴PE⊥AD. ∵底面 ABCD 为菱形,∴BD⊥AC, 又 EM∥AC,∴EM⊥BD. 又 BD⊥PM,∴BD⊥平面 PEM, 则 BD⊥PE,∴PE⊥平面 ABCD. 又 PE? 平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD. (2)解:设 PA=PD=a,由∠APD=90°,可得 . 由(1)可知 PE⊥平面 ABCD,则 VP﹣ABCD= = ∴ ,则 , ,AD=2. ,PB=PM=2. , . , ,

可得 PE=1, ∴

设三棱锥 A﹣PBM 的高为 h,则由 VA﹣PBM=VP﹣ABM 可得 .





∴三棱锥 A﹣PBM 的高为



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20. 已知椭圆

的右焦点为 F, 过 F 作互相垂直的两条直线分别与 E 相交于 A,

C 和 B,D 四点. (1)四边形 ABCD 能否成为平行四边形,请说明理由; (2)求四边形 ABCD 面积的最小值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)若四边形 ABCD 为平行四边形,则四边形 ABCD 为菱形,运用椭圆的对称性 可得 AC 垂直于 x 轴,则 BD 垂直于 y 轴,四边形 ABCD 不能成为平行四边形; (2)讨论当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的方程为 y=k(x﹣1) , (k≠0) , 代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式可得|AC|,将 k 换为﹣ 得|BD|,由四边形的面 积公式,运用换元法和基本不等式,可得最小值;考虑直线 AC 的斜率为 0 或不存在,分别 求得面积,即可得到面积的最小值. 【解答】解:设点 A(x1,y1) ,C(x2,y2) . (1)若四边形 ABCD 为平行四边形,则四边形 ABCD 为菱形, ∴AC 与 BD 在点 F 处互相平分,又 F 的坐标为(1,0) . ∴y1+y2=0,由椭圆的对称性知 AC 垂直于 x 轴,则 BD 垂直于 y 轴, 显然这时 ABCD 不是平行四边形. ∴四边形 ABCD 不可能成为平行四边形. (2)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的方程为 y=k(x﹣1) , (k≠0) 消去 y 得, (2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,







∴|AC|=

?

=



将 k 换为﹣ 得,



则 S= |AC|?|BD|=



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令 k2+1=t,则 S=

=

=

=





当 = ,即 t=2,k=±1 时,面积 S 取得最小值 当直线 AC 的斜率不存在时,|AC|= ∴S= |AC|? |BD|=2. 当直线 AC 的斜率为零时,|AC|=2 ∴S= |AC|? |BD|=2. ∵2> ,∴四边形 ABCD 面积的最小值为 . ,|BD|= ,|BD|=2

, ,



21.已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当 x∈[﹣2,0)时,f(x)=﹣ax2﹣ln(﹣ x)+1,a∈R. (1)当 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;

(2)若对于(0,2]上任意的 x,都有|f(x)+x|≥1 成立,求实数 a 的最大值. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)运用奇函数的定义,可得 x∈(0,2]时,f(x)=ax2+lnx﹣1,求出 f(x)的 导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程; (2)由题意可得 ax2+lnx+x﹣2≥0 或 ax2+lnx+x≤0 对于任意的 x∈(0,2]成立,可得 或 对于任意的 x∈(0,2]成立,分别求出表达式右边的最

值,由恒成立思想即可得到所求 a 的范围. 【解答】解: (1)f(x)为[﹣2,2]上的奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) . 2 当 x∈(0,2]时,﹣x∈[﹣2,0) ,f(x)=﹣f(﹣x)=ax +lnx﹣1. 当 时,x∈(0,2]时, ,f′(1)=2, .

所以,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 4x﹣2y﹣5=0; 2 (2)由题可知,|ax +lnx+x﹣1|≥1 对于任意的 x∈(0,2]成立, 即 ax2+lnx+x﹣2≥0 或 ax2+lnx+x≤0 对于任意的 x∈(0,2]成立, 可得 或 对于任意的 x∈(0,2]成立,

①显然函数

没有最大值,故不存在实数 a 满足题意;

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②设

,x∈(0,2].

,x∈(0,2],

令 g′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1) ,g'(x)<0,函数 g(x)单调递减; 当 x∈(1,2],g'(x)>0,函数 g(x)单调递增. 可得 a≤g(x)min=g(1)=﹣1. 综上,实数 a 的最大值为﹣1. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.已知,△ABC 内接于圆,延长 AB 到 D 点,使得 DC=2DB,DC 交圆于 E 点. (1)求证:AD=2DE; (2)若 AC=DC,求证:DB=BE.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 BE,由切割线定理可得 DB?DA=DE?DC,结合已知条件,即可得到 DA=2DE; (2)运用等腰三角形的性质,等边对等角,圆的内接四边形的性质:四边形的一个外角等 于它的内对角,结合条件,即可得到 DB=BE. 【解答】证明: (1)连接 BE, 由切割线定理可得 DB?DA=DE?DC, 即 = ,

由 DC=2DB, 可得 DA=2DE; (2)由 AC=DC,可得∠D=∠A, 又∠BED=∠A, 可得∠BED=∠D, 即有 BD=BE.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

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23.在极坐标系中,已知曲线 C:ρcos(θ+

)=1,过极点 O 作射线与曲线 C 交于点 Q,

在射线 OQ 上取一点 P,使|OP|?|OQ|= . (1)求点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程; (2)以极点 O 为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy,若直线

l:y=﹣

x 与(1)中的曲线 C1 相交于点 E(异于点 O) ,与曲线 C2:

(t

为参数)相交于点 F,求|EF|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)设 P(ρ,θ) ,Q(ρ′,θ) ,则 ρ?ρ′= 化简即可得出. (2)由曲线 C2 的参数方程消去参数 t 化为普通方程:x+y= ,利用互化公式可得极坐标方 程.由直线 l:y=﹣ x 可得:极坐标方程: (ρ∈R) .分别与曲线 C2 及其曲线 ,又曲线 C:ρ′cos(θ+ )=1,代入

C1 的极坐标方程联立解出即可得出. 【解答】解; (1)设 P(ρ,θ) ,Q(ρ′,θ) ,则 ρ?ρ′= ∴ × (cosθ+sinθ)=1, ,又曲线 C:ρ′cos(θ+ )=1,

∴ρ=cosθ+sinθ.即为点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程. (2)曲线 C2: (t 为参数) ,消去参数 t 化为普通方程:x+y= ,可得极坐

标方程:ρ(cosθ+sinθ)= .由直线 l:y=﹣

x 可得:极坐标方程:







代入曲线 C2 可得:ρ2=

= (

+1) .



代入曲线 C1 可得:ρ1=

+sin

=



∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣1|+|x+1|, (x∈R) (1)求证:f(x)≥2; (2)若不等式 f(x)≥ 对任意非零实数 b 恒成立,求 x 的取值范围.

【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
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【分析】 (1)利用三角不等式证明:f(x)≥2; (2)g(b)= ≤ =3,可得 f(x)≥3,即|x﹣1|+|x+1|≥

3,分类讨论,求 x 的取值范围. 【解答】 (1)证明:f(x)=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2; (2)解:g(b)= ≤ =3,

∴f(x)≥3,即|x﹣1|+|x+1|≥3, x≤﹣1 时,﹣2x≥3,∴x≤﹣1.5,∴x≤﹣1.5; ﹣1<x≤1 时,2≥3 不成立; x>1 时,2x≥3,∴x≥1.5,∴x≥1.5. 综上所述 x≤﹣1.5 或 x≥1.5.

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2016 年 9 月 3 日

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