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高二物理竞赛(4)分子动理论和热力学定律


高二物理竞赛(4)

分子动理论和热力学定律

班级:_____________ 姓名:_________________ 座号:_____________ 一、如图所示,两个截面相同的圆柱形容器,右边容器高为 H,上端封闭,左边容器上端是 一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通,容器、活塞和 细管都是绝热的。开

始时,阀门关闭,左边容器中装有热力学温度为 T0 的单原子理想气体, 平衡时活塞到容器底的距离为 H, 右边容器内为真空。 现将阀门缓慢打开, 活塞便缓慢下降, 直至系统达到平衡。求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示: 一摩尔单原子理想气体的内能为 为摩尔气体常量,T 为气体的热力学温度。

3 其中 R RT , 2

二、绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 的容积大得很多的绝热容器 B 相连。开始时阀门 关闭,两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30℃ ,B 中气体的压强为 A 中的两倍。现将阀 门缓慢打开,直至压强相等时关闭。问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打开到关 闭阀门的过程中处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体的内 能为 U ?

5 RT ,式中 R 为普适气体恒量,T 是绝对温度。 2

1

三、如图所示,三个绝热的、容积相同的球状容器 A、B、C, 用带有阀门 K1、K2 的绝热细管连通,相邻两球球心的高度差 h=1.00m。初始时,阀门是关闭的,A 中装有 1mol 的氦(He) , B 中装有 1mol 的氪(Kr) ,C 中装有 1mol 的氙(Xe) ,三者的 温度和压强都相同。气体均可视为理想气体。现打开阀门 K1、 K2,三种气体相互混合,最终每一种气体在整个容器中均匀分 布,三个容器中气体的温度相同。求气体温度的改变量。已知 三种气体的摩尔质量分别为:

?He ? 4.003 ?10?3 kg ? mol?1
?Kr ? 83.8 ?10?3 kg ? mol?1

?Xe ? 131.3 ?10?3 kg ? mol?1
在体积不变时,这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K, 所吸收的热量均为 3R/2,R 为普适气体常量。

四、如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中。磁场方向 与导轨所在平面垂直。一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导 轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计。导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝 相连, 电阻丝置于一绝热容器中, 电阻丝的热容量不计。 容器与一水平放置的开口细管相通, 细管内有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气体(可视为理想气体)封闭在 容器中。已知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5R/2(R 为普适气体常量) ,大气 压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移。

2

五、一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封 闭,一端开口,处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压 强相等,已知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如图所示,假定细管被弯 曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管 而不让细管中的气体泄出。 当细管弯成 L 形时, 以 l 表示其竖直段的长度, 问 l 取值满足什么条件时, 注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并 求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。

六、如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置的 绝热气缸内。活塞可在气缸内无摩擦地滑动。气缸左 端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加 热。气缸处在大气中,大气压强为 p0。初始时,气体 的体积为 V0、压强为 p0。已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒量, 求以下两种过程中 电热丝传给气体的热量 Ql 与 Q2 之比。 (1)从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时间, 然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 pl; (2)仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时间, 然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2。

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七、图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁的接触 是光滑的、不漏气的,M1 是导热的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍。M1 把 一定质量的气体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分, M2 的右侧为大气,大气的压强 p0 是恒定的。K 是加热 L2 中气体用的电热丝。初始时,两个 活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积。现通过 K 对气 体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住。加 热后与加热前比,L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小还是未变?要求进行定量论证。 M2 M1 L2 L1 K p0

八、 由双原子分子构成的气体, 当温度升高时, 一部分双原子分子会分解成两个单原子分子, 温度越高, 被分解的双原子分子的比例越大, 于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体 与由双原子分子构成的气体的混合气体。这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气 体。在体积 V=0.045m3 的坚固的容器中,盛有一定质量的碘蒸气,现于不同温度下测得容器 中蒸气的压强如下:

试求温度分别为 1073K 和 1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量 之比值。已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同,普适气体常量 R=8.31J· mol-1· K-1。

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九、U 形管的两支管 A、B 和水平管 C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的,它们的内径与管 长相比都可忽略不计。己知三部分的截面积分别为 SA=1.0× 10-2cm2 , SB=3.0× 10-2cm2 , SC=2.0× 10-2cm2,在 C 管中有一段空气柱,两侧被水银封闭。当温度为 t1=27℃ 时,空气柱长 为 l=30cm(如图所示) ,C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a=2.0cm,b=3.0cm,A、B 两支管 都很长,其中的水银柱高均为 h=12cm。大气压强保持为 p0=76cmHg 不变。不考虑温度变化 时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高到 t=97℃ 时空气的体积。

十、薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判。对于均匀薄膜材料,在一定温度 下,某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数 N ? k

?PSt ,其中 t 为渗透持续时间,S 为薄膜 d

的面积,d 为薄膜的厚度,ΔP 为薄膜两侧气体的压强差。k 称为该薄膜材料在该温度下对该 气体的透气系数。透气系数愈小,材料的气密性能愈好。 图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图。EFGI 为渗透室,U 形管 左管上端与渗透室相通,右管上端封闭;U 形管内横截面积 A=0.150cm2。实验中,首先测 得薄膜的厚度 d=0.66mm,再将薄膜固定于图中 CC ? 处,从而把渗透室分为上下两部分,上 面部分的容积 V0=25.00cm3, 下面部分连同 U 形管左管水面以上部分的总容积为 V1, 薄膜能 够透气的面积 S=1.00cm2。打开开关 K1、K2 与大气相通,大气的压强 P1=1.00atm,此时 U 形管右管中气柱长度 H=20.00cm,V1=5.00cm3。关闭 K1、K2 后,打开开关 K3,对渗透室上 部分迅速充气至气体压强 P0=2.00atm,关闭 K3 并开始计时。两小时后,U 形管左管中的水 面高度下降了 ΔH=2.00cm。实验过程中,始终保持温度为 0℃ 。求该薄膜材料在 0℃ 时对空 气的透气系数。 (本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定,在压强差变 化不太大的情况下,可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值 ?P 来代替公 式中的 ΔP。普适气体常量 R=8.31J· mol-1· K-1,1.00atm=1.013× 105Pa。 )
E P0 V0 I K3

C F

P1 V1

C? G

K2 K1 H

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十一、如图所示,水平放置的横截面积为 S 的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有 1mol 的理 想气体,其内能 U=CT,C 为已知常量,T 为热力学温度。器壁和活塞之间不漏气且存在摩 擦, 最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为 F。 图中 r 为电阻丝, 通电时可对气体缓慢加热。 起始时,气体压强与外界大气压强 p0 相等,气体的温度为 T0。现开始对 r 通电,已知当活 塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收。若用 Q 表示气体从电阻 丝吸收的热量,T 表示气体的温度,试以 T 为纵坐标,Q 为横坐标,画出在 Q 不断增加的 过程中 T 和 Q 的关系图线,并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特征 的各量(不要求写出推导过程) 。 p0

r

十二、有一带活塞的气缸,如图 1 所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动 的叶片,转轴伸到气缸外,外界可使轴和叶片一起转动,叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝 热的,它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动,而令活塞缓慢移动,则在这 种过程中, 由实验测得, 气体的压强 p 和体积 V 遵从以 下的过程方程式:

pV a ? k
其中 a,k 均为常量,a>1(其值已知) 。可以由上 式导出,在此过程中外界对气体做的功为:

图1

W?

k ? 1 1 ? ? a ?1 ? a ?1 ? a ? 1 ? V2 V1 ?

式中 V2 和 V1,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动, 而使叶片以角速度 ω 做匀 角速转动,已知在这种过程中,气体的压强的改变量 Δp 和经过的时间 Δt 遵从以下的关系式:

?p a ? 1 ? L ?? ?t V

图2

式中 V 为气体的体积,L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。 上面并没有说气体是理想气体,现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能, 只用与温度有关的知识,求出图 2 中气体原来所处的状态 A 与另一已知状态 B 之间的内能 之差(结果要用状态 A、B 的压强 pA、pB 和体积 VA、VB 及常量 a 表示)

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十三、如图所示,一容器左侧装有活门 K1,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将 容器隔成 a、b 两室,M 上装有活门 K2。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞 可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器 置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置,隔板 M 固 定在容器 PQ 处,使 a、b 两室体积都等于 V0;K1、K2 关闭。此时,b 室真空,a 室装有一 定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5,温度为 T0。 已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R。 (1)现在打开 K1,待容器内外压强相等时迅速关闭 K1(假定此过程中处在容器内的气体与 处在容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度; (2)接着打开 K2,待 a、b 两室中气体达到平衡后,关闭 K2。拔掉所有销钉,缓慢推动活 塞 B 直至到过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功。已知在推 动活塞过程中,气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV ? R CV

=恒量。

十四、图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理 示意图,M 为指针压力表,以 VM 表示其中可以容纳气体的容积;B 为 测温泡,处在待测温度的环境中,以 VB 表示其体积;E 为贮气容器, 以 VE 表示其体积;F 为阀门。M、E、B 由体积可忽略的毛细血管连接。 在 M、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 p0=5.2× 105Pa 的氢气。假 设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题: (1)关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一 简易的气体温度计,用它可测量 25K 以上的温度,这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在 室温中。试导出 B 处的温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T0 时 B 中 氢气的压强 p0 外,理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间 的关系? (2)开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温 度计,此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖 关系,知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确 定这一温区的温度。在设计温度计时,要保证当 B 处于温度低于 TV=25K 时,B 中一定要有 液态氢存在,而当温度高于 TV=25K 时,B 中无液态氢。到达到这一目的,VM+VE 与 VB 间应 满足怎样的关系?已知 TV=25K 时,液态氢的饱和蒸气压 pV=3.3× 105Pa; (3) 已知室温下压强 p1=1.04× 105Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍, 试论证蒸 气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。

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十五、火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在燃烧室内源 源不断生成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。假设燃气可视为理想气体, 其摩尔质量为 μ,每摩尔燃气的内能为 u=cVT(cV 是常量,T 为燃气的绝对温度) 。在快速流 动过程中, 对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体, 可以认为它与周围没有热交 换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、温度 T 和密度 ρ,它们的数值随着流动 而不断变化,并满足绝热方程 pV
cV ? R cV

,式中 R 为普适气体常量,求喷气口处 ? C (恒量)

气体的温度与相对火箭的喷射速率。

十六、图示为圆柱形气缸,气缸壁绝热,气缸的右端有一小孔和大气相通,大气的压强为 p0。用一热容量可忽略的导热隔板 N 和一绝热活塞 M 将气缸分为 A、B、C 三室,隔板与气 缸固连,活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气,气缸的左端 A 室中有一电加热器 Ω。 已知在 A、B 室中均盛有 1 摩尔同种理想气体,电加热器加热前,系统处于平衡状态,A、B 两室中气体的温度均为 T0,A、B、C 三室的体积均为 V0。现通过电加热器对 A 室中气体缓 慢加热,若提供的总热量为 Q0,试求 B 室中气体末态体积和 A 室中气体的末态温度。设 A、 B 两室中气体 1 摩尔的内能 U=5RT/2。R 为普适恒量,T 为热力学温度。

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十七、如图所示,刚性绝热容器 A 和 B 水平放置,一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性 细短管把容器 A、B 相互连通。初始时阀门是关闭的,A 内装有某种理想气体,温度为 T1; B 内为真空。现将阀门打开,气体缓慢通过多孔塞后进入容器 B 中。当容器 A 中气体的压 强降到与初始时 A 中气体压强之比为 a 时,重新关闭阀门,设最后留在容器 A 内的那部分 气体与进入容器 B 中的气体之间始终无热量交换,求容器 B 中气体质量与气体总质量之比。 已知:1 摩尔理想气体的内能为 u=CT,其中 C 是已知常量,T 为绝对温度;一定质量的理 想气体经历缓慢的绝热过程中,其压强 p 与体积 V 满足过程方程 pV 普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。
C?R C

=常量,其中 R 为

十八、在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管,管上端封闭,下端开口。已知槽中水银液面以 上的那部分玻璃管的长度 l=76cm,管内封闭有 n=1.0× 10-3mol 的空气,保持水银槽与玻璃管 都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃ , 问在此过程中管内空气放出的热量为 多少?已知管外大气的压强为 76cm 汞柱高, 每摩尔空气的内能 U=CVT, 其中 T 为绝对温度, 常量 CV=20.5J· (mol· K)-1,普适气体常量 R=8.31J· (mol· K)-1。

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十九、如图所示,在一个竖直放置的封闭的高为 H、内 壁横截面积为 S 的绝热气缸内, 有一质量为 m 的绝热活 塞 A 把缸内分成上、下两部分。活塞可在缸内贴缸壁无 摩擦地上下滑动。缸内顶部与 A 之间串联着两个劲度系 数分别为 k1 和 k2 (k1≠k2) 的轻质弹簧。 A 的上方为真空; A 的下方盛有一定质量的理想气体。已知系统处于平衡 状态,A 所在处的高度(其下表面与缸内底部的距离) 与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1=H/4。现给电炉丝 R 通电流对气体加热,使 A 从高度 h1 开始上升,停止加热 后系统达到平衡时活塞的高度为 h2=3H/4。求此过程中 气体吸收的热量 ΔQ。已知当体积不变时,每摩尔该气 体温度每升高 1K 吸收的热量为 3R/2,R 为普适气体恒 量。在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律。

H

二十、摩尔质量为 μ 的某种理想气体,从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管,导管 内横截面的面积为 S。1 摩尔绝对温度为 T 的该气体的内能为 5RT/2,式中 R 为普适气体常 量。 (1)将一加热装置固定放置在管的中部,以恒定功率 W 给气体加热,如图 1 所示。假设该 装置对气流的阻力可忽略。当气流稳定后,在加热装置附近的状态不均匀,但随着与加热装 置距离的增加而逐渐趋于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中,气体的压强为 p0,温度 为 T0,向右流动的速度为 v0。已知加热装置右边均匀稳流区域中气体的压强为 p1,试求该 区域气体的温度 T1;

v0 p 0, T 0

加 热 装 置

p1

图1

(2)现将管中的即热装置换成一多孔塞,如图 2 所示。在气流稳定后,多孔塞左边气体的 温度和压强分别为 T0 和 p0,向右流动的速度为 v0;多孔塞右边气体的压强为 p2(p2<p0) 。 假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何形式的能量交换, 求多孔塞右边气体的流 速 v2。

p0,T0

v0

p1

图2

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二十一、如图所示,A、B 是两个内径相同的圆柱形气缸,竖直放置在大气中,大气压强为 p0。质量都是 m 的活塞分别把都是 n mol 的同种理想气体封闭在气缸内,气缸横截面的面积 为 S。气缸 B 的活塞与一处在竖直状态的劲度系数为 k 的轻质弹簧相连,弹簧的上端固定。 初始时,两气缸中气体的温度都是 T1,活塞都处在平衡状态,弹簧既未压缩亦未拉长。现 让两气缸中的气体都缓慢降温至同一温度,已知此时 B 中气体的体积为其初始体积的 a 倍, 试求在此降温过程中气缸 A 中气体传出的热量 QA 与气缸 B 中气体传出的热量 QB 之差。

二十二、如图,一水平放置的刚性密闭气缸,缸壁是绝热的,活塞把气缸内空间分为两个体 积相同的密闭室 A 和 B。活塞由一层热容量很小(略去其影响) 、导热良好的材料(与气缸 壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁没有摩擦)压制而成,绝热层在 A 室一侧。初始 时,A 室和 B 室充有绝对温度均为 T0 的同种多原子分子理想气体,A 室气体压强是 B 室气 体压强的 4 倍。现释放活塞,活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓慢,最后 停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦) 。 已知气缸中的气体具有如下特性:在温度高于某个临界温度 Td(>T0)时,部分多原子 气体分子将发生分解, 一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子。 被分解的气 -1 体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比 a 满足关系 a=β(T-Td),其中 β=2.00T0 。分解过程 是可逆的,分解 1 摩尔分子所需能量 ? =CT0/10,1 摩尔气体的内能与绝对温度 T 的关系为 u=CT(C 是与气体的种类无关的常量) 。已知当压强为 P、体积为 V 的这种气体绝热缓慢膨 γ 胀时,PV =常量,其中 γ=4/3。 (1)对于具有上述特性的某种气体,若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分 解,求这种分子发生分解的临界温度 Td 的可能值; (2)对于具有上述特性的另一种气体,若实验测得在上述过程结束时有 a=10.0%的分子分 解了,求这种分子发生分解的临界温度 Td。

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