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第2课时 函数概念及表示


第 2 课时
一.知识梳理 1.函数的概念: 设 A、 B 是 _____________,如果按某个 确定的对应关系 f ,使集合 A 中的任意一个 数 x ,在集合 B 中都有 _____________ 的数

函数概念及表示

(2) 已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求

f ( x) :换元法、配凑法;
(3) f ( x ) 满足某个等式,此等式除 f ( x ) 外 还有其他未知量, 需构造另个等式: 解方程组 法; 5. 常见的三种题型确定定义域[注意函数定义 域的书写形式必须是集合或区间形式]: ① 已知解析式,如:① y ? f ( x) , g ( x) 则 则 ; ② y ? 2n f ( x) (n ? N * ) , ; ③ y ? log f ( x ) g ( x) , 则 则 ;④ y ? [ f ( x)] ,
0

f ( x) 和它对应,那么就称 f :A ? B 为从集
合 A 到 集 合 B 的 一 个 函数 , 记 作

y ? f ( x), x ? A .其中,x 叫做自变量, 集合 A
叫做函数的定义域; 与 x 的值对应的 y 值叫做 函数值, 函数值的集合 C ? { f ( x) | x ? A} 叫做 函数的值域,且 C _______ B . 2. 函 数 的 三 要 素 :____________ 、 ____________、_____________. 3.映射的概念. (1)设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应 关系 f,对于集合 A 中的 B 中都有 对应叫做 作 . 元素,在集合



元素和它对应,这样的 到 的映射,记

② 复合函数 f [g(x)]的定义域,就要保证内 函数 g(x)的 域. ③实际应用问题的定义域, 就是要使得自变量 有意义的取值集合 6.求函数的值域方法 ① 配方法(将函数转化为二次函数);② 判别 式法(将函数转化为二次方程);③ 不等式法 (运用不等式的各种性质);④ 函数法(运用
1

域是外函数 f (x)的

(2)象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做象, 叫做原象。

4.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定 系数法;

基本函数性质, 或抓住函数的单调性、 函数图 二.课前检测 1、从集合 A ? ?0,1 ? 到集合 B ? ?a, b, c? 的映 射个数共有 2. 函 数 f ( x) ? ____________. 3. 函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 , x ? [0,2] 的
2

象等) (4)f(x)= x 【 例 2 】

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;
( 1 ) 设 函 数



x? x? 1 ??

x的 定 义 域 是

( x ? 100) ?x ? 3 f ( x) ? ? , 求f (89). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100)

?2 ? x , x ? (??,1] (2)设函数 f(x)= ? , ?log 81 , x ? (1,?? )
则满足 f(x)=

值域是( A. [2,4] C. [ ?



1 , 2] 12

1 B. [ ? ,?? ) 12 1 D. [ ? ,4] 12

1 的 x 值为 4



4. 若 f ( x) 是一次函数, f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 且,则 f ( x) = _________________。 5.函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最
2

x ?1 ? ?2e , x<2, 【变式训练】 设 f ( x) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

则f ( f (2))的值为
【例 3】求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 三.典例解析 【例 1】 试判断以下各组函数是否表示同一函 数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)
2 2

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x ? a ).

【变式训练】 1.已知函数 f (x) =

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

3x ? 1 ax ? ax ? 3
3 2

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是

(3)f(x)= 2n?1 x 2n?1 , g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈ N*) ;


2. 若 f ( x) 的定义域为[- 1 , 1 ],求函数

f ( x ? 1) 的定义域
2

{0,1, 2,3} ,则其值域为___________.
3.若 f ( x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数

f ( x) 的定义域
【例 4】.求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ;

2. 求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值 域. 3.求函数 y=

x2 ?1 的值域. x2 ?1

(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;

【例 5】(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 x3

3x ? 1 (3) y ? ; x?2

f ( x) ;

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; (4) y ? x ? 4 1 ? x ;

2 x

( 3 )已 知 f ( x ) 是 一次函 数,且 满足 (5) y ? x ? 1 ? x ;
2

3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; ( 4 ) 已 知

f ( x)





(7) y ?

2x ? x ? 2 ; x2 ? x ? 1
2

1 ) f ? ( ,求) f x 3 ( x) 。 x 1 【变式训练】1.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 2 2f (? x

f (m) ? 6 ,则 m 等于________
(8) y ?

2x ? x ?1 1 (x ? ) ; 2x ?1 2
2

2. 若 函 数

f ( x) 满 足 关 系 式

1 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 的表达式。 x
【变式训练】 1.函数 y ? x2 ? 2 x 的定义域为

3


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