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云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


云南省玉溪一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的.) 1. (5 分)sin(﹣ A. )的值是() B.﹣
2

C.

D.﹣

2. (5 分)已知集合 M={y|

y=x +2x﹣3,x∈R},集合 N={x|﹣5≤x≤2},则 M∩(?RN)等于 () A. C. (0,+∞) D. A.a>1 B.0<a<1 且 m>0 C.a>1 且 m<0 D.0<a< 1 11. (5 分)已知 P 是边长为 2 的正△ ABC 的边 BC 上的动点,则 A.最大值为 8 2 B.是定值 6 C.最小值为 2 () D.是定值

12. (5 分) 若函数 ( f x) 为奇函数, 且在 (0, +∞) 上是减函数, 又( f 3) =0, 则 <0 的解集为() A.(﹣3,3) ∪(3,+∞)

B.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) C. (﹣3,0) D. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 tanα=2,则 的值为.

14. (5 分)若向量 , 满足| |=| |=1,且( + )? = ,则向量 , 的夹角为.

15. (5 分) 围是.

在(﹣∞,1]内是增函数,则实数 a 的取值范

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16. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=﹣ f(x)=x,则 f(﹣ )=.

,当 2≤x≤3 时,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α+β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 sinβ 的值. 18. (12 分)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ )+1,x∈R. .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若 x∈,求函数的值域. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 的定义域是,设 g(x)=f(2x)﹣f(x+2) . (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 20. (12 分)已知向量 =(cos(﹣θ) ,sin(π+θ) ) , =(cos( (Ⅰ)求证 ⊥ ; (Ⅱ)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 = +(t +3) , =﹣k +t 满足 ⊥ ,试求此时 的最小值.
2 x

﹣θ) ,sin(

﹣θ) ) .

21. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (Ⅰ)求 f(0) ,f(1) ; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅲ)若 f(a﹣1)<﹣1,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分)已知 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 a、b∈,a+b≠0,有 ; (1) 、判断函数 f(x)在上的单调性,并证明你的结论; 2 (2) 、若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有的 x∈、a∈恒成立,求实数 m 的取值范围.



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云南省玉溪一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的.) 1. (5 分)sin(﹣ A. )的值是() B. ﹣ C. D.﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式化简求值即可. 解答: 解:sin(﹣ )=﹣sin(2π+ )=﹣sin =﹣ .

故选:D. 点评: 本题考查三角函数的化简求值, 特殊角的三角函数以及诱导公式的应用, 考查计算 能力. 2. (5 分)已知集合 M={y|y=x +2x﹣3,x∈R},集合 N={x|﹣5≤x≤2},则 M∩(?RN)等于 () A. A.﹣ B. C. D.﹣
2

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解: ∵ ∥ 解得 =(4,2)﹣(1,1)=(3,1) ,

,∴3λ﹣2=0. .

故选:B. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=x+lnx 的零点所在的区间为() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 考点: 函数零点的判定定理.
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D.(1,e)

专题: 常规题型. 分析: 令函数 f(x)=0 得到 lnx=﹣x,转化为两个简单函数 g(x)=lnx,h(x)=﹣x, 最后在同一坐标系中画出 g(x) ,h(x)的图象,进而可得答案. 解答: 解:令 f(x)=x+lnx=0, 可得 lnx=﹣x, 再令 g(x)=lnx,h(x)=﹣x, 在同一坐标系中画出 g(x) ,h(x)的图象, 可知 g(x)与 h(x)的交点在(0,1) , 从而函数 f(x)的零点在(0,1) , 故选 B.

点评: 本题主要考查函数零点所在区间的求法.属基础题.

5. (5 分)如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2

的图象不过原点,则 m 取值是() C.m=2 D.m=1

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 幂函数的图象不过原点,所以幂指数小于等于 0,系数为 1,建立不等式组,解之 即可. 解答: 解:幂函数 的图象不过原点,所以

解得 m=1 或 2,符合题意. 故选 B. 点评: 本题主要考查了幂函数的图象及其特征,考查计算能力,属于基础题.

6. (5 分)已知 A.2 B. 3

,则 f(3)为() C. 4 D.5

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算 f(5) 、f(7)的 值,然后经过转换,由此可以得到 f(3)值. 解答: 解:由题意得:
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f(3)=f(5)=f(7) ∵7≥6, ∴f(7)=7﹣5=2. 故选 A. 点评: 分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各 段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.

7. (5 分)函数 y=

的值域是()

A. (0,1) B. (0,1] C. (0,+∞) D. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的运算性质可求得 a=log23 ,b=log23 >1,而 0<c=log32<1,从而 可得答案. 解答: 解: ∵a=log23+log2 =log23 ,b= = = >1,

∴a=b>1,又 0<c=log32<1, ∴a=b>c. 故选:B. 点评: 本题考查不等式比较大小, 掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关 键,属于基础题.

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+?) (其中 A>0,|ω|< (x)=sin3x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

)的图象如图所示,为得到 g

A.向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

考点: 专题: 分析: 度. 解答:

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 计算题. 根据图象求出 φ 的值,再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长 解:∵选项只与平移有关,没有改变函数图象的形状,故 ω=3, ,0)

又函数的图象的第二个点是(

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∴3× 于是

φ=π , 个单位,

∴函数的图形要向右平移

故选 B. 点评: 本题主要考查了三角函数的函数图象, 根据函数图象求解析式时, 注意应用正弦函 数图象的关键点进行求解,考查了读图能力和图象变换法则 10. (5 分)若函数 y=a +m﹣1(a>0)的图象经过第一、三和四象限,则() A.a>1 B.0<a<1 且 m>0 C.a>1 且 m<0 D.0<a<1 考点: 专题: 分析: 解答: 指数函数的图像变换. 函数的性质及应用. 根据条件作出满足条件的指数函数的图象,即可得到结论. 解:若函数的图象经过第一、三和四象限,
0 x

则函数为增函数,即 a>1,且 f(0)=a +m﹣1<0, 即 m<0, 故选:C

点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,比较基础. 11. (5 分)已知 P 是边长为 2 的正△ ABC 的边 BC 上的动点,则 A.最大值为 8 B.是定值 6 C.最小值为 2 D.是定值 2

()

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先设 = 、 得 解答: 解:设 =t = , = , 和 =t ,然后用 和 表示出 ,再由 = + 将

代入可用

表示出

,最后根据向量的线性运算和数量积运算可求

的值,从而可得到答案. = = =t
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2

= =4= = ?﹙
2



= ﹣ ,

? =2×2×cos60°=2 = +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t + ﹚=﹙﹙1﹣t﹚ +t + = +
2

+

﹚?﹙ + ﹚=﹙1﹣t﹚

+

+t

2

=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6 故选 B. 点评: 本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算. 高考对向量的考查一般不会太 难, 以基础题为主, 而且经常和三角函数练习起来考查综合题, 平时要多注意这方面的练习.

12. (5 分) 若函数 ( f x) 为奇函数, 且在 (0, +∞) 上是减函数, 又( f 3) =0, 则 <0 的解集为() A.(﹣3,3) +∞)

B.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) C. (﹣3,0)∪(3, D. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性将不等式进行化简,然后利用函数的单调性确定不等式的解集. 解答: 解:因为 y=f(x)为奇函数,所以 = <0,

所以不等式等价为



因为函数 y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,又 f(3)=0, 所以解得 x>3 或 x<﹣3, 即不等式的解集为(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) . 故选:D.

点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用数形结合的思想是解决本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
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13. (5 分)已知 tanα=2,则

的值为 .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

同角三角函数基本关系的运用. 三角函数的求值. 将所求关系式“切”化“弦”,将 tanα=2 代入计算即可. 解:∵tanα=2, = = = ,

故答案为: . 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,“切”化“弦”是关键,属于基础题. 14. (5 分)若向量 , 满足| |=| |=1,且( + )? = ,则向量 , 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将已知的等式展开,求出向量 , 的数量积,利用数量积公式求向量的夹角. 解答: 解:因为| |=| |=1,且( + )? = , 所以 所以 cos< = ,所以 >= ; ,所以 ,

所以向量 , 的夹角为 故答案为: .

点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用;熟练运用数量积公式是关键.

15. (5 分)

在(﹣∞,1]内是增函数,则实数 a 的取值范

围是内是增函数,所以由函数 t 在(﹣∞,1]内是减函数且 t>0 求解即可. 2 解答: 解:令 t=x ﹣2ax+3, ∵y= 在定义域上是减函数

又∵

在(﹣∞,1]内是增函数

∴函数 t 在(﹣∞,1]内是减函数且 t>0
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∴ 解得:1≤a<2 故答案为:=﹣ = =f(x) ,即函数的周期为 4,f(﹣ )=f( ) 得

出利用解析式求解即可. 解答: 解:∵f(x+2)=﹣ ∴f(x+4)=f=﹣ = , =f(x) ,即函数的周期为 4

∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,则有 f(﹣x)=f(x) ∴f(﹣ )=f(﹣4 )=f(﹣ )=f(4﹣ )= ,

∵当 2≤x≤3 时,f(x)=x, ∴f( )= , 故答案为: 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性、 周期性等性质的综合应用, 解决本题的关键是根据 所给的条件:f(x+2)=﹣ 的 f( ,可得 f(x+4)=f(x)即可得函数的周期,从而把所求

)利用周期转化到所给的区间,代入即可求解.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α+β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 sinβ 的值. 考点: 二倍角的正切. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由已知和同角三角函数关系式可先求 cosα,tanα 的值,由二倍角的正切公 式即可求 tan2α 的值. (Ⅱ)由已知先求得 sin(α+β)的值,根据 sinβ=sin,由两角差的正弦公式展开代入即可求 值. 解答: (10 分) 解: (Ⅰ)∵α∈(0, ∴ ) ,sinα= , = = .

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∴tanα= ∴tan2α=

= =﹣ .

(Ⅱ)∵α,β∈(0, ∴sin(α+β)=

) ,∴α+β∈(0,π) ,cos(α+β)=

∴sinβ=sin=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα = = .

点评: 本题主要考查了二倍角的正切公式, 同角三角函数关系式, 两角差的正弦公式的应 用,属于基础题. )+1,x∈R.

18. (12 分)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若 x∈,求函数的值域. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先通过三角函数的恒等变换,把三角函数的关系式变形成正弦型函数,进 一步利用三角函数的性质求出函数的周期和单调区间. (Ⅱ)利用上步的结论,进一步利用函数的定义域求出三角函数的值域. 解答: (12 分) 解: (Ⅰ)f(x)=cos x( sin x+cos x)+1 2 =cos x+ sin x cos x+1 = = cos2x+ =sin(2x+ ∵T= = sin2x+ )+ +1

即函数 f(x)的最小正周期为:π. 由 f(x)=sin(2x+ 令:2kπ﹣ ≤2x+ )+ ≤2kπ+ , (k∈Z)

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解得:﹣

+kπ≤x≤

+kπ, (k∈Z) )+ 的单调递增区间为: , (k∈Z) ,﹣ ≤2x+ ≤

故函数 f(x)=sin(2x+ (Ⅱ)x∈,﹣ ∴﹣ ≤sin(2x+ ∴1≤sin(2x+ ≤2x≤ )≤1 )+ ≤

∴函数的值域为. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数的恒等变形问题,正弦型函数的性质的应用,周期 性和单调性的应用,利用三角函数的定义域求三角函数的值域.属于基础题型. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 的定义域是,设 g(x)=f(2x)﹣f(x+2) . (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 考点: 指数函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)由 f(x)=2 ,知 g(x)=f(2x)﹣f(x+2)=2 ﹣2 域是,所以
x 2 x 2x x+2 x

.因为 f(x)的定义

,由此能求出 g(x)的定义域.
x x 2 x

(2)设 g(x)=(2 ) ﹣4×2 =(2 ﹣2) ﹣4.由 2 ∈,能求出函数 g(x)的最大值和最 小值. 解答: 解: (1)∵f(x)=2 , 2x x+2 ∴g(x)=f(2x)﹣f(x+2)=2 ﹣2 . (3') 因为 f(x)的定义域是, 所以 ,
x

解之得 0≤x≤1. 于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}. (或写成,否则扣 1 分) (6') x 2 x x 2 (2)设 g(x)=(2 ) ﹣4×2 =(2 ﹣2) ﹣4. (8') ∵x∈, x 即 2 ∈, x ∴当 2 =2 即 x=1 时, g(x)取得最小值﹣4; (10') x 当 2 =1 即 x=0 时, g(x)取得最大值﹣3. (12') 点评: 本题考查指数函数的综合题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化 思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解 题时要认真审题,仔细解答.

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20. (12 分)已知向量 =(cos(﹣θ) ,sin(π+θ) ) , =(cos( (Ⅰ)求证 ⊥ ;

﹣θ) ,sin(

﹣θ) ) .

(Ⅱ)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 = +(t +3) , =﹣k +t 满足 ⊥ ,试求此时 的最小值.

2

考点: 平面向量的综合题. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)利用数量积运算、诱导公式只要证明 =0 即可;

(II)利用向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性即可得出. 解答: (I)证明:∵ =sin cosθ﹣sinθcosθ=0, ∴ ⊥ . (Ⅱ)由 ⊥ ,∴ ? =0, 即?(﹣k +t )=0. ∴﹣k +(t +3t)
2 3 3

=cos(﹣θ) cos(

﹣θ)+sin(π+θ) sin(



+ ? =0
2

∴﹣k| | +(t +3t)| | =0 又∵
3

=1,
3

∴﹣k+t +3t=0,∴k=t +3t ∴
2

=

=t +t+3, =(t+ ) + 故当 t=﹣ 时, 的取得最小值,为 .
2

点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性、诱导公式,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题. 21. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (Ⅰ)求 f(0) ,f(1) ; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式;
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(Ⅲ)若 f(a﹣1)<﹣1,求实数 a 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: (I)分别令 x=0,﹣1 结合函数的奇偶性,即可得出 f(0)=0,f(1)=f(﹣1)= ﹣1; (II)由已知可以设 x>0,然后利用函数的奇偶性转化到﹣x<0,利用已知求出 x>0 时的 解析式即可.本题要做出整体代换,用﹣x 代换 x,然后写出整个定义域上的函数的解析式. (Ⅲ)根据 f(x)= 在(﹣∞,0]上为增函数,结合奇偶性得出 f(x)在 (0,+∞)上为减函数,将 f(a﹣1)<﹣1=f(1) 转化成绝对值不等式|a﹣1|>1,解之即得. 解答: 解: (I)分别令 x=0,﹣1 即可得出 f(0)=0,f(1)=f(﹣1)=﹣1; (II)令 x>0,则﹣x<0,f(﹣x)= =f(x) ∴x>0 时,f(x)=



(Ⅲ)∵f(x)=

在(﹣∞,0]上为增函数,

∴f(x)在(0,+∞)上为减函数 ∵f(a﹣1)<﹣1=f(1) ∴|a﹣1|>1, ∴a>2 或 a<0. 点评: 本题考查函数的奇偶性,函数的解析式的求法,分段函数的概念,奇偶性与单调性 的综合应用. 22. (12 分)已知 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 a、b∈,a+b≠0,有 ; (1) 、判断函数 f(x)在上的单调性,并证明你的结论; 2 (2) 、若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有的 x∈、a∈恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)由题设知,令 x1<x2,且 x1、x2∈,则 = (x)在上是单调增函数. >0,故 f(x1)<f(x2) ,由此得到函数 f

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(2)由 f(x)在上是增函数,知 f(x)在上的最大值为 f(1)=1,由 m ﹣2am+1≥1 对 a∈ 2 恒成立,知 g(a)=2ma﹣m ≤0 对 a∈恒成立,由此能求出 m 的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1, 若 a、b∈,a+b≠0,有 ∴令 x1<x2,且 x1、x2∈, 则 = >0, ,

2

∵x1<x2,∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在上是单调增函数.…(6 分) (2)∵f(x)在上是增函数, ∴f(x)在上的最大值为 f(1)=1, 2 ∵m ﹣2am+1≥1 对 a∈恒成立, 2 ∴g(a)=2ma﹣m ≤0 对 a∈恒成立, ∴ ,

解得 m≥2 或 m≤﹣2 或 m=0.…(12 分) 点评: 本题考查函数单调性的判断, 求实数的取值范围. 具体涉及到定义法判断函数的单 调性、函数恒成立问题、不等式的性质.综合性强,难度大,有一定的探索性,是高考的重 点,解题时要认真审题,仔细解答.

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